3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

 부분적분 : x에 대한 두 함수의 적분을 할 경우

(f(x)g(x))'  에서 탄생

부분적분을 두번 하는 경우 = 지수함수*삼각함수 일때

두번 하는 이유는 원래 식의 똑같은 형태가 마지막에 나오기 때문에 원래식과 하나로 합칠 수 있어

마지막 적분이 우변에 있었다면 적분을 좌변으로 넘겨 합치면서 적분식이 사라지기때문

이때 좌변으로 넘길때 우변은 적분이 사라지는데 하지만 원래식이 적분이였음으로 우변에는

적분상수 C 가 더해져야 하는 형태가 되야 한다.

무한히 하는 경우 =  x * e^x 의 형태를 계산하는 경우

유리함수 적분은 

g(x)/f(x) 의 형태를 적분한다면 분모의 차수가 더 크게 변형 한 후( 같으면 안됨 )

-붐노, 분자에 차수를 나누어 분모가 차수가 더크게 변형

f(x) 의 차수가 g(x) 의 차수가 더 커지는데

그 후 부분분수를 적용하며 풀어 나간다.

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 부분적분 : x에 대한 두 함수의 적분을 할 경우

(f(x)g(x))'  에서 탄생

부분적분을 두번 하는 경우 = 지수함수*삼각함수 일때

두번 하는 이유는 원래 식의 똑같은 형태가 마지막에 나오기 때문에 원래식과 하나로 합칠 수 있어

마지막 적분이 우변에 있었다면 적분을 좌변으로 넘겨 합치면서 적분식이 사라지기때문

이때 좌변으로 넘길때 우변은 적분이 사라지는데 하지만 원래식이 적분이였음으로 우변에는

적분상수 C 가 더해져야 하는 형태가 되야 한다.

무한히 하는 경우 =  x * e^x 의 형태를 계산하는 경우

유리함수 적분은 

g(x)/f(x) 의 형태를 적분한다면 분모의 차수가 더 크게 변형 한 후( 같으면 안됨 )

-붐노, 분자에 차수를 나누어 분모가 차수가 더크게 변형

f(x) 의 차수가 g(x) 의 차수가 더 커지는데

그 후 부분분수를 적용하며 풀어 나간다.

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 df(x) = f'(x)Δx = f'(x)dx  = 아주 미소의 0 에 가까운 εΔx  을 생략한  dy 값을 말함

ex)

dx = (x)'dx

d(x) = (x)'dx

d(x) = d(x+1)

(x)'dx = (x+1)'dx

dx=dx

3DMP engines

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결론적으로는 ..

http://phc1112.blog.me/80066834781

엡(입)실론 델타 이용 함수극한 증명문제

 

 

 

고등학생 때는 당연시 여기는 것을 대학에선 대학수학적 정의를 가지고 증명을 하는데요,

"대학미적분(calclus)  함수의 극한" 중에서  큐스터디 게시판의 증명문제를

여러분들과 공유하고자 합니다.

증명 설명은 파일첨부합니다. 

 

 

 

 

아래 그림 파일은 문제입니다.

 

---

출처 : http://blog.naver.com/inhangin/100073943722

 

고등학교 수학과정에서 가장 미흡하게 소개된 개념들을 꼽아보자면 몇 가지 되는데,

 

그 중의 하나가 바로 극한의 정의이다.

 

고등학교 과정 안에서 극한의 정의는 매우 모호하다.

 

함수 f(x)에서 x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 α에 수렴한다고 한다. 이 때, α를 x→a일 때 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라 한다.

 

위와 같은 정의가 바로 고등학교 과정 내에서 극한에 대해 설명한 것이다.

 

하지만 한없이 가까워진다는 것이 대체 무엇을 말하는지 직관적으로는 이해가 가지만 논리적으로 어떻게 표현을 해야 할 것인지 난감하다.

 

그래서 등장한 것이 바로 입실론-델타 논법이다.

 

입실론-델타 논법은 독일의 수학자인 K. 바이어슈트라스가 창조해 낸 극한의 정의법으로

 

핵심적인 요소 두 가지가 있는데, 제목에서 알 수 있는 것과 같이 ε과 δ가 아주 큰 역할을 해내고 있다.

 

백문이 불여일견이라고 하였다.

 

입실론 델타가 무엇인가에 대해 설명만 구구절절 늘어놓지 말고, 직접 입실론-델타 논법을 사용한 극한의 정의를 살펴보자.

 

f:X→Y,  X, Y⊂R인 함수와 a, α∈R이 주어져 있다고 가정하자.

그럼 임의로 주어진 ε>0에 대하여 x∈X이고 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ>0가 존재하면, α를 x→a일 때 f(x)의 극한이라고 한다.

 

자, 뭔가 다르지 않은가? 앞부분은 엄밀하게 살펴보기 위하여 이것저것이 존재한다고 가정하는 부분이므로 넘어가고,

 

임의로 주어진 ε>0에 대하여 x∈X이고 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ>0가 존재하면

 

이 구절이 입실론-델타 논법의 핵심이다.

 

내가 어떤 ε을 잡는다고 하더라도, 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ가 존재 한다는 것을 보이기만 한다면,

 

이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다는 말이다.

 

아직 감이 오지 않는 분들이 많을 것이다.

 

식을 찬찬히 풀어보자.

 

0< |x-a|<δ라는 부분을 살펴보면

 

이는 x가 (a-δ, a+δ)라는 개구간 안에 있다는 것을 의미한다.

 

그리고 |f(x)-α|<ε 이 부분은

 

f(x)가 (α-ε, α+ε)라는 개구간 안에 있다는 것을 의미한다.

 

이제 이 두 식의 의미를 종합하여 생각해본다면,

 

x가 (a-δ, a+δ)라는 개구간 안에 있다고 가정하면 f(x)는 언제나 (α-ε, α+ε)안에 있어야 함을 의미한다.

 

f(x)가 언제나 (α-ε, α+ε)안에 있다는 말은 내가 ε을 아무리 작게 만든다고 하더라도

 

임의로 δ값을 조정하여 x값의 범위를 조정해 주어서 f(x)를 (α-ε, α+ε)안에 집어넣어줄 수 있어야 한다는 것을 말한다.

 

그림으로 대강 설명을 해 보도록 하겠다.

 

 

 

 

 

다음 그림과 같이 ε과 δ이 잡혔고, x가 다음과 같은 위치에 존재 할 때 위 명제는 성립한다.

 

하지만 ε을 다음 그림과 같이 작게 좁혀보자.

 

 

이렇게 되면 f(x)값이 (α-ε, α+ε)안에 속해있지 않으므로, 명제가 성립하지 않는데,

 

이경우 δ의 값을 줄여서 명제를 성립하게 만들 수 있다면 그 점에서의 극한을 구할 수 있다는 것이다!

 

하지만 ε이 매번 변할 때마다 일일히 그에 합당한 δ값을 지정해 주기에는 너무 번거롭고, 끝이 없을 것이다.

 

따라서 우리는 δ를 ε에 관한 식으로 나타냄으로써 자동적으로 조정될 수 있도록 할 수 있다.

 

따라서 입실론-델타 논법을 이용한 극한의 증명 방법은 보통 다음과 같은 절차를 가진다.

 

- 먼저 입실론-델타 논법에 의거한 명제를 지정한다.

 

- 가정과 결론 부분의 식을 이용하여 δ값을 ε에 대해 나타내어 본다.(증명 전의 δ에 대한 예측)

 

- 만일 이 δ가 타당하다면, 가정 부분부터 시작하여 논리적으로 식을 조작하여 결론 부분에 이르도록 만들 수 있다.

 

- 따라서 논리적으로 전개해 나간다.(본 증명)

 

입실론-델타 논법을 이용한 여러 극한의 성질에 대한 증명은 다음 포스트에서 보여줄 것이다.

 

이거, 상당히 유용한 도구라고 생각하지 않은가?

 

엄청 파워풀하다고 생각하기도 한다.

 

그럼 다음 포스팅에서...

 

To be continued...

 

(※ 일부 책에서는 입실론-델타 논법을 이용하여 극한을 정의할 때 절대값을 사용하지 않고 노음(Norm)을 사용하기도 하지만, 신경 쓰실 필요는 없다고 봅니다.)

 

 

---

http://sos440.tistory.com/17

 

어느 호기심많은 소년을 위하여 적어본, 입실론-델타 논법에 대한 간단한 설명

 

인터넷을 뒤지다 보면 종종 입실론-델타 논법(이하 ε-δ)을 물어보는 사람들이 있다. ε-δ이란 걸 전혀 들어보지 못한 상태에서 물어보는 경우도 있지만, 어떤 때에는 이미 ε-δ를 한 번쯤은 접해봤는데도 불구하고 그 말의 의미를 이해하지 못하여 질문하는 경우도 있는 것 같다. 지금의 나로써는 ε-δ가 굉장히 당연하게 와닿지만, 나도 사실 처음에 ε-δ의 정의를 봤을 땐 이해가 잘 안됬던 것 같다. 물론 평범한 고등학생이 굉장히 수학적이고 형식적인 것처럼 보이는 문장을 처음부터 쉽게 읽으면 그것도 나름대로 신기하긴 하겠지만…. 어쨋든, 이 글은 ε-δ를 좀 더 마음속으로 이해할 수 있도록 설명하는 방법을 찾기 위한 내 몸부림이다.

우선 정의부터 살펴보자. ε-δ를 이용한 극한의 정의는 다음과 같다.

[정의] a의 근방에서 정의된 실함수 f에 대해, 임의의 ε>0 에 대하여 δ>0 가 존재하여, 0<|x-a|<δ 이면 항상 |f(x)-L|<ε 일 때, f(x)가 a 에서 L로 수렴한다고 하고 lim_{x→a} f(x) = L 로 적는다.

젠체하고 싶을 땐 다음과 같이 영어로 적을 수도 있다. (사실 such that이라는 긴요한 문법 구조에 대응하는 표현이 국어에는 없기 때문에, 때때로 수학은 영어로 접하는 게 더 이해가 쉬울 수도 있다.)

Let f be a real valued function defined on a neighborhood of a. If for any ε>0, there is δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ, we say f(x) converges to L at a and denote it by lim_{x→a} f(x) = L.

만약 당신이 이 정의를 처음 보는데도 불구하고 '아, 당연하잖아' 라고 말한다면, 지금 당장 해석개론을 공부해도 전혀 무리가 없다. 이 말은, 대부분의 경우 위 정의를 마음으로 받아들이기까지 좀 시간이 걸린다는 뜻이다. 그리고 이 글의 목표가 바로 위 정의를 직관으로 이해하는 것이다. 개인적으로는 이 글을 읽고 좀 생각하면 누구라도 유레카를 외치지 않을까 하는 기대를 품고 있다. 구체적으로, 이 글에서는 위 정의의 한 부분 한 부분을 풀어나가도록 하겠다.

우선 'a의 근방에서 정의된 실함수 f'라는 말부터 이해해보자. 극한의 본질을 가장 잘 설명하는 단어는 무엇일까? 여러가지 가능한 대답이 있겠지만, 나보고 꼽으라고 하면 역시 국소적 성질(local property)이라는 말을 하겠다. 수학에서는 크게 기하학적인 대상을 보는 두 가지 관점이 있다. 우선 보고자 하는 대상의 전체를 아우르는 성질, 즉 대역적 성질(global property)에 관심을 갖고 연구하는 관점이 있고, 반대로 대상의 부분부분이 가지는 성질, 즉 국소적 성질에 주목하는 관점도 있다. 극한은 이 중에서 후자를 대표한다. 극한을 입으로 설명할 때 보통 'x가 a에 한없이 가까우면 어쩌구 저쩌구'라고 말하는 것에서도 알 수 있듯이, 함수 전체에 집중하는 대신 함수 위의 한 점에 주목하여 그 점에서 매우 가까운 부분만 살펴본다는 것이 바로 극한에 담긴 가장 기본적인 아이디어이다. 그러므로 극한을 생각한다는 것은 기본적으로 우리가 관심을 갖고자 하는 지점의 근처만 보겠다고 선언하는 것과 같고, 함수 f의 정의역에서 우리가 보고자 하는 지점인 a의 근처를 제외한 나머지 부분은 그냥 쳐내버려도 상관 없다는 내용이 정의 첫 부분에 숨어있는 것이다.

이제 ε-δ 정의의 나머지 부분에 대해 이해해보자. (함수의) 극한이 'x가 a에 한없이 가까우면 f(x)의 값도 L에 한없이 가깝다' 라는 직관적인 아이디어를 수학적인 언어로 번역한 것에 불과함을 보이기 위해, 이 문장에서 ε-δ 정의를 논리적인 추론으로 이끌어보도록 하겠다. 일단 문장

'x가 a에 한없이 가까우면 f(x)의 값도 L에 한없이 가깝다'

(E-D1)

를 계속 반복해서 쓰는 건 공간과 시간 낭비이므로, 이 문장을 간단히 문장 E-D1이라고 부르자. (위 문장 옆의 (E-D1)라는 기호가 바로 이렇게 부르자는 약속을 나타낸다.)

E-D1은 굉장히 직관적으로 와닿는 문장이긴 하지만, 또한 너무 모호하기도 하다. 대체 L에 한없이 가깝다는게 얼마나 가깝다는 걸 의미하는가? 가깝다 멀다는 상대적인 개념이다. 기준이 있어야만 그 기준보다 가깝다 멀다를 이야기할 수 있는 것이다. 그러므로 가깝고 먼 것의 기준으로 ε이라는 양수를 하나 택하자. 즉, f(x)과 L 사이의 거리가 ε보다 작으면 f(x)와 L이 가까운 것이고, 그렇지 않으면 둘은 먼 것이다. 그리고 '한없이' 라는 말은 '기준 ε을 얼마나 작게 잡든지 상관없이'로 해석할 수 있다. 즉, 문장 E-D1은

'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, x가 a에 한없이 가까우면 f(x)는 L에 가깝다'

또는

'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, x가 a에 한없이 가까우면 |f(x) - L|<ε 이다'

(E-D2)

와 같이 적을수 있다.

x가 a에 한없이 가깝다는 것 역시 비슷한 방식으로 풀어낼수 있다. 이때 x가 변함에 따라 f(x)가 L에 가까워지고 멀어지는 것은 보통 f(x)의 성질과 기준 ε의 선택에 의존함에 주의하자. 그러므로 x가 a에가 가깝다는 것에 대한 기준을 δ라고 두면, δ가 아무 수나 될 수는 없음을 알 수 있다. 그러나 어쨋든간에 문장 E-D2는 x가 a에 충분히 가까울 때 f(x)도 L에 가까워지기를 요구하고 있으므로, 그러한 기준 δ를 적당히 잡을 수 있다면 문제는 해결된다. 그러므로 문장 E-D2는 다음과 같이 바꿔적을 수 있다.

'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, (x와 a가 가깝다는 것에 대한) 적당한 기준 δ를 잡을 수 있어서,  x가 a에 가까우면 |f(x) - L|<ε 이다'

또는

'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, 적당한 기준 δ>0 를 잡을 수 있어서,  0<|x - a|<δ 이면 |f(x) - L|<ε 이다'

(E-D3)

여기서 x와 a가 같은 경우를 빼는 것에 의아해하는 사람이 있을지도 모르겠는데, 이 점은 우리가 함수의 극한을 'x가 a에 한없이 가까이 다가가지는 하지만 a 자신안 되지 않는 상황'에서 생각하는 것이 좀 더 의미있기 때문에 첨가한 조건일 뿐이다. 이리하여 문장 E-D3을 얻게 되었는데, 이 문장은 정확히 바로 ε-δ를 이용한 극한의 정의와 일치한다. 그러므로 우리는 처음의 문장 E-D1이 ε-δ와 일치함을 이해했다.

---

 

롤의 정리

 

 함수 f(x)가 구간 a≤x≤b에서 연속이고, a＜x＜b에서 미분가능, 또 f(a)＝f(b)이면 f'(x)＝0, a＜x＜b가 되는 x가 적어도 하나 존재한다고 하는 정리.

 

본문

↑ 롤의 정리 / 이 정리는, 직관적으로 말해서, 그 함수가 나타내는 곡선의 접선 중, x축과 평행한 것이 적어도 하나는 존재한다는 것을 말해주는 것이다. 특히, 롤의 정리는, f(x)가 a≤x≤b에서 연속이고 f(a)＝f(b)＝k라도 a＜x＜b에서 미분가능하지 않으면 성립하지 않는다. 이를테면, f(x)＝|x－3|은 구간 1≤x≤5에서 연속이고, f(1)＝f(5)＝2이지만, 구간 1〈x〈5에서 미분가능하지 않은 점 x＝3이 있으므로 롤의 정리가 성립하지 않는다.

평균값 정리

“함수 f(x)가 a≤x≤b에서 연속이고, a＜x＜b에서 미분가능(微分可能)이면 

를 만족하는 ξ가 적어도 하나 존재한다.”는 정리를 말한다. 

 

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(1) 역수관계 ① secθ= ② cscθ= ③ cotθ= (2) 나눗셈 관계 ① tanθ= ② cotθ= (3) 제곱관계 ① sin2θ+cos2θ=1 ② 1+tan2θ=sec2θ ③ 1+cot2θ=csc2θ

http://www.mathteacher.pe.kr/

각을 회전각속도(w) 축 중심에서 적도로 떨어지는 각을 sin 에 넣기로 한다

코리올리 힘 [ Coriolis force ] 

코리올리가속도

회전 좌표계에 대하여 상대 속도로 운동하고 있는 물체가 갖는 실질적인 가속도.회전 좌표계에 대한 

상대 속도와 고정 좌표계에 대한 구심 가속도를 합함으로써 고정 좌표계에 대한 가속도를 알 수 있다.

http://ask.nate.com/qna/view.html?n=3709141

북극에서 적도로 대포를 뻥~ 하고 쐈습니다. 그리니치 표준 자오선에서 쐈다고 칩시다. 그 대포알은 지구가 자전한다는 사실을 제외하고 계산하여 적도와 그리니치 표준 자오선과 만나는 지점에 떨어지도록 조정되어 있습니다. 그러면 실제로 자전하는 지구에서 그렇게 대포를 쏘면 정말로 적도의 표준자오선과 만나는 지점에 떨어질까요? 안떨어집니다. 왜냐. 지구가 자전하기 때문이죠. 대포가 지면을 뜬 다음부터는 지면에 의한 힘을 더이상 받지 않습니다. 즉 지면과 함께 자전하지 않는다는 뜻이지요. 그렇다면 그 대포알은 지면의 자전하는 것과 반대방향으로 움직이는 것 처럼 보일 것이요, 직 지면을 기준으로 삼는 인간에게 있어서 '저놈이 가만히 놔뒀는데 저쪽으로 휘어가네?' 이렇게 생각되겠죠.

쉽게 얘기해서 지구본을 놔두고 이걸 지구 자전방향(왼쪽에서 오른쪽)으로 핑그르르 돌린다고 칩시다. 그리고 북극에서 적도쪽으로 펜으로 선을 일직선으로 곧게 그어보세요. 그리고 지구본을 멈추고 선이 어떻게 그려졌는가를 보십시오. 펜을 그은 방향의 오른쪽으로 날아간 것 처럼 보이죠?

즉 실제로는 작용하지 않는 힘인데도 불구하고 지구가 자전함으로서 실제로 작용하는 힘처럼 보이는 이 힘을 코리올리의 힘, 우리말로는 전향력이라고 부르는 것입니다.

참고로 남반구에서는 북반구와 반대방향으로 코리올리의 힘이 작용합니다.

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욕조나 싱크대, 배수구에서 물이 빠질 때에는 어느 한쪽 방향으로 소용돌이치며 빠진다. 유심히 살핀 사람은 소용돌이의 방향이 늘 일정하다는 사실을 눈치챘을 것이다. 소용돌이는 우리나라를 비롯한 지구 북반구에서는 '시계 반대방향', 호주나 뉴질랜드 같은 남반구에서는 '시계방향'으로 생긴다. 이것은 지구의 자전으로 인한 전향력 때문에 일어나는 현상이다. 

이를 처음 발견한 프랑스 과학자의 이름을 따서 '코리올리 힘'이 라 부른다. 코리올리 힘은 북반구에서는 진행방향의 오른쪽, 남반구에서는 그 반대쪽으로 작용한다. 크기는 적도에서 가장 강하고, 극에서 0이 된다. 

태풍이나 대포의 탄도 등은 코리올리 힘이 잘 반영되는 사례다. 적도 근방에서 발생해 북상하는 태풍의 진로는 오른쪽, 즉 동쪽으로 휘게 된다. 태풍의 중심에서 일어나는 소용돌이 또한 이 힘 때문에 시계 반대방향으로 일어난다. 대포를 적도부근에서 북쪽을 향해 발사할 경우 탄도는 동쪽으로 휘고, 북극에서 남쪽을 향해 발사할 경우에는 서쪽으로 휜다. 

문제는 이처럼 지구적 범위에서 일어나는 현상이 욕조의 물 같이 미세한 운동에서도 생길 수 있느냐는 것이다. 이를 입증하기 위해 과학자들은 많은 실험을 했다. 그 결과 외부에서 전혀 힘을 가하지 않는 조용한 상태의 물은 태풍과 동일한 방향으로 소용돌이를 일으키며 빠진다는 사실을 확인했다. 

그러나 지구의 자전이 욕조의 물에 가하는 힘은 대단히 미약하기 때문에, 이 실험을 하기 위해서는 물을 오랫동안 고요한 정지상태로 유지해야 한다. 처음 물을 채울 때 반대방향으로 채웠다면, 그 영향 은 상상 이상으로 오래 간다. 과학자들은 이 오차를 극소화하기 위해 물을 채운 뒤 최소한 하루, 길게는 일주일 이상 기다렸다고 한다. 


코리올리의 힘 공식도 알려드리죠...
전항력(코리올리의 힘) : C=2mνωsinψ 
m : 질량 
ν : 운동속도 
ω : 지구자전 각속도 
ψ : 위도

순열(permutation) 에 r! 을 나눈것

http://cafe.naver.com/hwaryong12/1178

 nCn-r = nCr (n>=r)

ex)

n 명중에서  r명을 뽑는데 k 명을 반드시 한 경우의 수는?

집합 A= { 1,2,3,4,5 }  가 있을때 1,2 를 포함한 부분집합 개수는? 이라는 관점에서 보면

3,4,5 에 대한 부분집합개수 연산에 1,2 는 항상 포함되어 있는 것이니 1,2 를 제외 시켜놓고 3,4,5 에 대한 생각만 하면 된다

즉 n명중에서 반드시 k 명을 포함한 r 명이니 k명은 어느 r 그룹에나 다 포함된 것임으로 k 명에 대한 것을 빼주머 계산하면 된다

먼저 전체 n명에서 k 명만큼 제외하고

선택할 r 명에서는 항상 k 명만큼이 r 명에 들어간 수치이니 r 명에서 k 명을 뺀 나머지 수치에 대한 조합 연산을 하면 된다

n-k C r-k

정리하자면 k 명이 항상 포함되어 있어야 하니 전체 n 명과 선택할 r 명 에서 각각 k 명을 뺀다

왜냐하면 항상 포함되는 k 명을 n명에서 제외 시키는 것임으로 전채 r 에서도 동일하게 k 명이 빠져야 동일한 전체 수치가 적용 된다

조합으로 뽑은 경우의 수의 전체 개수의 나열 개수는?

nCr * r! = nPr

nCr = 조합  n!/ ((n-r)! *r! )

nPr = 순열  n!/(n-r)!

조합으로 나타낸다는 것은 1,2,3 또는 2,1,3 을 한개로 본 경우이다

( 순열에서 순서만 다르고 같은 숫자들의 개수로 나눈 것이 조합 )

n 개의 겹치지 않는 접이 있을때 만들 수 있는 선분의 수는?

=nC2

n 개의 겹치지 않는 점이 있을때 만들 수 있는 삼각형의 수는?

 = nC3 - (3개의 점이 일직선 상에 있는 것의 수)

n다각형의 점들로 만들 수있는 선분은? 단 외곽선 제외

=nC2 - n

-n 은  다각형의 외곽 선의 개수

n 개의 직선을 가로로 긋고 m의 직선을 세로로 그었을때 생기는 평행 만들어지는 평행 사변형의 갯수는?

nC2 * mC2

평행 사변형은 가로선 두개와 세로선 두개로 만들어 짐으로 겹치지 않는 세로 , 가로 각 두개씩의 선의 경우의 서둘로

만들어 질 수 있다

nC2 가 가로에 대한 2개씩의 선을 뽑아오는 경우의 수라면 이때

mC2 에서 나온 한가지의 경우의 수만을 nC2 와 겹친다고 하면

nC2  *1 개 만큼 생성

mC2 에서 두가지의 경우의 수에 대해 고려한다면

nC2  * 2 개 만큼 생성

결론적으로

nC2 * mC2 개만큼 생성 된다

순열 permutation

n개의 서로 다른 것 중에서 r개(nr)를 택하여 어떤 순서에 따라 일렬로 배열하는 것. 이를테면 서로 다른 3개의 문자 a, b, c중에서 2개씩 택하여 일렬로 늘어놓는 방법은 ab, ac, ba, bc, ca, cb의 6가지이다.

일반적으로 n개의 서로 다른 것 중에서 r개를 취해 일렬로 늘어놓는 방법을 각기 n개에서 r개 취한 순열이라 하고 이 순열의 수 (늘어놓는 방법의 개수)를 라고 표시하며 다음과 같이 계산한다.

이 공식에 의하면 위의 보기는 =3·2=6으로 계산된다.

〔중복순열〕 n개의 서로 다른 것 중에서 r개를 택하는 순열에서 중복을 허락하는 것. 예를 들어 네 개의 숫자 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하고, 세 숫자를 취하여 3자리 정수를 만드는 방법은 첫째 100의 자리에는 1, 2, 3, 4 중 어느 숫자라도 올 수 있으므로 네 가지, 다음의 10의 자리에는 100의 자리에 쓴 숫자도 올 수 있으므로 1, 2, 3, 4의 네 가지, 또 1의 자리도 마찬가지로 네 가지이다.

따라서 세 자리 정수의 개수는 4×4×4=64가지이다.

일반적으로 n개의 서로 다른 것 중에서 중복을 허락하여 r개를 택하는 중복 순열의 수는 라고 쓰며 다음과 같이 계산한다.

n개 중에 같은것이 몇 개 포함되어 있는 경우를 생각한다.

n개 중에 같은 것이 각각 p, q, r, …개 있다면 이들을 전부 합하여 n=p+q+r+…개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수는

이다.

이를테면 a, a, a, b, b, c, c, d의 8개의 문자를 모두 사용하여 만들 수 있는 순열의 수는 a가 3개, b가 2개, c가 2개, d가 1개이므로 다음과 같이 계산된다.

출처 : http://blog.naver.com/dalsapcho/20130975163

코사인 제 2법칙 증명

 

 

1. 들어가며   저는 대학을 졸업한 사람으로, 수학, 특히 수학교육에 관심이 많은 사람입니다. 비록 수학을 전공하지는 않았지만 제 전공(화학공학)특성 상 수학을 일상에서 굉장히 많이 쓰고 있습니다. 지금은 대학생이 된 몇몇 학생들도 제 손을 거쳐갔습니다. 현재도 학생 한 명을 가르치고 있구요.   현업에서 수학을 많이 쓰는 사람으로서, 그간 제가 해오던 방식대로 수학적 사고 과정을 고스란히 담아내면 많은 학생들에게 도움이 되지 않을까하여 이렇게 글을 씁니다.    이 포스팅은 수1 이전 과목 중 가장 중요하다고 손꼽히는 코사인 제 2법칙 의 증명 및 식의 의미 이해에 관한 글입니다.     이 글이 필요한 학생은 1. 고1 마지막 파트인 삼각함수를 소홀히 한 학생 2. 도형에 관한 감이 없는 학생 3. 수능을 준비함에 있어서 도형부분에 자신이 없는 학생    입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다.

 

 

2. 코사인 제 2법칙이란?              위와같은 삼각형 ABC에서,     또는,

 

3. 증명          증명에 앞서, 짚어야 할 몇 가지가 있습니다. 첫째는 삼각형의 6요소이고, 둘째는 코사인 제1법칙 입니다. 이 두 내용을 알고 있는 학생이라면 바로 3) 코사인 제 2법칙의 증명으로 넘어가셔도 됩니다.   1) 삼각형의 6요소 삼각형이란 변 세 개와 각 세 개로 이루어 진 도형을 말합니다. 이 때, 세 개의 변과 세 개의 각을 아울러 삼각형의 6요소 라 부릅니다. 삼각형의 6요소가 중요한 이유는, 앞으로 다루게 될 모든 삼각형들의 각 요소 요소를 어떤 문자로 표현할 건 지에 관한 것이기 때문입니다.   삼각형의 6요소 중 세 개의 각은 대문자로, 세 개의 변은 소문자로 표현합니다.   이 때 중요한 규칙이 있습니다. 각 각과 마주보는 변-대변-에 같은 문자를 지정합니다.   예를들어, 각 A의 마주보는 변이 a가 되고, 각 B의 마주보는 변이 b가 되고, 각 C의 마주보는 변이 c가 됩니다.   이처럼 대변과 대각의 관계(대응하는 변과 대응하는 각의 관계) 를 가지고 삼각형의 6요소를 이해하는 게 중요합니다.       2) 코사인 제 1법칙 코사인 제 2법칙은 코사인 제 1법칙으로부터 유도되는 식입니다. 따라서 코사인 제 1법칙을 우선 알아야 합니다.   위 그림에서 꼭지점 A에서 변 a에 수선을 긋고 그 때 생기는 수선의 발을 점 D라고 하겠습니다.     이 때, 변 BD는 변 c와 각 B로 표현할 수 있습니다.   마찬가지로 변 CD는 변 b와 각 C로 표현할 수 있습니다.     그런데 위 그림에서 변 BD와 변 CD의 합이 변 a가 되는군요.     이처럼, 한 변을 나머지 두 변과 그들의 대각의 코사인값으로 표현하는 것을 코사인 제 1법칙 이라 합니다.   위의 예에서는 변 a를 나머지 변 b,c와 그들의 대각의 코사인값인 cosB와 cosC로 표현하였습니다. 나머지 변에 대해서도 똑같은 논리를 적용할 수 있습니다. (여러분이 직접 해보시기 바랍니다.)       식의 패턴을 잘 파악해야 합니다. 세 식 모두 우리가 관심있어하는 특정 변이 좌변에 있고, 우변에는 그 변을 제외한 나머지 두 변과 그 변에 대응하는 대각의 코사인값이 서로 교차하며 곱해져 있습니다.   예를 들어, 마지막 식 에서 관심있는 변(구하고자 하는 변) : b 나머지 두 변 : a, c 나머지 두 변의 대각의 코사인값 : cosA, cosC 서로 교차해서 곱하면 : acosC, ccosA 그들의 합 : acosC+ccosA   나머지 두 식 역시 위 '패턴'을 따르고 있습니다. 공식을 무작정 외우지 마시고 패턴을 익혀서 기억하는 걸 권장합니다.         3) 코사인 제 2법칙 이제 본격적으로 코사인 제 2법칙을 유도하겠습니다. 이 공식 유도 과정에 녹아있는 아이디어를 잘 이해해야합니다. 수학에서 문제를 어떤 방식으로 바라보고 해결해 나가는 지가 잘 나타나기 때문입니다. 그 '방식'을 캐치하고 기억해놓는다면, 후에 또다른 문제에 그 '방식'을 적용해서 해결할 수 있을 것입니다.   각설하고, 코사인 제 2법칙은 코사인 제 1법칙으로부터 유도된다고 했습니다. 코사인 제 1법칙에 나온 식 세 개를 가져와 보면,     위와 같습니다. 우리가 목표로 하는 공식인 코사인 제 2법칙을 다시 한 번 상기하면,   식을 잘 보면, 우리가 관심있어하는 변(b)의 제곱이 좌변에 있습니다. 우변에는 그 변을 제외한 나머지 변 두 개(a, c)가 등장하고 b의 대각 B의 코사인값이 있습니다.   코사인 제 1법칙으로부터 어떻게 제 2법칙을 유도할 수 있을까요? 바로,  코사인 제 1법칙에는 등장하지만 제 2법칙에는 등장하지 않는 군더더기 요소들을 '소거'하기만 하면 됩니다.   그러한 군더더기 요소가 cosA, cosC 임은 쉽게 파악할 수 있을 것입니다.   식(1)과 식(2)에서 cosC를 소거해보겠습니다. 식(1)에서 cosC의 계수는 b, 식(2)에서 cosC의 계수는 a입니다. 계수가 다르면 소거가 불가능하기 때문에 계수를 같게 맞춰주려면 식(1)에는 양 변에 a를 곱하고, 식(2)에는 양 변에 b를 곱해서 두 식의 계수를 ab로 맞춰주면 됩니다.   식(1)의 양 변에 a를 곱하면, 식(2)의 양 변에 b를 곱하면, 두 식을 빼면,   cosC가 소거됐습니다. 이제 cosA를 소거해봅시다. 마찬가지 방법으로, 식(3)과 식(4)에서 등장하는 cosA의 계수를 맞춰줍시다.   식(3)에서 cosA의 계수는 b, 식(4)에서 cosA의 계수는 -bc이므로, 식(3)에만 양 변에 c를 곱하면 될 것입니다.   식(3)의 양변에 c를 곱하면 식(4)와 식(5)를 더하면 식을 b²에 관해 정리하면,           이로써 코사인 제 2법칙이 유도됐습니다. 식을 cosB에 관해서 정리하면 두 식 모두 코사인 제 2법칙이라 부릅니다.     4) 코사인 제 2법칙의 의미   코사인 제 2법칙은 유도과정도 중요하지만 식의 의미를 이해하는 게 더 중요합니다. 원래 삼각형의 그림과 코사인 제 2법칙을 봅시다.   좌변은 우리가 관심있어하는(혹은 구하고자 하는) 변입니다. 우변은 그 대상을 다른 요소들로 표현한 식입니다. 그림상으로 보면,   b를 구하기 위해선  a와 c, 그리고 각B (혹은 그 각의 코사인 값인 cosB)가 필요합니다.   위 삼각형의 6요소 (A,B,C, a,b,c)는 임의로 정해 진 것입니다. 따라서 이를 좀 더 일반화 시켜 말할 수도 있을 것입니다,     코사인 제 2법칙은 삼각형의 특정 변을, 나머지 두 변과 그 끼인각을 사용해서 구할 때 쓰는 공식입니다.     코사인 제 2법칙의 또다른 형태 역시 비슷하게 해석될 수 있습니다. 우리가 관심있는 것은 좌변에 있는 각도 B(좀 더 엄밀히 말하면, 이 각도에 cos함수가 취해진 형태) 입니다. 우변에는 삼각형의 세 변이 모두 들어 있습니다.     즉, 각도 B를 알아내기 위해선-비록 그 각도의 코사인값을 알아내는 간접적인 방법이긴 합니다만 나머지 세 변 a,b,c가 필요합니다. (여기서 주목할 점은, 각 B의 대변  b는 나머지 두 변 a, c와는 다르게 분자에  자기 혼자만 부호가 반대인 채로 등장하고 있다는 것입니다.)   이를 일반화 시키면,   코사인 제 2법칙의 또다른 형태는 삼각형의 특정 각을, 나머지 세 변을 이용해서 구할 때 쓰는 공식입니다.

4. 정리          코사인 제 2법칙은 수능과목 직전(수학10-나)에 등장하는 공식으로, 그 중요도 및 효용성이 비수능 과목 통틀어 가장 큰 공식이라 할 수 있습니다.   이 포스팅에서는 1. 삼각형의 6요소 2. 코사인 제 1법칙 3. 코사인 제 2법칙 을 유도했습니다.   공식 유도 속에 녹아있는 아이디어였던 군더더기 요소를 소거함으로써 식에서 제외 시키는 기법에 대해 언급했으며, 코사인 제 2법칙의 의미, 식이 언제 어떤 상황에서 사용될 수 있는지에 대해서 해석해보았습니다.

http://ko.wikipedia.org/wiki

선형성(線型性, linearity) 또는 선형(線型, linear, 라틴어: linearis)은, 직선처럼 똑바른 도형, 또는 그와 비슷한 성질을 갖는 대상이라는 뜻으로, 이러한 성질을 갖고 있는 변환 등에 대하여 쓰는 용어이다. 함수의 경우, 어떠한 함수가 진행하는 모양이 '직선'이라는 의미로 사용된다. 이러한 개념은 수학, 물리학 등에서 많이 사용된다. 다른 말로 1차(一次)라고도 한다. (단어 '1차' 자체는, '선형'을 의미하지 않는 경우도 많다.)

[편집]선형 사상

수학에서 선형성에 대한 정의는 다음과 같다.

함수 에 대해,

• 임의의 수 , 에 대해 가 항상 성립하고
• 임의의 수 와 에 대해 가 항상 성립할 때

함수 는 선형이라고 한다.

(여기서 는 실수나 복소수, 또는 벡터 등 일반적으로 환상의 아벨 군의 원소이다. (α는 스칼라 곱을 의미))

예를 들면, 일차함수의 경우, 원점을 지날 경우에 선형성을 갖는다.

선형대수학은 이러한 선형의 변환과 이로써 확보되는 공간의 성질에 대하여 연구를 하는 학문이다. 벡터 및 벡터 공간, 행렬을 이용하여 표시되는 선형사상 또는 선형방정식 계열에서 취급된다.

또한 함수를 함수로 투영하는 사상인 작용소(operator)의 선형성은 함수해석학에서 취급되고 있다. 함수의 미분을 작용소로 생각하여 얻어낼 수 있는 미분작용소(예: ∇ 나 라플라스 방정식)의 개념은, 선형 작용소의 중요한 예가 된다.

[편집]미분방정식에서의 선형성

미분방정식이 선형일 경우에는, 선형대수학의 수준으로 해를 찾아내는 것이 가능하다. 그러나, 카오스와 같이 선형이 아닌 (비선형인) 경우에는, 해를 구하는 것이 매우 어렵게 되어 버린다. 그러나 한편 팽르베 방정식과 같이, 어느 종의 대칭성을 가지고 있으며, 기하학적으로 다양한 성질을 내포하는 경우가 존재하는 등의 이유로, 수학자나 물리학자들의 관심의 대상이 되고 있는 것들 또한 비선형 미분방정식이기도 하다.

계, 변환 등이 비선형이라는 것은 그 구성요소의 합이나 곱 등 선형 결합으로 설명할 수 없다는 것을 뜻한다.

[편집]비선형 방정식의 예

비선형 방정식 중에는 다음과 같은 친숙한 것들도 있다.

또, 많은 다항식은 비선형 방정식이다. 그러나 연립 비선형 방정식은 훨씬 복잡하다. 게다가 다음과 같은 1차 상미분방정식

은 그 해를 구하는 방법이 널리 알려져 있다. (변수 분리) 그러나

 , 여기서  은 비선형 함수

와 같은 고차 비선형 방정식을 푸는 것은 일반적으로 매우 어렵다. 비선형 편미분 방정식의 해는 더욱 구하기가 어렵다. 물론 해의 존재, 해의 안정성, 동역학에 대한 정리가 증명되어 있기도 하다.

단진자의 움직임을 기술하는 다음 비선형 미분 방정식을 보자.

일반적으로 이 방정식은 가 매우 작다는 가정을 하여 로 놓아 아래 선형 방정식으로 바꾸어 해를 구한다.

그러나 가 큰 범위를 진동한다면 진자의 비선형성은 진자의 움직임에 훨씬 크게 기여한다. 이 비선형 방정식에 의한 진자의 움직임은위상 평면, 타원적분 등의 방법을 이용하여 분석한다.

테일러 씨리이즈...

저번에서 얘기 했듯이 이번에는 복소평면에서의 복소수의 성질에 대해 알아보자

위에 나오는 평면을 복소평면이라 하는데, 복소평면이란 가로축을 실수축, 세로축을 허수축으로하는 평면을 말한다.

처음에는 항상 그랫다 싶이 사람들은 허수를 믿지 않았다.  왜냐면 볼 수 없었기 때문이다. 실제로 사람들이 음수를 인정하지 않던 이유도 '-3개의 사과','-5ㅡm의 막대'를 볼 수 없었기 때문이었다. 그래서 덴마크의 측량기사 카스파르 베셀(1745~1818)은

이렇게 생각했다.

"허수는 수직선의 어디에도 없다. 그렇다면 수직선의 밖, 즉 원점에서 위의 방향으로 뻗은 화살표를 허수로 생각하면 되지않을까?"

이 방법을 이용하면 드디어 허수가 "눈에 보이게" 된다.

이러한 아이디어는 비슷한 시기에 프랑스의 회계사 장 로베르 아르강(1768~1822)와 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스 (1777~1855)에 의해서도 발표되었다. 그래서 복소평면을 가우스 평면이라고도 한다.

설명은 이정도로하고 복소수의 기하학적의미에 대해 파악해보도록 하자.

일단 복소수의 사칙연산이다.

 위의 그림은 복소수의 덧셈을 표기한 것이다. 고2학생들중 기학벡터를 배운 학생 또는 그 이상의 교육을 받은 사람이면 어디서 많이 본듯한 그림일 것 같다. 복소수의 덧셈은 마치 벡터의 합을 구하는 것과 매우 흡사하다.

합을 눈으로 봤으니 이제는 곱을 눈으로 봐보자.

곱을 보기 전에 일단 허수단위 i의 순환을 눈으로 보고 곱으로 들어가도록 하자.

이를 다른 일반적인 복소수에 대해서도 일반화를 시키자면

위에서 보면 복소수 a+bi 와 c+di 를 곱하고 있다. 이것을 잘 한 번 살펴보자

위에서 과 는 각각의 복소수의 절댓값으로서 원점과의 거리를 의미하고 과 는 실수축의 양의방향과 이루는 각도이다.

이제 (a+bi)(c+di) 를 해보자

위 두식을 비교해 보면 알 수 있듯이 두 복소수의 곱의 절댓값은 두 절댓값의 곱과 같다는 것을 알 수 있다.

이번에는  각의 관점에서 복소수의  곱을 봐보자

 
 두 복소수를 위와 같이 놓고 곱을 해보자

 
 위 식으로 알 수 있듯이 두 복소수의 곱이 이루는 각은 두 복소수의 각을 더한 것과 같아진다.

(만약 위식이 이해가 가지 않으면 삼각함수의 덧셈정리라고 검색을 한번 해보시길)

이런식으로 복소수의 곱을 해보면 쉽게 회전 확대의 원리를 이해 할 수 있을 것이다.

오늘은 여기 까지만 하고 다음번 복소수에서는 이런 복소수가 도데체 어디에 쓰이는 지 한번 알아보도록 하자.

0. 루트안에 음수인 상태인 변수는 i 로 만들지 못한다

a<0

 1) √( -a ) !=  √( a )i       안됨   a 는 음수 이므로 루트안이 음수 라서 성립 안됨 밖으로 i 로써 나갈 수 없음

 2) √( -(-3) ) !=  √ ( -3 )i  안됨   루트안이 -3 음수이므로

  3) √( -(3) ) !=  √ ( 3 )i  성립  3 이 양수 이므로 i 로써 나갈 수 있음

  4) √( -(-a) ) !=  √( (-a) ) i  성립 루트안의 -a 는 양수 이므로 성립

정리

  √( -a ) = √( a )i 라고 표기할때는 반드시 a > 0 이어야 함

   이를 기반으로 루트와 실수에서의 지수 법칙이 서로 정립이 됨

1. 복소수가 허수를 포함한다

2. 분수중 분모에 0 이 들어가면 정의를 하지 않는 이유는 복소수 때문

a,b 가 실수일때 

a + bi = 0

if b!=0 

-a/b = i   가 성립되어 허수 i 가 실수라는 모순이 일어남

그래서 b 는 0 을 포함한 실수로둔다면 논리가 성립될 조건이 갖춰짐

3. 허수끼리의 대소관계를 정의하지 않음

    허수가 들어가는 모든 확장된 대소관계는 정의되지 않는다

4. 단 a,b 가 실수일때 a,b 가 같으면 두 복소수는 같다라고 정의

   즉 a=1-i 와 같은  라는 복소수가 되면 안됨 왜냐하면 이렇게 되면 무수히 많은 해가 존재 하게 됨

   a,b 가 실수 일때는 두 복소수가 같을 조건의 a,b 는 오직 하나만 존재하게 됨

5. 복소수 * 켤레복소수 는 실수의 조합을 만들어냄

   복소수 * 켤레복소수는 복소수 i 가 사라지는 결과를 나타냄

특수치환  

삼각치환, 지수식치환, 루트치환

http://cafe.naver.com/himath119.cafe?iframe_url=/ArticleRead.nhn%3Farticleid=585&

http://blog.shonan.wo.tc/60126143310

http://blog.naver.com/obrigadu/50098592713

이 조건제시법을 이용하여 실수와 유리수, 정수, 자연수의 집합을

간단하게 표현할 수 있다. 이들은 R, Q, Z, N 으로 표시하며

다음과 같이 정의한다.

R = {x | x is a real number}

Q = {x | x is a rational number}

Z = {x | x is an integer}

N = {n | n is a natural number}

조건제시법의 예를 좀더 들어보자.

10 이상 5000 미만의 자연수들의 집합은 {x ∈ N | 10 ≤ x < 5000}이며

{x√2 + 3 | x ∈ N, 3 ≤ x < 7} 로 표현된 집합은

{3√2 + 3, 4√2 + 3, 5√2 + 3, 6√2 + 3}를 나타낸다.

집합 - 조건제시법  수학사랑  2010/09/02 03:42 http://blog.naver.com/g1230dj/80114629162 A={(x, y)|x+y=4, x, y는 자연수}와 같이 조건 제시법으로 표현된 집합을 원소나열법으로 표현할 수 있다면 집합 절반은 먹고 들어갑니다.  조건제시법은 A={원소의 형태 | 조건}의 형태로 집합을 표시하자 약속한 것입니다. 위의 집합을 원소나열법으로 표현하지 못하는 것은 약속을 기억하지 않기 때문이죠.  문제에서 집합 A의 원소의 형태는 순서쌍 즉, A는 순서쌍을 원소로 갖는 집합이예요. 당연히 조건을 따져야겠죠? x+y=4를 만족하는 (1,3), (2,2), (3,1)이 주어진 집합의 원소입니다.  수학을 잘하려면 정의와 용어에 목숨걸라는.^^

닮음

삼각함수 항등식(三角函數 恒等式)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 sin², cos² 등의 함수는 sin²x = (sinx)²와 같이 정의된다.

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

emath 사이트에서 얻은 답변

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극선 : 어떤 원이 하나 주어지고 원 밖에 어떤 한 점 p(알파,베타) 가 주어졌을때

p와 원과 접하는 두 직선의 두개의 교점을 지나는 직선의 방정식을 극선의 방정식 이라고 한다

포인트는

두개의 직선방정식을 각각 p 점 을 기준으로한 직선의 방정식으로 놓은 후

이 둘의 교점을 을 지나는 교정점을 x,y 변수로 두면 이 둘을 지나는 하나의 직선의 방정식(극선의 방정식) 이 된다는 것

그리하여 어느 원 밖의 한 점  p 와 원의 중점 o 를 이은  (o->p) 의 선분과 수직하는 선과 원이 교차하는 원의 접점을 지나는 극선의 방정식을

구할 수 있다

하나의 직선의 방정식이 두 접점을 지나간다는 것은 곳 두 점을 지나는 직선의 방정식 임으로...

참고강의

http://blog.naver.com/ama1088?Redirect=Log&logNo=90047241784&jumpingVid=8C5C2F86A865FC54A56F6F67CF4D6F7E46F2

다른 참고할만한 글..

http://blog.naver.com/factorial2/50064073475

절대값

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

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수학에서 절댓값이란, 어떤 실수에서 부호를 제거한 값을 말한다. 예를 들어, 3과 -3의 절댓값은 둘 다 3이 된다.

또한, 복소수, 사원수, 벡터 등에 대해서도 절댓값을 일반화시킬 수 있다.

목차  [숨기기] 1 실수 2 복소수 3 주석 4 참고

[편집]실수

절대값 함수

어떠한 실수 a의 절대값은 로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

정의에 따라, 이 값은 양수나 0이 될 수는 있지만, 음수는 절대 될 수 없다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.

 (대칭성)

 (삼각부등식)

또한, 다음 식은 유용하게 사용된다.

이 식을 이용하면 절대값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.

[편집]복소수

복소수에서는 값들의 크기 비교가 불가능하기 때문에^[1], 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인

를 이용할 수 있다.

임의의 복소수

에 대해, 절댓값 | z | ,는 다음과 같이 정의된다.

이렇게 정의하면, 앞의 절대값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.

이때 피타고라스의 정리에 따라 절대값은 원점과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절대값이 된다.