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∑ 의 뜻과 기본성질

1. ∑ 의 뜻 → a1 + a2 + a3 + … + an =  ☞ a1, a2, a3, …, an ⇔ ak (k = 1, 2, 3,  …, n) 2. ∑ 의 기본성질 1) = cn (단, c는 상수)→= c+c+c+…+c = cn 2)= c→=ca1+ca2+ … +can = c(a1+a2+ …+an) = c 3)

Problem 3-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 2 + 5 + 8 + … + 41 을 ∑ 기호를 써서 나타내시오.
   (답) 

   1) 2, 5, 8, … , 41 은 첫째 항이 2, 공차가 3 인 등차수열 → k 째 항은 2+(k-1)×3 = 3k-1
   2) 3k-1 = 41 → 3k = 42 ⇔ k = 14   ∴ 2 + 5 + 8 + … + 41 =

   ☞ 첫째 항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 k 째 항 → a+(k-1)d

   
   
   
2. 3²+ 5²+7²+ … + 19² 을 ∑ 기호를 써서 나타내시오.
   (답) 

   1) 3, 5, 7, … , 19 는 첫째 항이 3, 공차가 2 인 등차수열 → k 째 항은 3+(k-1)×2 = 2k+1
   2) 2k+1 = 19 → k = 9     ∴ 3²+ 5²+7²+ … + 19² = 

   ☞ 수열의 합을 ∑ 꼴로 나타내려면 … → k 째 항을 먼저 구합니다. ^^

   
   
   
3. = 30, = 50 일 때, 의 값을 구하시오.
   (답) -80

   =2-3+1·10 = 2·30 - 3·50 + 10 = -80^^

   ☞ ∑ 의 세 가지 기본성질

   1)= cn (c 는 상수)   2) = c 3) 

4. 등차, 등비수열의 합을 구하는 공식을 써서 의 값을 구하시오.
   (답) 2171

   1) = = (2¹+2²+2³+…+2¹⁰)+3(1+2+3+…+10)-40
   2) 2¹+2²+2³+…+2¹⁰ = 2(2¹⁰-1)/(2-1) = 2¹¹-2 = 2046 ← 등비수열의 합 S_n = a(rⁿ-1)/(r-1)
   3) 1+2+3+…+10 = (10/2)(1+10) = 55 ← 등차수열의 합 S_n = (n/2)(a+l)
   4) 준식 = 2046+165-40 = 2171 ^^

   = a¹+a²+a³+…+aⁿ = a(aⁿ-1)/(a-1) → 첫째 항이 a, 공비가 a 인 등비수열의 합

목록으로

∑ 의 기본공식, 자연수 거듭제곱의 합

1. = 1+2+3+ … + n = n(n+1) ← 첫째 항이 1, 공차가 1 인 등차수열의 합 2. = 12+22+32+ … +n2 = n(n+1)(2n+1) → 자연수 제곱의 합 3. = 13+23+33+ … +n3 = {n(n+1)}2 → 자연수 세제곱의 합 2) 의 증명 → 항등식 3k2+3k+1 = (k+1)3-k3  을 이용 3) 의 증명 → 항등식 4k3+6k2+4k+1 = (k+1)4-k4 을 이용

Problem 3-2 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 를 계산하시오.
   (답) 1255

   

   ☞ ∑ 의 세 가지 기본성질

   1)= cn (c 는 상수)   2) = c 3) 

2. 를 계산하시오.　
   (답) n(n+1)(n+2)(n+3)

   

   ☞ 

3. 를 계산하시오.
   (답) n⁴+n²-2n+3

   

   ☞ = (a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n)-(a₁+a₂+a₃+…+a_n-1) = a_n

4. m+n = 12, mn = 8 일 때, 를 계산하시오.　
   (답) 56

   

   ☞ 

   
   

http://www.mathteacher.pe.kr/

동영상강의 : http://brand.pandora.tv/my.sagye/40757419

음수의 제곱근의 성질  : http://blog.naver.com/ksbs1957/120122189661

http://ch.gomtv.com/2468/23279/182601/117

닮음비라는 것은 두 도형이 닮음일 때, 거기서 대응하는 변의 길이의 비를 말하는 것입니다.

예를 들면, 세 변의 길이가 각각 5cm, 4cm, 3cm인 삼각형과 10cm, 8cm, 6cm인 삼각형이 있다면

그 둘은 닮음이고(SSS닮음), 그 때의 닮음비는 1:2라고 하는 거죠.

그래서 닮은 비가 1:2 라는 것은   하나의 정사각형의 한변이 1 이라면 2배의 변을 갖은 정사각형과의 비는

1인 정사각형 : 2인 정사각형

->1:2

3D 또는 2D 에서 Scale 을 떠올리면된다.

그리고 이때 알 수 있는 것은 넓이의 비가 m^2 : n^2 이라는 것

정사각형 닮은 비가 1:2 라면 넓이의 비는 1^2 : 2^2  = 1 : 4

http://www.bemath.co.kr/m/dic/m2/2-084.html

참고 : 닮은도형, 닮음(평면도형), 닮음(입체도형), 닮음비(평면도형), 닮음비(입체도형), 제곱, 닮은도형의 부피의 비
 

만약 닮은 비가 m : n 이라면!   (스케일된 도형이라면)

부피의 비는 m^3 : n^3 이 된다

http://www.bemath.co.kr/m/dic/m2/2-085.html

참고 : 닮은도형, 닮음(평면도형), 닮음(입체도형), 닮음비(평면도형), 닮음비(입체도형), 세제곱, 닮은도형의 넓이의 비

등비수열(等比數列)은 각 항이 그 앞 항과. 일정한 비를 가지는 수열을 말한다. 그리고, 이 일정한 비를 공비(共比)라고 한다.

첫항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

ex) 

∞

∑ ( -1/3 )^n

n=1

은 위 조건식에 맞춰 n=1 일때가 첫항 a 가 된다 즉

a=(-1/3)^1 = -1/3

ar=(-1/3)^2 = 1/9

임으로 공비는

ar=(-1/3)^2 = 1/9

r=((-1/3)^2)/a = (1/9)/a

r=((-1/3)^2)/(-1/3) = (1/9)/(-1/3)

r=(1/9)/(-1/3) = (1/9)/(-1/3)

r=-3/9 = -3/9

r=-1/3 가 된다.

급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

등비수열의 예 [편집]

첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ...

첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.

729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...

첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.

3, -3, 3,-3, 3, -3, 3 ...

기본적 성질 [편집]

첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.

등비수열은 n ≥ 1에 대해다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가

• 양수이면, 모든 항은 첫항과 같은 부호를 가진다.
• 음수이면, 계속 부호가 번갈아 가며 나타난다.
• 1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.
• 1이면, 모든 항의 값이 같아진다.
• -1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
• -1이면, 모든 항의 절대값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다.
• -1보다 작으면, 음의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.

등비수열은(공비가 -1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 되는 관계를 가지고 있다.

등비중항 [편집]

0이 아닌 세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, b를 a와 c의 등비중항이라 한다.

따라서 세 수 a, b, c에 대하여, b가 a와 c의 등비중항이라면

 즉, b² = ac가 성립한다.

또 b² = ac에서 이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

등비수열의 합 [편집]

a₁부터 a_n까지 더한 합인 등비급수 S_n은 다음과 같이 구할 수 있다.

여기에서 r의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

무한등비급수 [편집]

무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 합으로 다음과 같이 정리된다

 단 |r| < 1 일 때)

lim n->∞ a(1-r^n)/(1-r)

= lim n->∞ a/(1-r) - ar^n/(1-r)

임으로 |r| < 1 이면 ar^n 은 0 으로 수렴하고 - ar^n/(1-r) 또한  0 으로 수렴하게 되어 남는 ㅓㅅ은

lim n->∞ a/(1-r) 이 된다, 즉 이 값으로 수렴하게 된다 (|r| < 1 일때)

http://www.mathteacher.pe.kr/m_common.htm

 |Y| = f(x) 이 경우 Y 가 Y < 0 일때 -Y = f(x) 가 되어 Y = - f(x) 가 되어 x 축 대칭이 된다고 하는 설명을 자주

보는데 이때문에 혼란이 오는 경우가 있다 이렇표기하지 말고

루트(Y^2) = f(x)  로 인식하여 푸는 것이 효과적이다, 위의 설명에는 절대값 개념이 미약하면 혼란스러워 질 수 있기때문인데,

정리하자면

(Y^2) = f(x) 인 것중 x 에 어떤 수를 넣어 2가 넣었다고 하자

(Y^2) = 2 이와 같이 나올텐데 그렇다면 Y 는 이 식을 만족하는  2개의 해를 갖는다, 즉 -2 와 2 그래서 이때의 그래프는

함수가 아니다, 그런데 그래프상 그려야 하니 해를 만족하는 모든 수치를 그래프에 그리게되어

같은 정의역에 두개의 y 값이 찍히게 된다

강의 http://blog.naver.com/dhhansh/100066008873

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일반 미분 

( e^x)' =  e^x

a^x = a^x lna

(ln|x|)' = 1/x

합성함수 미분

 y = f(u) , u = g(x)

y = f(u) =  f(g(x))

y' = dy/dx = dy/du * du/dx

   = df(u)/du * dg(x)/dx

   = f'(u) * g'(x)

   = f'(g(x))g'(x)  = y'

http://blog.naver.com/ama1088/90048375053

Taylor series  와  Maclaurin series 를 이용한

삼각함수의극한 

약식으로 처리한것이 테일러 급수, 맥럴린급수 이론에 의한 것 임을 설명하고있다.

직접 테일러급수와 맥럴린급수를 구하여 극한에 어떻게 적용되는지  알아보자. 

개념에 도움이 될까싶어 설명했다. 암튼 삼각함수 의 극한을 좀더편하게 하는데 의의가 있다.

이어지는강의는 곧 준비하겠습니다

모의고사

모의고사

수능기출

http://blog.naver.com/ama1088/90051025148

역함수의 미분 머리가 찌근거린다고 숨어있는 간단한 원리가

있단다 함 같이 공부해보자^^

모의고사

마지막 개념 설명 이다 이거 보고 이해 안되면 지구인 아니다.ㅋㅋ

http://blog.naver.com/ama1088/90048690725

http://blog.naver.com/ama1088/90051906687

미분계수 너무쉽게만 알고있는건 아닌지...

평균변화율의극한을 항상 언제나 미분계수 로 나타낼수 있는건

아니다. 평균변화율의극한 모양을 미분가능할때 , 연속이지만 미분불능일때, 불연속일때로 나눠 정리해보았다 많은 도움이 될거라 확신한다.

실전연습문제 2문제 정도 풀어보자

두번째 문제에서 pq<0 and p+q=0 인거 생략했어요

위에서 했으니까요 이정돈 예상할수 있겠죠
p=1, q=-1 입니다 h의 계수 하나는1 다른하나는-1 이니까요

노파심에 적어요...^^

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일은 위의 식에서 W=FS  이다

일 : 물체를 F의 힘으로 끌어 S만큼 이동시키는 것

동력 : 단위시간에 s/단위시간 만큼 이동 시키는 비율

 

아래부터는 네이버 지식에서 발췌

동력 [ power , 動力 ] 

위도는 아래처럼 표시를 하지만 프로그램에서는

제일위쪽( 빨간 원의 위쪽인 즉 원에 수직인 ) 축을 기준으로 잡고 이것을 빨간 원쪽으로 원점 기준으로해서

내릴때의 각을 위도각도로 잡는다

그림에서 Φ 가 반대로 되는 것이 일반적이다

http://ko.wikipedia.org/wiki/

[위도, 경도]

위도(φ)와 경도(λ)를 나타낸 그림. 경위선(눈금) 간격은 10도이다.

[적도]

정의상 적도의 위도는 0°이다. 그러므로 적도의 북쪽을 북반구라 하며, 남쪽은 남반구가 된다.

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http://blog.naver.com/bestian/10090433060

1. 관성좌표계 :

   관측자가 속한 계가 정지 또는 등속운동을 하는 계.

   등속으로 움직이는 기차에서의 물리실험은 뉴턴의 법칙을 만족한다.

2. 비관성좌표계:

   관측자가 속한 계가 가속도 운동을 하는 계.

   급가속 또는 급제동하는 기차 내부.

   원운동을 하는 물체 내부.

   급제동을 하는 기차 내부에서 물리 실험을 하면 단순한 뉴턴법칙을 적용할 수 없다.

   따라서 가짜힘(관성력)을 도입하여 설명해야 한다.

   원심력도 존재하는 힘이 아닌 가짜힘이다.

http://cafe.naver.com/physvoyage/15243

관성좌표계란 관측자나 관측자가 속한 계(system)가 정지나 등속도 운동을 하는 경우이고,
비관성좌표계란 관측자나 관측자가 속한 계가 가속도 운동을 하는 경우입니다. 
원심력은 비관성좌표계에서 관측자가 느끼는 관성력(가상의 힘)입니다.

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각운동량 = 운동량 모멘트

회전하는 물체의 회전 운동의 세기. ≠ 토크

d각운동량/dt = 토크

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1114&docId=133603492&qb=a25vdCDtla3qs7XquLA=&enc=utf8&section=kin&rank=2&search_sort=0&spq=0&pid=g/jVPF5Y7thsstXsZDNssc--232521&sid=T-asTzOq9k8AAFn6Cew

마하(mach)와 노트 (knot) 공통점은 둘 다 속력(速力)을 나타내는 단위입니다.

다만 차이점이라면

먼저 노트는 선박 ·조류(潮流) ·항공기 ·바람 등의 속력을 나타내는 실용단위로서

과거 동력엔진이 나오기 전 16세기 경 부터 사용되기 시작한 저속의 항해용

단위였습니다. 

노트(knot)라는 명칭의 유래 또한 당시 선미(배꼬리) 부분에 삼각형의 널판지를

끈에 매달아 흘려보내면서 그 끈에 28 ft(약 8.5 m)마다 매듭(knot)을 짓고, 28초 동안

풀려나간 끈의 매듭을 세어 배의 속력을 재었던 데서 유래합니다. 

오늘날에도 노트는 항해에 주로 사용되며 1시간에 1해리(1,852m)의 속력을 나타냅니다.

그러니까 시속으로 따진다면 시속 약 1.852 킬로미터입니다.

그리고 마하 (mach)는 비행기, 총알, 미사일 등 비교적 고속 비행체나 고속기류의 속도를

나타내는 근래에 도입된 단위입니다.

즉 유체 속에서의 음속을 기준으로 물체의 속력을 결정하는 값으로 오스트리아 에른스트

마하가 초음속 연구에서 도입한 것이 그 계기가 되었습니다.

라이트 형제가 비행기를 처음 발명한 후 부터 약 50년 간, 즉 제트 엔진의 항공기가 성행하던

시기까지 비행속도에는 마하라는 개념이 없었습니다.  그렇다 보니 항해에서 사용되던 노트를

그대로 차용해서 사용하는 편이 훨씬 편리하였죠.

따라서 항공산업이 발달한 지금까지 노트는 마하와 함께 그대로 사용되고 있습니다.

오늘날에도 마하는 제트기관의 항공기 이외에는 사용될 일이 별로 없으며 자연히 저속항공기

(세스나 헬기 등)의 속력 단위로는 노트가 사용될 수 밖에 없습니다.

출처 : 위키

속력

나사의 사진자료중에서.. 이런 실험과 그 설명이 놀랍습니다. 

이 작은 공은 우주가 영원히 팽창할 것을 보여주는 증거이다.
이 공이 진공상태의 에너지 파동에 대한 반응의 결과 부드러운 평판쪽으로 
움직인 거리는 10분의 1밀리미터를 조금 넘는 것으로 측정됬다.

50년전, 왜 마요네즈와 같은 유체가 천천히 움직이는지 알아내려했던, 발견자의 이름을 따서 
이 인력을 카시미르 효과(Casimir Effect)라고 한다.
오늘날 우주의 에너지 밀도는 암흑에너지라고 부르는, 
알려지지 않은 형태로 되어있다는 증거가 누적되고 있다.

암흑에너지가 무엇이며, 어떻게 형성되었는지에 대해서 알려진 것이 없지만, 
우주 그 자체에서 생성됬으며, 카시미르 효과와 유사한 
진공상태의 에너지 파동과 관계된 것으로 추측하고 있다.

광대한 영역을 차지하고 있는 이 신비의 암흑에너지는 모든 물질에 대하여 척력을 행사하고 있으며,
바로 이 힘이 우주를 영원히 팽창하게 할 것이다......
NASA 원문보기 http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap100103.html