테일러 급수와 맥럴린 급수

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테일러 급수와 맥럴린 급수

송정헌2011-01-15 21:38:51주소복사

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테일러 급수란?

  :테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 어떤 함수를 다항식의 형태로 근사하는 방법이다. 

    이 이름은 영국의 수학자 브룩 테일러의 이름에서 따온 것이지만, 이것을 브룩 테일러가 처음으로 발견한 것은 아니다.

테일러 급수는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

 

  

 

이를 공식화 하면 다음과 같다.

 

  

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설명....

대수함수란 대수방정식으로 표현할수 있는 함수를 대수함수라고 합니다.

대수방정식이란 미지수에 관한 대수식 (다항식,유리식 또는 무리식)만으로 이루어진 방정식입니다.
더 정확하게 표현하면 다항식이 대수함수가 아니고 덧셈,뺄셈,곱셈,나눗셈,거듭제곱에 의해서 다항식으로 변형할수 있는 형태의 식을 대수식이라고 합니다.

예) 다항함수,유리함수,무리함수,.......

초월함수란 대수함수 이외의 함수를 말합니다.

즉, 덧셈,뺄셈,곱셈,나눗셈,거듭제곱을 하여도 다항식으로 변형이 되지 않는 함수를 말합니다.
예) 삼각함수,지수함수,로그함수,.........

[출처] 대수 함수 / 초월 함수|작성자 규승

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위키벡과

 

2x,3xy²와 같이 몇 개의 수나 문자들의 곱으로 나타내어진 식을 단항식이라고 한다. 단항식에서 특정한 문자에 주목할 때, 곱해진 문자의 개수를 그 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 나머지 부분을 계수라고 한다. 단항식 또는 단항식의 합으로 나타내어진 식을 다항식이라고 한다.

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다항식(多項式, 문화어: 여러다미식)은 대수학에서 중요하게 다루어지는 수학적 개념으로 역사적으로도 현대대수학의 성립에 큰 역할을 했다.

다항식은

3x³ − 7x² + 2x + 23

과 같은 형태의 식을 말한다. 각각의 「3x³」, 「-7x²」, 「2x」, 「23」을 항 (項, term)이라 부르고, 여러 개의 항으로 이루어졌기 때문에 다항식이라고 부른다.

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Tip  분수 미분 공식

  (단, )

 

 

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http://blog.naver.com/ama1088/90048375053

 

아래 강의는 위 링크에서 강의를 하시는 슈인샘의 강의중 캡쳐를 한 것입니다

p.s 이시대의 몇안되는 진정한 수학자이시죠

 

 

 

 항등식 f(x) 를 계속 미분해나가면서 계수를 구해나가고 규칙성을 찾아낸다

 

 

 

 

 

초월함수 는 대수적 함수중 유한개의 항으로 이루어진 다항함수로 나타낼 순 없지만

무한히 항이 많은 다항함수의 급수로 표현될 경우 초월 함수  f(x) 를 다항함수형태로 표현 할 수 있다

이때의 표현식을 테일러 급수라 하고 ∝ = 0 일때 x 에 관한 식이 됨으로 이를 맥럴린 급수라 한다

변수 x 만 남게 되면 연산이 쉬워진다는 특성이 있어 특징적 이름이 하나 더 있다 정도로 기억하면 될듯..

 

정리 : 초월 함수 f(x) 를 다항함수로 근사 시킨 것 = '테일러 급수' or '맥럴린 급수'

         - 핵심 : 다항함수로 무한히 더해 나간다는 것

 

 

초월 함수중 하나인 sin(x) 를 맥럴린 급수를 이용하여 3차 까지만의 결과로 근사적 초월 함수 sin(x)를 구해본다면

 

 

 

와 같다,   즉 차수가 커질 수록 초월함수 sin(x) 에 가까워지는 것이고 차수가 작을 수록 sin(x) 와

오차가 좀 더 있는 sin(x) 를 구할 수 있다는 것.

 

: sin(x) 를 맥럴린으로 구할때 차수가 짝수인 것들은 계수가 0 이다

-> sin 을 미분하면 cos 이걸 다시 미분하면 -sin 이걸 미분하면 -cos 상황이 cos->sin->cos->sin 반복...

이며 맥럴린 방식은 ∝ = 0 일때의 방식임으로 sin(0) = 0 이 되기때문

즉 홀 수 차수 인 항상들 계산해 나가면 된다.

 

다음은 cos(x) 에 대한 맥럴린 급수의 풀이이고 sin 을 풀때와 반대로 짝 수차 항들을 계산, 더해주면 되겠다

 

 

cos(x) 로의 근사..