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물리학은 세상의 모든 이치를 알아내겠다는 인간의 원대한 꿈을 담은 학문이지만, 다른 한편으로는 우리 생활 곳곳에 알게 모르게 스며들어 영향을 미치지 않는 곳이 없는 학문이기도 하다. 그 중에서도 특히 스포츠는 물리학의 오랜 친구이다. 사실 골프공의 표면이나 야구공의 실밥 하나에도 깊은 물리학이 들어 있다. 또한 박주영의 프리킥, 이승엽의 홈런, 박태환의 수영 등을 보고 있으면 그들이 비록 물리학자는 아니지만, 얼마나 물리학을 효과적으로 이용하고 있는지 감탄하지 않을 수 없다.

스포츠에도 과학의 원리가 숨겨져 있다

이번 겨울에는 밴쿠버 동계올림픽이 우리를 기다리고 있다. 이번 올림픽에는 사람들의 관심이 다른 때에 비해 더 큰 듯하다. 그다지 좋지 않은 경제상황 때문인 것 같기도 하고 또한 쇼트트랙이나 스피드 스케이팅 이외에도 얼마 전에 상영했던 스키 점프를 소재로 한 영화 덕분에 동계 스포츠에 대한 관심이 늘었기 때문이기도 할 것이다.

하지만 특히 이번에 열릴 동계올림픽이 주목을 받는 것은 피겨 스케이팅 때문일 것이다. 그 동안 남의 나라 잔치로만 생각했던 피겨 스케이팅에 김연아 선수가 강력한 우승후보로 등장했으니 말이다.

동계올림픽의 꽃이라고도 부르는 피겨 스케이팅은 스포츠와 예술이 결합하여 감동을 주는 아름다운 종목인데, 물리학자들은 피겨 스케이팅에서 특별한 아름다움을 더 발견한다. 선수가 얼음 위에서 만들어내는 몸짓 하나, 점프 하나에 물리 이론들이 생생하게 실현되기 때문이다. 이 글에서는 그 중에서 몇 가지 간단한 것들을 다뤄보고자 한다.

2010밴쿠버 동계 올림픽에서 금메달이 기대되고 있는 자랑스런 김연아 선수

얼음이 미끄러운 이유는, 얼음의 표면이 물로 덮여있기 때문이다

우선 스케이팅의 존재 근거에 대한 질문을 해보자. 얼음은 미끄럽다. 만약 미끄럽지 않았다면 스케이팅이라는 운동 자체가 없었을 것이다. 그런데 왜 미끄러울까? 마루에 물이 있으면 미끄럽듯이 아마 얼음 표면에도 물이 있기 때문일 것이다. 하지만 왜 얼음 표면에 물이 있는 것일까? 영하 10도가 넘는 추운 날씨에도 여전히 얼음 표면은 미끄럽다.

얼음이 미끄러운 이유는 최근에야 제대로 밝혀지기 시작했다.

이에 대한 설명은 대략 세 가지 정도가 있다. 가장 널리 알려진 설명은 사람 몸무게가 날카로운 스케이트 날에 집중되어 얼음에 강한 압력을 가하기 때문이라는 것이다. 얼음은 물보다 부피가 크기 때문에 압력이 커지면 부피를 줄이기 위해 물로 변한다는 사실에서 착안한 설명이다. 하지만 실제 사람 몸무게 등을 넣어 구체적인 계산을 해보면 압력에 의한 효과는 그리 크지 않다. 따라서 옳은 설명이라고 할 수는 없다.

다른 한 가지 설명은 얼음을 지칠 때 스케이트 날과 얼음 사이의 마찰에 의해 열에너지가 발생하여 얼음 표면이 순간적으로 물로 바뀐다는 것이다. 이것은 여러 실험과 구체적 계산을 통해 어느 정도 근거가 있는 설명으로 인정받고 있다. 하지만 이것 역시 완벽한 설명은 아니다. 빠른 속도로 움직이는 경우에는 적지 않은 마찰이 발생하지만 그냥 서 있으면 날과 얼음 사이에 마찰이 발생할 리 없기 때문이다. 얼음은 그냥 보통 신발을 신고 서있기만 해도 미끄럽지 않은가?

마지막 설명은 본래 얼음 표면이 얇게 물로 덮여있기 때문이라는 것이다. 이렇게 되는 근본적인 이유는 얼음 표면의 물 분자들이 얼음 내부의 물 분자와 다른 상황에 놓여 있기 때문이다. 얼음 내부에서는 물 분자들이 각 방향으로 서로 연결되어 있지만 표면의 물 분자는 위쪽으로는 다른 분자와 연결되지 않은 채로 남아 있다. 그래서 영하의 온도에서도 얼음이 되지 못하고 액체 상태를 유지하게 된다. 이 설명은 1850년대에 패러데이(Michael Faraday, 1791~1867)가 맨 처음 제안했다가 오랫동안 주목을 받지 못했으나, 최근에 정밀한 실험과 이론 계산 등을 통해 옳은 것으로 드러나고 있으며 지금도 매우 활발히 연구되고 있다. 얼음이 미끄럽다는 단순한 사실이 이제야 비로소 과학적으로 올바른 설명이 가능해지고 있으니 젊은 과학도들은 아직 할 일이 남아있다는 것에 안도의 한숨을 내쉬어도 좋을 듯하다.

영하 20도에서 얼음의 표면을 수퍼 컴퓨터로 계산한 그림. 위쪽이 얼음 표면이다. 얼음 내부의 물 분자는 규칙적으로 배열되어
고체인 얼음을 이루고 있는 반면에 표면의 물 분자는 불규칙하게 연결되어 액체상태와 유사함을 볼 수 있다.
<출처: T.Ikeda-Fukazawa. K.Kawamura. Journal of Chemical Physics 120(2004)1395.>

피겨 스케이팅의 스핀은 각운동량 보존 법칙으로 설명할 수 있다

이제 얼음 위에서 볼 수 있는 아름다운 예술과 놀라운 기술의 하모니, 피겨 스케이팅 속의 물리학에 대해 얘기해보자. 피겨 스케이팅의 기술요소에는 스핀, 점프, 스파이럴, 스텝 등이 있는데 먼저 스핀에 대해 알아보자. 스핀에서 가장 기본은 일자로 서서 회전하는 것인데 스케이터가 처음에는 팔을 벌리고 천천히 회전을 하다가 팔을 안쪽으로 모으면서, 회전 속도가 매우 빨라지는 것을 볼 수 있을 것이다. 이것은 근본적으로 우리 우주의 모든 방향이 동등하다고 하는 것에서 나오는 각운동량 보존법칙의 결과이다. 이에 대해서는 다음 기회에 자세히 알아보기로 하고 여기서는 결과만 이야기하자.

대강 말하여 각운동량은 회전 운동이 얼마나 강하게 일어나는지를 나타내는 개념으로서 회전 속도가 클수록 각운동량이 크고 또한 같은 회전 속도라면 회전축에서 멀리 떨어져 있을수록 각운동량이 크다. (무슨 얘기인지 잘 모르겠으면 시소를 떠올려보자. 같은 몸무게라면 시소의 고정점에서 멀리 떨어진 곳에 앉은 사람이 회전을 더 잘 시킨다. 지렛대도 마찬가지 원리다.) 따라서 팔을 벌려 큰 각운동량을 가지고 회전을 시작하다가 팔을 안으로 모으면 같은 각운동량을 유지하기 위해 저절로 회전이 빨라질 수밖에 없다는 얘기다.

회전하는 선수가 팔을 안으로 모으는 것은 회전 속도를 증가시키기 위함이다.

점프의 회전수는 체공 시간과 회전 속도에 의해 결정된다

두 번째로 물리 법칙을 찾아볼 피겨 스케이팅의 기술은 점프이다. 피겨 스케이팅에서 가장 중요한 기술은 무엇보다도 점프일 것이다. 점프는 도약지점까지의 접근방법이나 도약할 때 스케이트 날을 사용하는 방법 등에 따라 여러 종류로 구분된다. 각 점프는 대략 100년 전에 분화된 것으로서 그 후 50여 년의 시간이 흐르며 3회전까지 할 수 있게 되었다. 요새 3회전 점프가 모든 선수에게 필수인 것을 보면 그 사이에 점프 기술이 많이 발전했음을 알 수 있다. 이러한 발전 덕택에 현재 완성된 형태의 점프는 물리학의 관점에서 볼 때 수행방법이 매우 효율적으로 되어 있다.

공중에서의 회전수는 두 가지에 의해 결정된다. 체공 시간과 회전 속도. 물론 체공 시간이 길수록, 그리고 회전 속도가 빠를수록 회전수가 늘어난다. 체공 시간은 스케이터에 관계없이 점프의 최고 높이에 의해 결정된다. 그리고 최고 높이는 스케이트 날이 얼음을 떠나는 순간 선수의 무게중심이 수직방향으로 얼마나 빠른 속도로 위로 올라가느냐에 의해 정해진다. 그러면 그 뒤에는 고등학교 물리 시간에 배우는자유낙하 공식에 의해 최고 높이와 체공 시간이 결정되는 것이다. (농구나 배구 등 다른 운동에서도 마찬가지다. 어떤 선수의 체공 시간이 길다는 것은 그 선수가 특수한 능력이 있어서 같은 높이로 뛰어오르고도 공중에 머무는 시간이 길다는 것이 아니라 그냥 높이 점프한다는 의미일 뿐이다. 지구에 있는 모든 것은 똑같은 중력가속도를 느끼기 때문이다.)

일단 체공 시간이 정해지면 그 다음에는 회전 속도에 따라서 공중에서의 회전수가 결정된다. 그런데 회전 속도는 위에서 설명한 것처럼 각운동량이 핵심 역할을 한다. 따라서 몸이 얼음을 떠나기 직전에 팔다리를 펴서 회전을 시작하여 각운동량을 최대로 했다가 도약 직후 팔다리를 안으로 모아 몸을 일자로 만들면 회전이 빨라지게 된다. 만약 공중에서 원하는 회전수를 다 채웠다면 다시 팔다리를 펴서 회전을 거의 멈추게 할 수도 있을 것이다. 이것이 바로 착지할 때 스케이터가 팔과 다리를 다시 벌리는 이유이다. 그런데 점프를 할 때 팔을 모으는 것이 그리 쉬운 일은 아니다. 회전하는 동안에는 팔에 원심력이 작용하기 때문인데 이런 원심력이 중력의 네 배까지 커지기도 한다.

피겨스케이팅의 꽃, 점프

세계 정상급의 남자 선수들은 3회전을 넘어 4회전 점프를 하기도 한다. 학자들의 연구에 따르면 3회전과 4회전 (혹은 2회전 반과 3회전 반) 점프를 비교했을 때, 4회전이라고 해서 점프의 높이가 크게 높아지지는 않는다고 한다. 이미 3회전 점프에서 한계에 가깝게 높이 점프를 했기 때문일 것이다. 따라서 4회전 점프에서도 체공 시간은 비슷하다. 결국 1회전을 더 하려면 회전 속도를 높이는 수밖에 없는데 그러려면 팔을 좀 더 빨리 안쪽으로 모으고 몸을 더 가늘게 일자로 만들어야 한다. 스케이터들은 비록 물리학에 정통하진 못하지만 경험으로 이런 물리 이론을 터득하고 있다.

김연아 선수의 점프는 웬만한 남자 선수를 능가한다는 평가를 받을 정도로 질이 높은 것으로 유명하다. 점프가 높아 회전에 여유가 있으므로 점프 전에 미리 돌거나 착지 후 모자란 회전을 채울 필요가 없기 때문이다. 최근에는 몸이 공중에 충분히 올라간 뒤 본격적으로 회전을 시작하는 지연 점프(delayed jump)를 하는 것처럼 보이는 경우도 있을 정도이다. 그런데 각운동량 보존법칙에 의하면 지연 점프라고 해서 정말 회전을 멈췄다가 공중에서부터 회전을 시작하는 것은 불가능하다. 다만 팔다리를 모으는 시간을 늦춰서 점프 직후에는 회전 속도가 상대적으로 느린 것일 뿐이다.

김연아 선수의 놀라운 기술은 스케이팅 속도와 관련이 깊다

또한 김연아 선수의 점프는 다른 선수에 비해 비거리, 즉 도약지점에서 착지까지의 이동 거리가 길다. 이것은 스케이팅 속도가 빠르기 때문이다. 그런데 스케이팅 속도가 빠르면 점프할 때 큰 각운동량을 만들어낼 수 있으므로 회전 속도가 빨라진다. 따라서 여유 있는 회전수와 긴 비거리 등으로 높은 가산점을 얻는 김연아 선수의 점프는 결국 전반적인 스케이팅 속도가 빠르다는 것과도 뗄 수 없는 관계에 있다. 이처럼 피겨 스케이팅의 여러 요소들은 서로 독립적인 것이 아니라 물리학에 의해 서로 밀접하게 연관되어 전체적인 연기의 수준을 높이게 된다.

이 밖에도 점프 종류에 따라 회전을 일으키는 방법이나 회전축, 스파이럴, 각종 스핀과 스텝 등에 물리학의 여러 원리들이 매우 아름답게 구현되어 있다. 앞으로 피겨 스케이팅을 볼 때면 독자 여러분도 한 번쯤 숨어있는 물리학을 찾아보기 바란다.

글 김찬주 / 이화여대 물리학과 교수: 서울대학교 물리학과를 졸업하고, 박사학위를 받았다. 뉴욕시립대와 고등과학원, 서울대 물리학과에서 연구하였다. 현재 이화여자대학교 물리학과 교수이다.

발행일 2009.11.20

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위의 길이, 무게, 면적, 체적, 힘.... 등을 클릭해서 원하는 단위로 변환할 수 있다

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항력(Drag), 항공기를 방해하는 힘

앞에서 항공기에 작용하는 힘은 4가지가 있다고 배웠습니다.
양력, 항력, 중력, 추력중에 오늘은 항력에 대해서 써보겠습니다.

항력은 크게 유해항력과 유도항력으로 나뉘어집니다.
유해항력은 다시 형상항력, 간섭항력, 조파항력으로 나뉘어 집니다.
대충 표를 한번 그려보았습니다.^^

먼저 형상항력에 대해서 설명을 해보겠습니다.
형상항력이란 항공기가 형태를 갖춤으로 인해서 생기는 항력입니다.
설계할때 더욱 매끄럽게, 더욱 날렵하게 만들면 형상항력이 줄어들게 되겟지요?
형상항력은 압력항력과 마찰항력으로 구분됩니다.
아니, 압력항력과 마찰항력을 합쳐서 형상항력이라고 부르는게 맞을까요? ^^:;
압력항력은 쉽게 생각하면 공기의 압력에 의한 저항력입니다.
자동차 밖으로 손을 내밀면 손에 압력이 느껴지듯이 비행기 날개에도 압력이 가해집니다.

이 그림에서 볼 수 있듯이 공기와 닿는 앞부분의 면적이 작으면 작을수록

저항이 적은 것을 볼 수 있습니다.

마찰항력은 항공기가 공기와 마찰을 일으키면서 생기는 항력입니다.
공기에도 마찰이 있을까라고 생각하시는 분도 있으실 겁니다.
하지만 아무런 느낌도 없는 공기에도 엄연히 점성이 존재하고 그에따라 마찰력이 존재합니다.
그리고 매끄러운 항공기 표면도 확대를 해보면 사실 울퉁불퉁한 것을 볼 수 있습니다.

마찰항력을 줄이기 위해서는 항공기 표면을 매끄럽게 하는게 중요합니다.

따라서 항공기 외부의 구조물이나 페인트의 상태 등이 영향을 미칩니다.

간섭항력은 항공기 구조물간 상호영향으로 인하여 생기는 항력입니다.
자세히 말하면 항공기 각 부분에 흐르는 공기가 서로 간섭을 일으키기 때문입니다.
이 간섭항력 때문에 항공기 설계시 각 부분의 형상항력을 합해도 총 항력에 못미치는 수치가 나온다고 합니다.
특히 간섭항력이 많이 생기는 곳이 날개와 동체 사이, 엔진나셀, 파일론, 착륙장치입니다.
때문에 간섭항력을 줄이기 위해서 날개와 동체 사이에는 필렛(Fillet)을 장착합니다.

항공기 날개와 동체 사이에 필렛을 장착하면 위 그림과 같이 보다 매끄러운 형태가 나옵니다.

대형항공기에서 많이 사용하는 방법이라고 합니다.^^

조파항력은 초음속비행에 의해서 생기는 항력입니다.
음속을 돌파하게 되면 충격파가 생기는데 충격파는 압축파와 팽창파로 나뉘어 집니다.

총알을 예로 들어보면 가장 앞부분에는 압축파가 생깁니다.
그리고 두께가 가장 두꺼운 부분을 지나가게되면 팽창파가 생기게 됩니다.
압축파를 지나게되면 공기의 압력이 높아지고, 팽창파를 지나면 압력이 낮아지게 되서 항력이 생긴다고 합니다.
복잡해지니까 그냥 초음속비행을 하면 조파항력이라는 항력이 생기는구나 정도만 기억하셔도 됩니다.^^

유도항력은 양력이 발생함에 따라서 수반되어 생기는 항력입니다.
항공기의 날개 끝에서는 아래 그림과 같은 날개끝 와류가 생깁니다.

그리고 날개 윗면을 흐르는 공기는 속도의 차이 때문에 또 하나의 와류(속박와류)를 생성합니다.

이 와류들이 합쳐지면 공기를 아래로 누르는 내리흐름(Down wash)를 생성합니다.

실제 항공기의 Down Wash 모습입니다.

마치 공기를 내리 누르고 위로 날아가는 모습이 연상됩니다.

유도항력을 줄이는 방법은 와류의 생성을 줄이는것 입니다.
때문에 대형 항공기에서는 유도항력을 줄이기 위해 윙렛(Wing let)을 사용하곤 합니다.

항공기의 날개 끝에 접혀올라간듯한 녀석이 윙렛입니다.
여러가지 기능이 있는 장치입니다.

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유체역학의 핵심 지배방정식 : 나비어-스토크스 방정식 (Naview stokes equation) 소개

공학이야기

2008/10/08 10:10

http://blog.naver.com/eshssy/130036019164

클레이 수학 연구소가 밀레니엄 난제로 지목한 7개 문제중 하나에 들어가는 나이어스토크스 관계식은 사실 수십년전부터 기계공학을 비롯한 각종 공학에서는 유용한 지배방정식으로 이미 활용되고 있었다. 단, 수학적 일반해를 구해서 이용한 것이 아니라 수치해석적으로 접근하여 공학적으로 이용한것에 불과하다. 이 방정식의 일반해를 구하는 것은 앞으로도 오랫동안 영구미제로 남을수도 있을 것이다. 비선형 방정식은 아주 오래전부터 지독하게도 어려운 방정식으로 정평이 나 있었기도 하다... 이미 공학을 접었으나 여전히 수학교육이라는 다분히 이공학적 마인드와 관계가 있는 분야에 종사하고 있는 관계로 과거의 악몽이었었던 나비어스토크스 관계식은 여전히 나의 가슴에 영원한 관심사로 남아있기도 하다. 수학교육과 의학의 도상에서 잠시 공학의 기억을 되살려보고자한다.

이동현상은 크게 세가지의 전달현상을 다룬다. 운동량과 열 그리고 물질전달이 이 세가지이다. 이들의 각각 이동현상은 전달매체가 다를 뿐만 아니라 물리적인 이동과정도 매우 상이하다. 그러나 이들의 현상을 설명하는 수학적 체계는 매우 단순하리만큼 일치성을 보이고 있다는 것은 놀라운 점이다.

여기서 내가 다루고자 하는 분야는 바로 운동량 전달이다. 이름대로 운동량의 전달현상을 목적으로 하기에 당연히 운동량의 변화를 설명할 수 있는 관계식으로부터 현상을 이해하여야 할 것이다. 에서 유체 흐름의 운동관계식을 적분형으로 다루어 볼수도 있으나, 적분형 식은 여러 현상을 적용하기에 한계가 있기에 이를 더욱 유용한 미분형으로 바꾸어 일반식을 만들어 놓는 것이 여러 가지 이유로 필요할 것이다. 따라서 여기서는 운동량 관계식을 미분형으로 유도하는 과정을 설명하고, 이에 대한 여러 관점을 함께 논하고자 한다.

일단 나비어 스토크스 방정식을 이해하기 위한 기본 개념을 짚고 넘어가자.

질량보존의 법칙은 자연의 기본 원리로서 잘 알려진 법칙 중 하나이다. 즉 어떠한 물리적 과정을 거치게 될 때, 과정 전과 후의 총 질량이 변하지 않다는 원리이다. 이 법칙을 유체 흐름에 적용시키면 매우 유용하게 사용할 수 있는 관계식을 얻을 수 있게 된다. 우리가 관심을 가지는 대상부피에 대한 질량보존의 개략적 표현은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(1)

이 관계를 잘 살펴보면 매우 당연한 표현이다. 즉, 질량의 유출과 유입의 차이가 바로 대상부피 내의 질량 축적량을 의미하는 것이다. 이 관계를 수식으로 표현하기 위하여 다음의 간단한 모형을 생각해 볼 수 있다.

이 모형은 어느 특정 시간에 형성되는 유선을 표현하였다. dA는 대상부피 표면의 미세면적이고, v는 유선방향의 속도벡터, n는 dA의 법선벡터이다. 당연히 θ는 v와 n의 차이각이다. 따라서 dA로 통과되는 질량의 유출속도는 가 된다. 여기서 를 질량플럭스(mass flux)라고 하며 단위시간당 및 단위면적을 통과하는 질량을 의미한다. 이러한 질량의 유출속도를 벡터 표현으로 바꾸면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

미세면적의 질량 유출속도 =

(2)

이 값을 전체 대상표면에 대하여 적분을 하면 총 대상면적을 통과하는 질량의 순유출량을 알 수 있다. 이 값은 윗 식을 적분하면 얻게 된다.

(3)

이 값이 양수이면 질량의 순유출이 일어나며, 반대로 음수이면 순유입이 된다. 또한 0이면 대상부피 내의 질량은 항상 정량을 유지하게 된다.

한편, 질량 축적속도는 결국 시간에 대한 밀도변화이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

(4)

결과적으로 질량보존의 최종 관계식은 식(3)과 (4)를 식(1)에 적용시켜서 다음의 적분형 물질수지식을 얻게 된다.

(5)

유체흐름의 선운동량 식은 질량보존의 관계식과 매우 비슷하게 유도될 수 있다. 아래 그림에서 운동량의 유출속도는 질량유출속에 속도를 곱하는 것으로 생각할 수 있다. 자세한 관계식 유도는 질량보존의 관계식을 참고하도록 하고, 여기서는 최종 결과식만을 제시하고자 한다.

(1)

1. 유체흐름의 운동량 관계식 모형

유체 운동량의 적분형 관계식을 다음과 같이 유도됨을 전 절에서 다루었다.

(1)

이 관계식을 풀어서 설명하면 다음과 같은 개념관계로 도시할 수 있다.

(2)

이 관계식을 쉽게 설명하기 위하여 식(1)을 대상부피로 나눈 다음 극한값을 취하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(3)

이제 이 식을 하나하나의 항으로 분류하여 풀어보도록 하자.

2. 외부 힘의 합

대상부피에 작용하는 외부 힘의 영향으로는 수직응력과 전단응력, 그리고 중력과 외부로부터 받는 압력의 영향을 적용할 수 있다. 먼저 x 방향으로 작용하는 힘만을 고려한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(4)

식(3)의 형식을 맞추기 위하여 식(4)를 미소부피()로 나누어 극한을 취하고, 동일한 방법으로 y 방향과 z 방향을 적용하면 다음과 같이 종합할 수 있다.

(5)

3. 대상부피를 통과하는 선운동량의 유출속도

위 그림은 대상 미소부피를 통과하는 운동량 flux를 표현한 것이다. 이 그림을 참조하여 식(2)와 (3)의 선운동량의 순 유출속도항을 플어서 쓰면 다음과 같이 표현할 수 있다.

(6)

마지막 식은 연속방정식을 적용시킨 결과이다.

4. 대상부피내의 운동량 변화 속도

(7)

5. 종합된 결과와 Navier-Stokes 방정식

지금까지 얻어진 결과들을 종합하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

(8)

식(8)의 결과식을 식(3)에 대입하고 성분별로 분리하여 쓰면 다음과 같다.

(9)

여기서 D/Dt는 전미분을 의미한다. 식(9)는 응력-변형률 관계에 상관없이 모든 유체에 적용할 수 있으며, Stokes의 점도법칙으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(10)

이렇게 유도된 식(10)을 Navier-Stokes 방정식이라고 부른다. 물론 이 식은 직교좌표의 경우이다.

6. ρ와 μ가 일정한 비압축성 흐름에서의 Navier-Stokes 방정식

일반적인 경우는 이러한 구속조건을 가지는 경우가 많이 발생한다. 비압축성 흐름의 경우는 이므로, 이 경우에는 다음과 같이 전 좌표의 상황을 하나의 식으로 표현할 수 있다.

(11)

특히 더욱 특수한 경우로서 비점성인 경우 즉, 점도가 '0'인 경우의 식을 Euler의 식이라고 불리며, 다음과 같이 나타낸다.

(12)

7. 역학적 에너지관계식의 표현

Navier-Stokes 방정식을 조금 관점을 달리 하여, 흐르는 유체상에서 에너지 관계성이 어떠한지에 대하여 알아보고자 한다. 식(9)를 벡터형식으로 통합하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(13)

식(13)을 에너지 rate형식으로 나타내기 위하여 양 변에 지역속도를 곱하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

(14)

식(14)를 각각 의미를 가지는 항으로 풀어서 정리하면 다음처럼 종합할 수 있다.

	: net rate of input of kinetic energy by virtue of bulk flow	(15)
: rate of increase in kinetic energy per unit volume	: rate of work done by pressure od surroundings on volume element
: rate of increase in kinetic energy per unit volume	: rate of reversible conversion to internal energy
	: rate of work done by viscous force on volume element
	: rate of irreversible conversion to internal energy
	: rate of work done by gravity force on volume element

여기서 항은 Newtonian 흐름에서 항상 (+)값을 가지며, 다음과 같은 의미를 지닌다.

(16)

[출처] 유체역학의 핵심 지배방정식 : 나비어-스토크스 방정식 (Naview stokes equation) 소개 |작성자His son

http://canoas27.egloos.com/2072656

저작자표시 비영리 동일조건

각을 회전각속도(w) 축 중심에서 적도로 떨어지는 각을 sin 에 넣기로 한다

코리올리 힘 [ Coriolis force ]

지구와 같이 회전하고 있는 좌표계에서 수평적으로 움직이는 물체가 느끼는 겉보기힘을 코리올리 힘이라 하고 다음과 같이 표현한다. F ＝ ma ＝ 2mΩV sinΦ, m은 유체의 질량, Ω는 지구자전각속도, V는 유체의 속도, Φ는 위도이다. 여기서 a는 유체의 가속도인데 2ΩV sinΦ로 표현되며 코리올리 가속도라 부른다. 여기서 유체의 속도를 뺀 부분을 코리올리 변수 f로 정의하며 f ＝ 2Ω sinΦ와 같이 표현한다.

움직이는 물체가 그 물체의 속도에 대하여 수직으로 편향하도록 하는 효과를 코리올리 효과라 한다. 지구가 서쪽에서 동쪽으로 자전하기 때문에 코리올리힘은 북반구에서 움직이는 물체의 진행방향의 수직으로 작용하여 운동이 오른쪽으로 편향되도록 하고, 반대로 남반구에서는 왼쪽 90°로 작용하여 진행방향의 왼쪽으로 편향되도록 한다.

전향력은 지구에 상대적으로 운동하는 물체의 속도에 비례하므로, 정지한 물체에 작용하는 전향력은 없다. 코리올리 변수가 위도의 함수이므로 전향력은 고위도로 갈수록 증가한다. 즉, 남극과 북극에서 전향력의 크기가 최대가 되고, 적도에서는 0이다. 전향력은 수직성분은 갖고 있으나 수평성분에 비해 힘의 크기가 매우 작아 무시할만하다. 이 전향력은 압력경도력과 평형을 이루어 지형류 혹은 지균풍을 만들어내고 대규모의 해양순환 및 대기의 운동에 관여한다.

코리올리가속도

회전 좌표계에 대하여 상대 속도로 운동하고 있는 물체가 갖는 실질적인 가속도.회전 좌표계에 대한

상대 속도와 고정 좌표계에 대한 구심 가속도를 합함으로써 고정 좌표계에 대한 가속도를 알 수 있다.

http://ask.nate.com/qna/view.html?n=3709141

북극에서 적도로 대포를 뻥~ 하고 쐈습니다. 그리니치 표준 자오선에서 쐈다고 칩시다. 그 대포알은 지구가 자전한다는 사실을 제외하고 계산하여 적도와 그리니치 표준 자오선과 만나는 지점에 떨어지도록 조정되어 있습니다. 그러면 실제로 자전하는 지구에서 그렇게 대포를 쏘면 정말로 적도의 표준자오선과 만나는 지점에 떨어질까요? 안떨어집니다. 왜냐. 지구가 자전하기 때문이죠. 대포가 지면을 뜬 다음부터는 지면에 의한 힘을 더이상 받지 않습니다. 즉 지면과 함께 자전하지 않는다는 뜻이지요. 그렇다면 그 대포알은 지면의 자전하는 것과 반대방향으로 움직이는 것 처럼 보일 것이요, 직 지면을 기준으로 삼는 인간에게 있어서 '저놈이 가만히 놔뒀는데 저쪽으로 휘어가네?' 이렇게 생각되겠죠.

쉽게 얘기해서 지구본을 놔두고 이걸 지구 자전방향(왼쪽에서 오른쪽)으로 핑그르르 돌린다고 칩시다. 그리고 북극에서 적도쪽으로 펜으로 선을 일직선으로 곧게 그어보세요. 그리고 지구본을 멈추고 선이 어떻게 그려졌는가를 보십시오. 펜을 그은 방향의 오른쪽으로 날아간 것 처럼 보이죠?

즉 실제로는 작용하지 않는 힘인데도 불구하고 지구가 자전함으로서 실제로 작용하는 힘처럼 보이는 이 힘을 코리올리의 힘, 우리말로는 전향력이라고 부르는 것입니다.

참고로 남반구에서는 북반구와 반대방향으로 코리올리의 힘이 작용합니다.

--------------------------------------

욕조나 싱크대, 배수구에서 물이 빠질 때에는 어느 한쪽 방향으로 소용돌이치며 빠진다. 유심히 살핀 사람은 소용돌이의 방향이 늘 일정하다는 사실을 눈치챘을 것이다. 소용돌이는 우리나라를 비롯한 지구 북반구에서는 '시계 반대방향', 호주나 뉴질랜드 같은 남반구에서는 '시계방향'으로 생긴다. 이것은 지구의 자전으로 인한 전향력 때문에 일어나는 현상이다.

이를 처음 발견한 프랑스 과학자의 이름을 따서 '코리올리 힘'이 라 부른다. 코리올리 힘은 북반구에서는 진행방향의 오른쪽, 남반구에서는 그 반대쪽으로 작용한다. 크기는 적도에서 가장 강하고, 극에서 0이 된다.

태풍이나 대포의 탄도 등은 코리올리 힘이 잘 반영되는 사례다. 적도 근방에서 발생해 북상하는 태풍의 진로는 오른쪽, 즉 동쪽으로 휘게 된다. 태풍의 중심에서 일어나는 소용돌이 또한 이 힘 때문에 시계 반대방향으로 일어난다. 대포를 적도부근에서 북쪽을 향해 발사할 경우 탄도는 동쪽으로 휘고, 북극에서 남쪽을 향해 발사할 경우에는 서쪽으로 휜다.

문제는 이처럼 지구적 범위에서 일어나는 현상이 욕조의 물 같이 미세한 운동에서도 생길 수 있느냐는 것이다. 이를 입증하기 위해 과학자들은 많은 실험을 했다. 그 결과 외부에서 전혀 힘을 가하지 않는 조용한 상태의 물은 태풍과 동일한 방향으로 소용돌이를 일으키며 빠진다는 사실을 확인했다.

그러나 지구의 자전이 욕조의 물에 가하는 힘은 대단히 미약하기 때문에, 이 실험을 하기 위해서는 물을 오랫동안 고요한 정지상태로 유지해야 한다. 처음 물을 채울 때 반대방향으로 채웠다면, 그 영향 은 상상 이상으로 오래 간다. 과학자들은 이 오차를 극소화하기 위해 물을 채운 뒤 최소한 하루, 길게는 일주일 이상 기다렸다고 한다.

코리올리의 힘 공식도 알려드리죠...
전항력(코리올리의 힘) : C=2mνωsinψ
m : 질량
ν : 운동속도
ω : 지구자전 각속도
ψ : 위도

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관성좌표계와 비관성좌표계

공학

2010/07/19 11:38

http://blog.naver.com/bestian/10090433060

1. 관성좌표계 :

관측자가 속한 계가 정지 또는 등속운동을 하는 계.

등속으로 움직이는 기차에서의 물리실험은 뉴턴의 법칙을 만족한다.

2. 비관성좌표계:

관측자가 속한 계가 가속도 운동을 하는 계.

급가속 또는 급제동하는 기차 내부.

원운동을 하는 물체 내부.

급제동을 하는 기차 내부에서 물리 실험을 하면 단순한 뉴턴법칙을 적용할 수 없다.

따라서 가짜힘(관성력)을 도입하여 설명해야 한다.

원심력도 존재하는 힘이 아닌 가짜힘이다.

[출처] 관성좌표계와 비관성좌표계|작성자 bestian

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일은 위의 식에서 W=FS 이다
일 : 물체를 F의 힘으로 끌어 S만큼 이동시키는 것
동력 : 단위시간에 s/단위시간 만큼 이동 시키는 비율

아래부터는 네이버 지식에서 발췌

동력 [ power , 動力 ]

단위시간에 하는 일의 비율을 작업율 또는 동력이라 하며, 작업하는 능력을 표시하는데 쓰인다. 그림에서 물체 A가 힘 F를 받아서 힘의 방향으로 S만큼 변위(變位)시키는데 t초가 걸렸다고 하면 동력은 단위 시간당의 작업이므로

또는

이 동력은 1마력, 1㎾로 표시하면 다음과 같이 된다. 75㎏ㆍm/s를 1마력이라 하고 1PS로도 표시한다. 또 102㎏ㆍm/s를 1㎾로 표시한다. 작업량(L)＝동력(P)×시간(t)으로 표시한다.

1㎾＝102㎏ㆍm/s, 1PS＝75㎏ㆍm/s. 1㎾＝1.36PS, 1PS＝0.735㎾, 1㎾＝1000W

동력

출처: 산업안전대사전, 최상복, 도서출판 골드

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모멘트 [ moment ]

글자크기

생각한 점에서 힘의 작용(作用)선에 내린 수직선의 길이와 그 힘과 곱한 것을 말한다. 너트를 스패너를 사용해 체결할 때 스패너의 말단을 잡는 힘을 작용시킬 때와 스패너의 근본을 잡고 너트를 체결할 때에 말단을 잡고 작용하는 편이 회전시키기 쉽다. 물체를 회전시키려고 하는 힘의 작용을 모멘트(moment of force) 또는 줄여서 모멘트라고 한다. 모멘트 기호는 M로 표시한다. 모멘트(M)의 크기는 다음과 같이 표시한다.

모멘트＝힘×회전축에서 힘이 작용선에 긋는 수직선이 길이

M＝F×a

모멘트

O점 : 회전축+I189의 중심(中心).
M : 모멘트의 크기(단위 ㎏ㆍm 또는 ㎏ㆍ㎝)
F : 힘의 크기(단위는 ㎏ 또는 g).
a : 회전축으로부터 힙의 작용선을 끗는 수직선의 길이 (모멘트의 팔이라고도 한다.) (단위 m 또는 ㎝)

이상에서 모멘트의 크기는 회전축으로부터의 거리와 힘의 크기에 비례한다. 모멘트는 시계바늘이 돌아가는 방향을 (+)로 반대방향을 (-)의 부호로 구별한다.

출처: 산업안전대사전, 최상복, 도서출판 골

토크 & 모멘트

전기공학

2006/07/04 00:35

http://blog.naver.com/karismaree/120026254429

안녕하세요?

대학시절 가장 헛깔려하던 개념이네요...^^

토크와 모멘트는 수식이나 개념이 거의 차이가 없다고 봐도 될겁니다...

보통 섞어 쓰는 사람들도 많고요....

그래도 이름이 틀리다는 것은 뭔가가 틀리다는 것이겠죠....

모멘트가 좀 큰 범위의 개념이고 토크는 그 안에 속한다고 보셔야 겠습니다...

모멘트는 힘의 작용점과 지지점이 일치하지 않는 것을 통칭하는 것이고요...

그 중에서 회전하는 물체에 사용되는 개념이 토크입니다...

모터같은 것을 비롯해서 나사를 돌리거나 볼스크류 같은 것... 기타등등...

회전체에 적용되는 모멘트를 토크라는 이름으로 부르고 있습니다....

물론 모멘트라는 것 자체가 회전 운동을 유발하므로 두가지를 완전히 구분하기는 어렵습니다...

예를 들어 의자에 등을 기대고 있으면 의자의 등받이는 의자 다리에 대해 회전력을 받는다고 할 수 있겠죠...

하지만 의자는 회전하는 물체라고 보기는 좀 그렇죠... ^^;;

그래서 그런 것은 모멘트가 작용한다고 하는 것이 맞는 표현이겠죠...^^

수식은 다른 분들이 잘 올려 주셔서 첨부하지 않겠습니다....

대부분의 수학과 물리가 그렇듯이... 물리적인 개념이 없는 수식과 도표를 머리 속에 담고 다니는 것은 자신을 녹음기처럼 단순하게 만들죠....

단순한 수식보다 그 안에 들어있는 물리적인 개념을 잘 이해하시기 바랍니다...

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위도는 아래처럼 표시를 하지만 프로그램에서는

제일위쪽( 빨간 원의 위쪽인 즉 원에 수직인 ) 축을 기준으로 잡고 이것을 빨간 원쪽으로 원점 기준으로해서

내릴때의 각을 위도각도로 잡는다

그림에서 Φ 가 반대로 되는 것이 일반적이다

http://ko.wikipedia.org/wiki/

[위도, 경도]

위도(φ)와 경도(λ)를 나타낸 그림. 경위선(눈금) 간격은 10도이다.

[적도]

정의상 적도의 위도는 0°이다. 그러므로 적도의 북쪽을 북반구라 하며, 남쪽은 남반구가 된다.

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관성좌표계 : 관셩력이 유지되는 좌표계

비관성좌표계 : 관성력이 가속도에 의해 깨지는 좌표계

아래부터는 첨부내용

http://blog.naver.com/bestian/10090433060

1. 관성좌표계 :

관측자가 속한 계가 정지 또는 등속운동을 하는 계.

등속으로 움직이는 기차에서의 물리실험은 뉴턴의 법칙을 만족한다.

2. 비관성좌표계:

관측자가 속한 계가 가속도 운동을 하는 계.

급가속 또는 급제동하는 기차 내부.

원운동을 하는 물체 내부.

급제동을 하는 기차 내부에서 물리 실험을 하면 단순한 뉴턴법칙을 적용할 수 없다.

따라서 가짜힘(관성력)을 도입하여 설명해야 한다.

원심력도 존재하는 힘이 아닌 가짜힘이다.

http://cafe.naver.com/physvoyage/15243

관성좌표계란 관측자나 관측자가 속한 계(system)가 정지나 등속도 운동을 하는 경우이고,
비관성좌표계란 관측자나 관측자가 속한 계가 가속도 운동을 하는 경우입니다.
원심력은 비관성좌표계에서 관측자가 느끼는 관성력(가상의 힘)입니다.

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각운동량 = 운동량 모멘트

물체의 질량과 회전 속도를 곱하고 여기에 회전축에서 떨어진 거리를 곱한 양이다.

회전하는 물체의 회전 운동의 세기. ≠ 토크

d각운동량/dt = 토크

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마하(mach)와 노트 (knot) 공통점은 둘 다 속력(速力)을 나타내는 단위입니다.

다만 차이점이라면

먼저 노트는 선박 ·조류(潮流) ·항공기 ·바람 등의 속력을 나타내는 실용단위로서

과거 동력엔진이 나오기 전 16세기 경 부터 사용되기 시작한 저속의 항해용

단위였습니다.

노트(knot)라는 명칭의 유래 또한 당시 선미(배꼬리) 부분에 삼각형의 널판지를

끈에 매달아 흘려보내면서 그 끈에 28 ft(약 8.5 m)마다 매듭(knot)을 짓고, 28초 동안

풀려나간 끈의 매듭을 세어 배의 속력을 재었던 데서 유래합니다.

오늘날에도 노트는 항해에 주로 사용되며 1시간에 1해리(1,852m)의 속력을 나타냅니다.

그러니까 시속으로 따진다면 시속 약 1.852 킬로미터입니다.

그리고 마하 (mach)는 비행기, 총알, 미사일 등 비교적 고속 비행체나 고속기류의 속도를

나타내는 근래에 도입된 단위입니다.

즉 유체 속에서의 음속을 기준으로 물체의 속력을 결정하는 값으로 오스트리아 에른스트

마하가 초음속 연구에서 도입한 것이 그 계기가 되었습니다.

참고로 마하(M) 1을 시속으로 환산하면 시속 약 1224 킬로미터가 됩니다.

라이트 형제가 비행기를 처음 발명한 후 부터 약 50년 간, 즉 제트 엔진의 항공기가 성행하던

시기까지 비행속도에는 마하라는 개념이 없었습니다. 그렇다 보니 항해에서 사용되던 노트를

그대로 차용해서 사용하는 편이 훨씬 편리하였죠.

따라서 항공산업이 발달한 지금까지 노트는 마하와 함께 그대로 사용되고 있습니다.

오늘날에도 마하는 제트기관의 항공기 이외에는 사용될 일이 별로 없으며 자연히 저속항공기

(세스나 헬기 등)의 속력 단위로는 노트가 사용될 수 밖에 없습니다.

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출처 : 위키

속력

속력(速力, 영어: speed)은 물체의 빠르기를 나타내는 척도의 하나이다. 단위 시간당 이동한 거리로 정의한다.

속력과 속도

속력은 이동방향을 갖지 않는 스칼라량이며, 거리를 시간으로 나누는 값으로 표현된다. 여기서 거리는 실제로 이동한 거리의 값이다. 속도는 속력과 같이 크기를 지닐 뿐만 아니라 방향성도 지니는 벡터량이다.

물체가 이동한 거리를 $x$ 라고 하고 걸린 시간을 $t$ 로 놓고 속력을 수학적으로 표현하면 속력 $v$ 는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.

$v = \frac {x}{t}$

일반적으로 물체는 일정한 속력으로 이동하지 않는다. 예를 들어 자동차가 120km를 2시간에 걸쳐 이동했다면, 그 때의 평균 속력은 60 km/h이다. 그렇지만 다른 시간에 같은 속도로, 또는 같은 시간에 다른 속도로 이동하면 그 속력은 다르다. 물체가 이동할 때 가속과 감속이 여러번 이루어 진다면 아래의 식으로 나타낼 수 있다.

$v = \left|\frac {dx}{dt}\right|$

위의 식에서, 미소(微少) 시간 $dt$ 동안 이동한 거리는 $dx$ 이다.

만약, 물체가 시간 $t$ 동안 거리 $x$ 를 이동했다면, 그 시간동안의 평균 속력은 아래의 식으로 나타낼 수 있다.

$\bar{v} = \left|\frac {x}{t}\right|$

※위의 두 식의 바(bar)로 둘러싸인 우변은 절대값을 나타내고, 세 번째 식의 좌변 $\bar{v}$ 의 바(bar)는 그 값이 평균값임을 나타낸다.

단위

속력의 단위에는 다음과 같은 것들이 있다.

m/s
km/s
mi/h(또는, mph)
노트(kn, kt)
마하（음속의 빠르기를 1로 두는 단위. 예를 들어 마하 3이라면 속력은 음속 × 3 가 된다.)
진공에서의 빛의 속력(일반적으로 기호 c로 쓴다.)으로 자연계에서 가장 빠르다.

c = 299,792,458 m/s

속력의 단위 변환
	m/s	km/h	mph	knot	ft/s
1 m/s =	1	3.6	2.236936	1.943844	3.280840
1 km/h =	0.277778	1	0.621371	0.539957	0.911344
1 mph =	0.44704	1.609344	1	0.868976	1.466667
1 knot =	0.514444	1.852	1.150779	1	1.687810
1 ft/s =	0.3048	1.09728	0.681818	0.592484	1

(굵은 글씨로 된 값는 절대 수치이다.)

속력의 비교

달팽이의 속력 = 0.001 m/s; 0.004 km/h; 0.002 mph
일반적인 사람의 걷는 속력 = 1.1 m/s; 4 km/h; 2.5 mph
100m 달리기 세계 기록 보유자의 속력 = 10.44 m/s; 37.6 km/h; 23.35 mph
타이페이 101의 엘리베이터의 속력 = 16.7 m/s; 60.6 km/h; 37.6 mph
프랑스의 오토루트 제한 속력 = 36 m/s; 130 km/h; 80 mph
보잉 747-8의 최대 항속 = 290 m/s; 1,050 km/h; 650 mph. (마하 0.85)
온도 20°C의 해수면에서의 건조한 공기에서의 음속 = 343 m/s ≈ 1,235 km/h ≈ 768 mph (마하 1)
국제항공연맹이 정한 공식적인 최대 비행속력 = 980 m/s; 3,530 km/h; 2,194 mph
우주왕복선이 지구로 진입할 때의 속력 = 7,800 m/s; 28,000 km/h; 17,500 mph
지구의 평균 공전 속도 = 29,783 m/s; 107,218 km/h; 66,623 mph
진공에서의 빛의 속력 = 299,792,458 m/s (광속의 정의값)

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나사의 사진자료중에서.. 이런 실험과 그 설명이 놀랍습니다.

이 작은 공은 우주가 영원히 팽창할 것을 보여주는 증거이다.
이 공이 진공상태의 에너지 파동에 대한 반응의 결과 부드러운 평판쪽으로
움직인 거리는 10분의 1밀리미터를 조금 넘는 것으로 측정됬다.

50년전, 왜 마요네즈와 같은 유체가 천천히 움직이는지 알아내려했던, 발견자의 이름을 따서
이 인력을 카시미르 효과(Casimir Effect)라고 한다.
오늘날 우주의 에너지 밀도는 암흑에너지라고 부르는,
알려지지 않은 형태로 되어있다는 증거가 누적되고 있다.

암흑에너지가 무엇이며, 어떻게 형성되었는지에 대해서 알려진 것이 없지만,
우주 그 자체에서 생성됬으며, 카시미르 효과와 유사한
진공상태의 에너지 파동과 관계된 것으로 추측하고 있다.

광대한 영역을 차지하고 있는 이 신비의 암흑에너지는 모든 물질에 대하여 척력을 행사하고 있으며,
바로 이 힘이 우주를 영원히 팽창하게 할 것이다......
NASA 원문보기 http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap100103.html

Casimir forces on parallel plates.

두개의 마주보는 평판사이에서 에너지 파동에 의해 척력이 작용하는 원리.

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출처 : 위키

연료분사방식
<기계> 가솔린 기관에서, 기화기를 사용하지 않고 연료를실린더에 고압으로 분사하는 방식. 연료의 공급이 정확히 제어되기 때문에 경제적ㆍ능률적으로 엔진 출력이 증대된다.

연료 분사

시대명
현대 사회의 탄생
연도
1910년
저자
크리스 로체리

애덤스 파웰사(社)가 초크를 없애버리다.

구형 자동차에 시동을 걸어본 적 있는 사람이라면 초크가 작동시키기 번거로운 장치라는 것을 알 것이다.

초크를 너무 많이 잡아 당기면 엔진에서 기름이 넘쳐 흐르고, 충분히 잡아당기지 않으면 엔진이 점화되지 않는다. 이러한 현상으로 인해 자동차 엔지니어들은 카뷰레터를 사용하지 않아도 되는 방안을 강구하였으며 그 결과 연료 분사를 발명하였다.

현재 모든 자동차에 일반적으로 사용되고 있는 연료 분사는 엔진의 연료 공기 혼합비를 적절한 레벨로 유지하는 자동적이고 정확한 방식이다. 현대식 컴퓨터 시스템은 급가속과 같은 빠른 조작 변화에 반응하는 정밀 센서 및 게이지를 사용하여 특정 지점에 공급되어야 하는 연료량을 결정한다. 그러고 난 후 연료 분사기가 스프레이 방식으로 압축 연료를 엔진에 분사한다. 아이오와 주 더뷰크 지역의 애덤스 파웰사(社)가 개발한 최초의 연료 분사 시스템은 이러한 연료 분사 원리를 기계적으로 구현하였다.

연료 분사는 자동차 디젤 엔진에 사용하기 위해 설계되었으나 전쟁 기간 중 항공기에 최초로 사용되었다. 그러나 1950년대 중반까지도 스파크로 점화하는 가솔린 엔진에 연료 분사 기법을 사용할 필요성이 심각하게 고려되지는 않았다.

"제 차에 새 엔진을 달았는데 쓰던 엔진을 제거하는 일을 잊었습니다. 지금 제 차는 무려 시간당 500마일의 속도로 달릴 수 있습니다."
스티븐 라이트, 코미디언

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운동하고 있는 물체의 고정 좌표축에 대한 속도를 말한다.

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물체가 회전하면서 유체(기체 또는 액체) 속을 지나갈 때 압력이 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 휘어지면서 나가는 현상을 말한다. 1852년 독일의 물리학자 하인리히 마그누스는 회전하면서 날아가는 포탄이나 총알이 한쪽으로 휘는 이유가 공기의 압력 차이라고 밝혔다. 한편 축구 경기에서 스핀킥을 찾을 때 공이 휘어지는 것, 야구 경기에서 스크루 볼은 이 마그누스효과 때문이다. 오른발잡이가 발의 안쪽으로 스핀킥을 찼을 때 오른쪽은 공기의 압력이 커지고 왼쪽은 작아지기 때문에 압력이 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 공이 휘는 것이다. 야구 경기에서 스크루 볼 등 회전하면서 날아가는 물체에 모두 적용할 수 있다.

출처

시사상식사전, pmg 지식엔진연구소 ,박문각

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압력항력은 물체의 형상에 따른 항력으로 물체가 유선형 형태를 갖게 되면 항력은 최소화할 수 있다.

그래서 운동경기에서 몸의 형태를 유선형 자세가 되도록 하는 훈련에 의해서 이 항력을 줄일 수 있다,

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[유체에서의 양력]

①-유체의 상대 흐름 속에 놓인 물체에 유체 흐름의 직교 방향으로 작용하는 힘.

-물체에 바람이 닿았을 경우나 유체 중을 물체가 이동하고 있는 경우, 물체가 유체에서 받는

흐름과 직교 방향의 힘.

[그외 양력의 의미..]

②엘리베이터 등의 총칭.

③크레인의 들어올리는 높이. ④댐공사 등에 있어서 한 번에 쳐올리는 콘크리트의 높이.

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출처 :

http://kin.naver.com/open100/db_detail.php?d1id=11&dir_id=1102&docid=1227485&qb=uvi55r/vwMcgs6vHzyC807W1&enc=euc-kr§ion=kin&rank=2&sort=0&spq=0

빗방울의 낙하속도

strategicdh 2009.08.22 09:23

빗방울의 낙하속도는 빗방울이 공기 중을 낙하하면서 받게 되는 세가지 힘들의 균형에 의해서 결정 됩니다.

첫 번째로 중력은 지구의 표면에서 약 9.8m/s² 의 가속도로 작용하며 1kg의 질량당 9.8N 의 힘을 가하게 됩니다.

물의 밀도는 4℃ 1 기압에서 약 1000kg/m³ 이므로 cm³ 당 0.0098N 의 힘을 받게 됩니다.

또한 공기는 물보다 훨씬 약하긴 하지만 부력을 발생시킵니다.

유체가 발생시키는 부력의 크기는 부력의 받는 물체의 부피에 매질이 되는 유체의 밀도와 중력가속도를 곱한 값이 됩니다.

해수면 고도 에서 공기의 밀도는 약 1.2kg/m³ 정도이므로 공기의 부력으로 인한 물의 무게 감소는 0.12% 정도로 다소 미미한 수준입니다.

마지막으로 가장 중요하다고 할 수 있는 항력이 있습니다.

항력은 빗방울이 낙하하면서 매질인 공기와 운동량을 교환함에 따라 빗방울의 낙하방향과 반대방향으로 받게 되는 힘입니다.

낙하하는 빗방울의 속도는 항력의 값과 부력을 제외한 빗방울의 무게가 동일해지는 속도를 계산 함으로서 구할 수 있습니다.

이러한 속도를 종말속도(終末速度, terminal velocity) 라고 합니다.

항력은 크게 두 가지로 나누어지는데 첫 번째는 매질을 구성하는 유체의 점도로 인해 발생하는 성분으로 그 크기는 매질의 점도에 비례하고 유속에 비례하며 유체와의 접촉면적에 비례합니다.

두 번째 성분은 매질의 질량으로 인해 발생합니다.

물체가 매질 속을 통과 하기 위해서는 그 물체의 경로상에 위치한 매질들을 주변으로 밀어내야 하는데 이때 매질에 운동량을 가해서 일정속도 가속시켜야 하므로 낙하하는 물체가 매질에 공급하는 시간당 운동량만큼의 힘을 항력으로서 받게 됩니다.

따라서 이러한 관성에 의한 항력성분의 크기는 물체의 운동방향에 수직인 단면에 비례합니다.

또한 물체의 운동속도가 증가하면 단위시간당 밀어내야 하는 매질의 질량이 증가하고 밀려나가는 매질의 운동속도 역시 증가하므로 물체의 운동속도에는 2제곱에 비례하게 됩니다.

항력의 구성성분중 매질의 점도에 의한 성분은 속도에 비례하고 관성에 의한 성분은 속도의 제곱에 비례하므로 유속이 느릴 때는 점도에 의한 성분이, 빠를 때는 관성력에 의한 성분이 우세하게 작용하게 됩니다.

유체의 흐름이 관성력이 지배적인지, 점성력이 지배적인지를 판단하는 기준이 되는 값으로서 레이놀즈수(Reynolds number) 라는 것이 있습니다.

레이놀즈수는 다음과 같이 정의 됩니다.

D : 유체속을 침강하는 구의 직경, 혹은 유체가 흐르는 관의 직경

ρ : 유체의 밀도

v : 유체의 유속

μ : 유체의 점도

레이놀즈수는 분모에 들어가는 값과 분자에 들어가는 값의 차원이 같기 때문에 무차원수 가 됩니다.

레이놀즈수가 커질수록 관성력이 우세해지며 흐름은 복잡하고 무작위적인 난류가 되려는 경향이 있습니다.

보통 Re > 4000 일때 유체의 흐름은 난류가 됩니다.

반대로 레이놀즈수가 작아지면 유체의 점성력이 우세해지며 난류들은 점성력에 의해 에너지를 잃고 소멸하게 됩니다.

때문에 Re < 2100 이면 유체의 흐름은 층류가 됩니다.

공기의 흐름에서의 레이놀즈수를 구하기 위해서는 공기의 점도를 알아야 합니다.

액체의 점도는 일반적으로 온도가 증가함에 따라 감소하는 반면 기체의 점도는 온도가 증가할수록 강해지는 특성이 있습니다.

공기의 경우 4℃ 에서의 점도는 약 17.6 × 10^-6 Pa·s 입니다.

한편 유체 속을 운동하는 물체가 받는 항력의 크기는 다음과 같이 정의 됩니다.

F_d = C_dρv²A_p/2

C_d : 항력계수

A_p : 물체의 투영면적

ρ : 유체의 밀도

v : 유체의 유속

이 식에서는 항력의 크기가 유속의 제곱에 비례하므로 관성력에 의한 항력을 기준으로 만들어진 식임을 알 수 있습니다.

아래는 여러 가지 형상의 물체들이 갖는 항력계수들을 나타낸 그림 입니다.

구의 경우 0.47 의 값을 가지고 있습니다.

그러나 이처럼 항력계수가 일정한 값을 유지할 수 있는 레이놀즈수의 영역은 제한적입니다.

아래는 레이놀즈수의 변화에 따른 항력계수의 변화를 나타낸 그래프 입니다.

Re값이 작아지면 항력계수의 값이 증가하는 것을 알 수 있습니다.

이것은 작은 Re값 에서는 관성력보다 점성력이 우세해지면서 항력이 유속의 2제곱이 아닌 1제곱에 비례하게 되므로 위에서 소개한 항력의 식이 성립하기 위해서는 항력계수의 값이 Re값에 반비례 해야 하기 때문입니다.

위의 그래프는 로그눈금으로 그려져 있으므로 Re값이 작을 경우의 항력계수 곡선의 기울기는 -1이 됩니다.

빗방울의 형태가 구라고 가정할 경우 부력을 고려한 그 무게는 아래와 같습니다.

4/3 × πr³ × 998.8kg/m³ × 9.8m/s² (물방울의 반지름의 단위는 미터 입니다)

구 형태의 빗방울의 투영면적 A_p 는 πr² 이므로 이 빗방울이 받는 항력의 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

F_d = 0.47 × 0.12kg/m³ × v²× πr²/2 (속도 v의 단위는 m/s 이며 이하 모든 단위는 SI 단위계를 사용합니다)

이 두 가지 값이 같아지는 속도, 즉 종말속도는 다음과 같습니다.

이 식을 이용하여 빗방울의 낙하속도(종말속도)를 계산해보면 직경이 1cm 인 빗방울은 약 초속 15.2 미터이며 직경 1mm 의 빗방울은 약 초속 4.8 미터 입니다.

단, 이 식으로는 항력계수가 0.47로 일정할 경우의 속도만을 계산할수 있습니다.

빗방울보다 훨씬 미세한 크기의 물방울들, 예를 들어 구름이나 안개를 구성하는 물방울들은 매우 큰 항력계수가 적용되기 때문에 위의 식에서 제시되는 값보다 훨씬 느리게 낙하하게 되며 그 때문에 구름은 빗방울과는 달리 하늘에 계속 떠있는 것처럼 보이는 것입니다.

예를 들어 직경이 1마이크로미터인 물방울의 해수면 고도에서의 낙하속도는 초속 0.37밀리미터에 불과한데 이정도 속도로는 10미터를 내려오는데도 7시간 30분이나 걸립니다.

아래는 이러한 효과들을 모두 고려하여 계산한 빗방울의 직경에 따른 해수면 고도에서의 종말속도를 나타낸 그래프 입니다.

아래는 이 그래프를 로그눈금으로 나타낸 것입니다.

곡선이 중간에 꺾이는 것은 레이놀즈수-항력계수 그래프에서 곡선의 기울기가 -1에서 0으로 변화하는 것에 대응합니다.

이러한 항력계수를 통한 빗방울의 낙하속도계산에 의하면 빗방울의 직경이 5미터를 넘을경우 그 종말속도는 초음속에 도달하게 됩니다. 그러나 현실적으로 그렇게 큰 빗방울이 존재하는 것은 불가능 할 것입니다.

아래는 프랑스의 엠마누엘 빌레르모(Villermaux) 교수의 연구진이 고속촬영한 직경 6밀리미터 크기의 물방울이 바람에 의해서 부서는 모습 입니다.

물방울이 구의 형태를 유지할 수 있는 것은 표면장력 때문입니다.

표면장력은 액체가 그 표면적을 가장 작게 유지하려 하는 힘으로 그 퍼텐셜 에너지는 액체의 표면적이 비례하여 높아집니다.

에너지의 크기가 단위면적에 비례하므로 표면장력의 단위는 J/m²으로 나타낼 수 있으며 이것은 N/m 와 동일합니다.

20℃에서 물의 표면장력은 72.75mN/m 입니다.

표면장력은 보통 γ로 나타내며 반지름이 r인 액체방울 내부의 압력은 표면장력에 의해 2γ/r 만큼 증가하게 됩니다.

이 공식에 의하면 1마이크로미터 크기의 물방울의 내부압력은 무려 제곱미터당 15톤에 달합니다.

표면장력에 의한 물방울 내부의 압력은 물방울 반지름에 반비례 하는 반면 종말속도에서 물방울 표면에 가해지는 기류의 압력은 물방울의 반지름에 비례하게 증가 하므로 빗방울의 직경이 커질수록 그 형태를 유지하기 힘들게 됩니다.

빗방울의 직경이 6.7밀리미터가 되면 표면장력에 의한 내부압력과 종말속도(구의 형태를 유지한다고 가정했을 경우의 종말속도) 에서의 물방울 표면에 가해지는 기류의 평균 압력이 동일해 집니다.

이러한 상태의 물방울은 더 이상 구의 형태를 유지하지 못하고 위의 사진에서 소개한 모습처럼 부서져 버립니다.

따라서 5mm 이상 되는 크기의 빗방울은 사실상 존재하기 힘들고 실제로 관측되는 빗방울의 최대 크기 역시 대략 5mm 정도 입니다.

직경 5mm 크기의 물방울이 구의 형태를 유지한다고 가정했을 때 그 종말속도는 약 초속 10.75미터 이며 따라서 현실적으로 가능한 빗방울의 최대 낙하속도는 대략 초속 10미터 안팎 이라고 생각됩니다.

출처 : [직접 서술] 블로그 집필 - Across the Universe

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출처 : 네이버 지식

레이놀즈수에 따라 층류인지 난류인지 나타내기도 한다

레이놀즈수로 유체안의 어떤 구 주위로 흐르는 유체의 속력을 알 수도 있다 하지만 소력은 물체의 형태에따라 달라질수 있다, 또한 구에 작용하는 전체항력으로 구 주우의 흐름특성, 즉 층류인지 난류인지를 판별할 수도 있다

레이놀즈수 [ reynold's number ]

유체의 흐름에서는 점성에 의한 힘이 층류가 되게끔 작용하며, 관성에 의한 힘은 난류를 일으키는 방향으로 작용하고 있다. 이 관성력과 점성력의 비를 취한 것이 레이놀즈수(Re)이고, 수식으로 표시한다면 다음과 같이 된다.

d 는 특성길이(구의경우 지름에 해당한다)
단, υ = 유속, d = 유로의 지름, ρ = 유체의 밀도, η = 유체의 점성계수, ν = η/ρ = 유체의 동점성(動粘性) 계수
레이놀즈수는 무단위의 수치가 되므로, 어떠한 계열의 단위로부터 계산할지라도 같은 수치로 된다. 수류를 주로 하는 상온액의 흐름 실험에 의하여 Re 2000 이하인 때 흐름은 층류로 되고, Re 2000 이상인 때 난류화하는 것이 밝혀졌다. 고온의 용융 금속에 대한 확인은 없으나, 이론적으로는 용융 금속의 흐름에 있어서도 이 경계치는 같은 수치가 되어야 할 것이다. 용융금속은 대체로 밀도가 크고, 점성계수가 작으므로 그 흐름은 난류화하기 쉽다. 또한 레이놀즈수는 유로를 흐르는 유체(流体)의 마찰계수를 결정하는 수치로서 중요시되고 있다.

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[항력]

흐름 속에 놓여진 물체 또는 정지한 유체 속을 물체가 움직일 때 물체가 받는 운동 방향의 힘

흐름 속에 놓여진 물체 또는 정지한 유체 속을 물체가 움직일 때 물체가 받는 운동 방향의 힘.

대개 형상 저항과 마찰 저항으로 나누어진다.

물체 흐름의 상대 속도를 v, = 유체에서본 물체의 속도

물체의 운동 방향의 투영 면적을 A, 유체의 밀도를 ρ라 할 때 항력 D는 다음 식으로 나타낸다.

D 또는 Rt 로도 쓴다

여기서, C_D는 항력 계수.

이것을 Cd 에 대해 정리하면 항력계수공식이 된다, 즉 체속의 구가 받는 항력의 전체계수를 말함

(x>0)

비행기가 -x 방향으로 으로 나갈때 항력은 x 방향이 된다

이미지 출처 :

출처

토목용어사전, 토목관련용어편찬위원회, 도서출판 탐구원

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[응력]

물체에 외력이 작용하였을 때, 그 외력에 저항하여 물체의 형태를 그대로 유지하려고하는 즉, 물체내에 생기는 내력을 말하며 이를 변형력(變形力)이라고도 한다.

[전단력.0]

재료 내의 서로 접근한 두 평행면에 크기는 같으나 반대 방향으로 작용하는 힘.

이 힘의 작용으로 2면 간에 서로 미끄럼 현상을 일으킨다.

[전단력.1]

그림으로 보여 주는 것과 같은 형태에서, 재료 A에 P라는 힘이 작용할 때. 주로 점선의 면에 평행으로 외력에 저항하는 힘이 발생하는데 이를 전단력이라 한다.

이미지 출처 : 금속용어사전, 금속용어사전편찬회편, 성안당

[전단력.2] = 전단하중

(하중 : 구조체에 걸린 힘이라는 뜻)

물체 내의 접근한 평행 2면에 크기가 같고 방향이 반대로 작용하는 하중. 이 하중이 작용하면 2면에 서로 미끄럼을 일으킨다. 전단력이라고도 한다.

이미지 출처 :

출처

건축용어사전, 현대건축관련용어편찬위원회, 2011, 성안당

[전단응력]

: 전단력에 대항하는 물질의 응력을 말한다!!

어느 평면에 대하여 그 평면의 법선벡터에 수직인 방향으로 작용하는 힘,

물질이 법선방향쪽으로 보내는 힘

물체 내 하나의 단면상에 단면에 따라 크기가 같고 방향이 반대인 1쌍의 힘이 작용하여 물체를 그 단면에서 절단하도록 하는 하중으로 그림과 같이 재료를 가위로 자르듯이 절단하는 하중에 생기는 응력. 전단 응력은 리벳 이음의 리벳에 생긴다.

이미지 출처 :

출처

보일러용어사전, 일본보일러용어 연구회편, 2006, 성안당

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층류와난류(흐름의 안정성 기준)

http://cafe.naver.com/procivileng/247

1. 층류

유속이 느리며 물입자가 흐트러지지 않는 흐름

물의 입자 및 유선이 교차함이 없이 수로의 벽과 평행한 층상을 이루면서 흐름.

2. 난류

유속이 빠르며, 물입자가 상하전후 흐트려져서 흐름

물의 유속이 어느정도 커지면 물의 입자 및 유선이 수로의 벽과 평행하지 못하고 서로 교차하면서 흐름

3. 구분

Re <2,100 : 층류

2,100 < Re <4,000 : 천이구역

Re >4,000 : 난류

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퍼온 글

출처

도해 기계용어사전, 기계용어편찬회

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뇌터의 정리에 의하면, 대칭성이 있으면 그에 상응하는 보존량이 있는데, 공간이 균질하다는 대칭성에 상응하는 보존량이 바로 선운동량이다. 우리가 사는 공간은 균질하기도 하지만, 한편으로 매우 등방적이다. 우리가 한 자리에 서서 어느 방향을 바라보아도 물리적으로는 차이가 없다. 어떤 물리계를 어떤 방향으로 돌려놓더라도, 거기에 작용하는 물리법칙은 항상 같다. 뇌터의 정리에 따라 공간의 등방성이라는 대칭성에 상응하는 보존량도 당연히 있어야 한다. 그것이 바로 각운동량(angular momentum)이다.

- 라고 네이버 캐스트에 나와있다.

조금 쉽게 설명해보자. 대칭성이 있다는 것을 지금 현실에 맞게 보여주기위해 예를 들자. 제주시에 있는 어떤 사람(A)이 한라산 위로 날아가는 비행기를 보고 있다. 또, 서귀포시에 있는 어떤 사람(B)도 한사란 위로 날아가는 비행기를 보고 있다. A의 기준에서 비행기의 운동을 설명하는데, 비행기의 운동 에너지는 얼마이고, 방향은 서쪽이고..... 라고 말한다. B도 비행기의 운동을 설명하는데, 운동에너지는 얼마이고 방향은 서쪽이고.... 라고 똑같이 대답한다. 이렇게 어느 '공간' 에서나 지금 위치에 상관없이 물체를 동일한 방식으로 설명할 수 있다. 이것이 '공간의 대칭성'이다. 위 설명에 등장하는 '뇌터의 정리'에 의하면, 대칭성이 있으면 그에 상응하는 보존량이 있는데, '공간' 에서는 그 '보존량' 이 '선 운동량'(p = mv)으로 나타난다.

그런데, 피겨 스케이팅 빙판 중심에서 프리스케이팅 연습을 준비하고 있는 김연아를 생각해보자. 아직 연습 시간이라 옆에는 아사다 마오도 있다. 아사다 마오가 스파이럴을 구사하면서 빙판을 한바퀴 슝슝~(마오의 다리는 조금 힘들겠지만, 계속 같은 속도, 같은자세로) 돈다고 생각해보자. (빙판 위쪽에서 내려다보는 방향에서 보았을 때,) 아사다 마오가 왼쪽에서 스파이럴을 하던, 오른쪽에서 스파이럴을 하던 중심에 있던, 중심에 있는 김연아 선수는 '마오는 지금 스파이럴을 어느 정도 속도로, 어느 레벨을 구사하고있구나' 라고 똑같게 판단하게 된다. 이렇게 보는 '방향'에 상관없이 물체(여기선 마오)를 동일하게 설명할 수 있다. 이렇게 어느 방향으로 돌려놓더라도 거기에 작용하는 물리법칙은 항상 같기에, 이에 따른 '보존량'도 있어야 한다. 여기서는 그 보존량이 '각운동량' 이다.

(쉽게 설명하려다 보니 역시 말은 길어진다..) 이게 각운동량이 생기는 이유다. 직선운동에서, 외력이 작용하지 않으면, 어떤 물체가 지니는 운동량(p = mv)는 절! 대! 변하지 않는다. 심지어 두 물체가 부딛히는 경우도, 두 물체가 지니는 운동량의 벡터합은 충돌 전이나 후나 똑같다.

(잠깐 이말을 해야겠다. 사실 뉴턴이 F=ma 라고 말할때, p = mv에서, p를 변하게 하는 요인을 찾기 위해 양 변을 미분했다. 그래서 그 결과 p' = F라고 정의하고, 그 계산식은 F= Δ(mv) = vΔm + mΔv 인데, 적어도 '뉴턴시대' 에는 운동하는 물체의 질량은 변하지 않으므로 Δm = 0 이다. 또 Δv = a(가속도) 이므로 식을 줄이면 F=ma가 나오는 것이다.)

그래서, 각운동량을 변하게 하는 요인(선운동량에서는 F의 역할을 하는)을 '토크(τ - 타우)' 라고 정의하고, 토크 = 힘X중심으로부터의 거리(반지름) 으로 정의가 된다. 외력이 작용하지 않으면 , 즉 토크를 가하지 않으면 물체의 각 운동량은 보존된다.

질량 m인 물체가 반지름 r인 원운동을 속도 v로 하게 된다면, 그 물체의 각운동량 L=mrv 라고 주어진다. 선운동량( P = mv )에서, 반지름 r이 더 곱해진 것이다.

근데 회전운동에서는 속도 v 보다는 그 물체의 각속도(ω-오메가)를 더 많이 쓴다. 각속도란 단위시간당 그 물체가 원운동 하는 각도(단위는 라디안)으로 주어진다. 또, v와 ω사이에서는 v = rω 라는 식이 성립한다. 이를 이용하면 L = mrv = mr^2ω 가 된다. 여기서 mr^2을 I 라고 쓰고, 회전관성(moment of inertia) 이라고 한다 P = mv, L= Iω 인것과 비교하면, I는 질량의 역할을 하는 것이다. 회전 관성이 크면 그만큼 각운동량을 바꾸기 힘들고, 반대로 회전관성이 작으면 그만큼 각운동량을 바꾸기 쉽다.

결론 - 각 운동량 L = Iω = mr^2ω = mrv 이다.

간단하게, 각운동량이 보존되는 사례를 들자면 (김연아 선수가 프리스케이팅을 마치고 다음 대회의 쇼트프로그램에 참가 했다.) 김연아 선수가 007 테마의 마지막 부분에서 제자리에서 빙빙 도는데, 발을 바깥쪽 뻗은 상태에서 어느 속도로 돌다가, 발을 안으로 모으니까 좀 더 빠르게 빙글빙글 도는 것을 볼 수 있다. (외력이 작용하지 않았다 가정하고,) L = mr^2ω 에서 r이 줄어드니, (m은 늘어날 리가 없고- 뉴턴의 생각으로는-) ω가 증가하는 것이다.

지식인

re: 각운동량에 대한 기본정리.

benroz: 답변채택률68.5%; 2011.11.21 20:51

n= rx f ,,토큐 n은 위치벡터 r 과 힘의 외적으로 정의한다.

각운동량 l = r x p = r x mv 로 정의한다,,,

그런데 n=0 = r x f= r x ma= r x mdv/dt= r x m d^2r/dt^2 인 경우에서

f 가 0 이 아닌 경우인데 토큐가 0 이다라면,,,

n= rx f =0 이란 의미가 됩니다,

f가 0 이 아닌데,, 외적을 하여 0 이 되었다,,, 이는 위치벡터 r 과 힘이 평행이다,,

라는 것을 나타낸다고 보신다면, 좀더 이해하기 쉬울 것입니다,

위치벡터와 힘벡터방향이 평행이다,, 는 것은 같은 직선위에 있다가 포함되죠,,

이런 경우는,, 마치 중력이 물체에 작용하는 경우와 같죠,

힘이 중심력장에서 작용하는 경우가 대표적입니다,

즉 중심력장에서 각운동량은 보존된다,, 라는 것을 다른 표현으로 나타낸 것이죠,

각운동량 l= r x mv= r x m dr/dt ,,로 나타낼수있다고 되면

각운동량이 보존된다는 것은 각운동량이 일정하다와 같죠,

dl/dt ,,각운동량을 시간 미분하면,, 상수를 미분하는 셈입니다, 그러면 0이 됩니다,

dl/dt= dr/dt x mv + r x d(mv)/dt= dr/dt x mv + r x m d^2r/dt^2 = dr/dt xmv + r x ma 인 셈이죠

그런데 dr/dt 는 속도죠, 그러면 mv 와 같은 방향이 됩니다, dr/dtx mv=0이 됩니다,

m d^2r/dt^2= ma= 힘 f입니다,

그러니 dl/dt=0 = r x f =0

힘의 모멘트 가 일정하다는 의미입니다,

또한 r 과 f 가 평행한다,, 3차원 공간에서는 r 과 f 는 같은 평면에 존재한다,

라고 되는 셈입니다,

l= r x p,, l 은 r과 p에 수직방향이죠,,,각운동량 l 이 보존된다는 의미가

r과 p는 l과 수직인 조건이다,, 와 같죠,,

* 벡터 미분공식을 참조하시길, d(axb)/dt= (da/)xb+ ax (db/dt)...

이 개념을 적용하며 책을 다시 읽어가면 이해가 되겠죠,,

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Joint limits, motors, and friction
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파동방정식.pdf

아래 주소에서는 그림1, 그림2 정도만 참고해서 머릿속에 파동을 이미지호 해놓는다

http://ghebook.blogspot.com/2011/10/wave-equation-for-string.html?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+blogspot%2FLjfQi+%28%EC%A1%B0%EA%B8%88%EC%9D%80+%EB%8A%90%EB%A6%AC%EA%B2%8C+%EC%82%B4%EC%9E%90.%29

[그림 1] 줄에 생기는 파동(출처: wikipedia.org)

[ 파동의 움직임 ]

[그림.2]

아래 그림의 주소는

http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/wave/wave/represent/represent.html

이지만 여기선 아래 캡쳐한 부분만 참고하고 지나간다

실질적 파동 방정식의 유도

아래는 3D게임 프로그래밍 컴퓨터 그래픽을 위한 수학 내용에서의 파동 방정식의 설명

http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=cbr399&logNo=90044109658&viewDate=&currentPage=1&listtype=0

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