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선 개념 : 원 순열의 반대말은 직순열이다

위 A, B, C 는 보기에는 달라 보이지만 돌려 보면 모두다 같다

즉 원순열 기준으로는 모두다 같다고 본다 (돌렸을때 같으면 같다고 보는것이 원순열, 특정 기준 없이)

주의 : 원순열에선 보기엔 A 가 위에 있을지라도 맨 위에 있다 옆에 있다 그런 개념이 없다, 특정 기준 없이는

직순열과 원순열의 차이는 자리마자 고유번호가 있다인데 이것은 특정 원소를 기준으로 자리를 매길 수 있다는 말입니다

아래 것은 왼쪽이 첫번째 것이라고 특정 기준을 잡은것임으로 직순열이다

하지만 원순열은 고유번호가 없다, 돌려도 같기 때문

그래서 원순열을 풀때는 기준을 잡고 직순열로 바꿔서 푼다

즉 고유번호 엇는 것을 고유번호 있게 만드는 것이 첫번째 과정이다

=> 원순열에 누군가 한명이 앉으면 그때부턴 기준이 생기게 됨으로 원순열이 아닌 직순열이 된다

첫번재 앉은 사람 왼쪽 또는 오른쪽에 누구를 앉힐 지 정할 수 있는 기준이 되는사람이 앉았음으로

문제 1)

이런 볼품 없는 원탁의자가 있다(그림은 저모양 일지라도 의지는 모두다 같고 구분 할수 없다 가정한다)

이때 첫번째 사람이 앉는 경우의 수는?

답 = 1가지 , 3가지가 아닌데 왜냐면 원순열에서는 돌려도 같기 때문에 처음엔 어떤 기준이 없어서 첫번째 앉는 사람이 어디에 앉든 모두다 같은 경우가 됨으로, 즉 어디에 앉든 다 똑같다( 기준이 애초에 없었음으로 1명이 앉기 전까진)

문제 2)

문제 1 에서 모두다 앉는 경우의 수는?

답 1 * 2! 인데

1명이 앉고 나머지 2명이 앉는 경우의 수임으로 직순열(Permutation) 로 풀면 된다

문제 3)

6명이 원탁에 앉는 경우의 수는?

답 = 1 * 5!

n 명이 원탁에 둘러 앉는 경우의 수는?

$1\ \cdot \ \left(n-1\right)!$1 · (n1)!

문제)

A, B 를 포함한 6명이 있는데

A, B 가 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하시오

이땐 순열 top 5중

A, B 를 주머니에 넣고 하나라 생각한 후 풀면 됩니다

그래서 우선 총 개수는 5개라 생각하면

1 * 4!

그리고 주머니에 있는 것 2! 을 곱하면

답 = 1 * 4! * 2!

문제 )

A, B 가 마주보며 앉는 경우의 수는?

원으로 생각하면 어려우니깐 일단 기준을 잡아야 한다

즉 A 를 먼저 앉힌다음 생각해보면

A 를 앉히는 경우의 수 1 가지 , 앉히면 직순열이 됨

그런데 그리고 B 가 앉는 경우의 수 1 가지 왜냐면 A 의 반대편아 앉아야 함으로

여기까진 1 * 1 이 된다 그런다음

그림 처럼 4자리에 나머지 4명이 앉으면 됨으로

4!

A 가 처음 앉을때 원을 돌아가면서 앉을때도 고려해야 하는것 아닌가? 라고 생각 할수 있지만

원순열에서 A 가 앉음과 동시에 직순열이 되었음으로 이건 이미 고려 대상에선 끝

답 = 1 * 1 * 4!

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조합 Top 5

1. 포함되도록

2. 포함되지 않도록

3. 적어도 1명이 포함되도록

4. 악수하는 방법의 수

5. 조 나누기

출처 입력

 

 

 

 

[포함되도록]

 

문제) 갑,을 을 포함한 학생 총 10명이 있다

이때 학생 대표단 3명을 뽑는데 갑과 을이 모두 포함되도록 뽑는 경우의 수는?

 

 

답 = 1 * 8C1

 

1은 갑과 을은 이미 뽑아 놓았음으로

 

Permutation 과 헷갈리면 안되는건 사람을 뽑는 것은 줄을 세우는 것이아니기 때문에

갑과을에 대한 줄을 세우는 경우의 수는 고려할 필요가 없습니다

그래서 나머지 8 명 중에서 한명만 뽑으면 됨으로 8C1

 

 

 

[포함되지 않도록]

 

문제) 문제 갑과 을이포함 되지 않도록 3명을 뽑는 경우의 수는?

 

 

답 = 8C3

갑과 을을 배제하고 3명을 뽑으면 됨으로

 

 

 

 

[적어도 1명이 포함되도록]

 

갑과 을 중 적어도 1명이 10명 중 대표 3명에 포함되도록 하는 경우의 수는?

 

 

갑과 을 중 한명을 뽑아서

나머지 8명중 2명을 뽑는 경우의 수

 

(case 1) 2C1 * 8C2 = 56

 

 

갑과을 두명을 뽑아서 나머지 8명중 1명을 뽑는 경우의 수

(case 2) 2C2 * 8C1

 

2C2 * 8C1 = 1 * 8C1 = 8

 

 

 

답 = 56 + 8 = 64

 

적어도 한명이라고 하면 1명인 케이스와 요건을 충족하는 인원수 까지

카운팅 하면서 각각 맞는 경우들을 계산하여 더한다는 개념

=> 즉 분류해서 더한다(위 문장을 외우는 것이 아닌 분류하고 합치는 개념이 중요)

 

 

적어도 1명이 포함되도록 의 케이스는 여사건으로 풀어도 가능하다

 

10C3 - 8C3 전체 중에 3명 뽑는것에서 8명중에서 3명 뽑는 경우의 수

 

120 - 56 = 64

 

 

 

 

 

[악수하는 방법의 수]

 

5명이 서로 악수하는 경우의 수는?

 

악수할때는 2명이 필요하니

5명중에서 2명씩만 뽑으면 된다 그래서

 

답 = 5C2

 

 

 

 

[조 나누기]

이건 다음에..

 

 

조합 계산기 : https://ko.numberempire.com/combinatorialcalculator.php

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조합 계산기

조합 계산기

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순열 : N 명중에서 R 명을 뽑는 수, 하지만 줄을 세운다

 

조합 : N 명중에서 R 명을 뽑는 수, 하지만 줄을 세우진 않는다 = 순서 상관 없다 = 즉 뽑는 Action 만 따진다

= 선택하는 경우의 수로 말하기도 함 ex) 10명중에서 5명을 선택하는 경우의 수

 

 

이렇게 되는데

 

n명중에 r명을 뽑아 줄을 세운다음 줄 세운것을 취소하면 n명 중에서 r 명을 뽑기만 하는것이 된다

 

 

 

다른 말로

 

순열 nPr 이란 얘기는 n명중에서 r명을 뽑고(여기까지가 nCr ) 다음 그 이후 줄까지 세운 것을 말한다

 

 

 

ex) 10 명중에서 3명을 줄을 세우는 방법의 수는?

 

 

10C3 = 10P3 / 3! = 120

 

 

콤비네이션은 Permutation 으로 풀어서 푸는것이 좋다

 

 

 

 

ex) 서로다른 5권의 책이 있는데 그 중 2권을 책을 가지고 가고 싶을때?

 

5C2 = 5P2 / 2! = 10

 

 

 

외우편 편합 조합들

 

 

문제 )

100명이 있는데 도시락이 만원이다

 

100명의 도시락을 사려 했더니 98만원 밖에 없다

 

이때 98명을 뽑는 경우의 수는?

 

 

100C98 = 100P98 / 98!

 

그런데 계산하기 너무 많다 이럴때

 

 

단) n은 r 보다 크거나 같다는 조건이 있습니다

 

 

nCr = nC(n-r) 과 같다는 조합의 성질이 있다 (계산해보면 같다는 것을 알수 있습니다)

 

즉 100C98 = 100C2

 

100*99/2 = 4950

 

 

 

[특징]

 

0! = 1

nP0 = 1 (약속임 이건 그냥 정의)

nC0 = 1 , n 명중에 한명도 안뽑은 것도 개수를 쳐서 1이라 함

 

nP1 =n

nC1 = n

 

 

그래서 아래와 같은 특성이 생기게 됩니다

이 성질을 잘 생각하면서 보면 4C2 를 기준으로 대칭이 된다는 것을 알 수 있습니다

 

 

 

 

 

 

 

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이웃하도록 = 주머니

이웃하지 않도록 = 칸막이

남녀 교대로 = 남여 중 어떤 한쪽에서 한명이 적거나 또는 둘이 같거나, 2개 이상 적은 케이스는 수학에서 없다

~사이에 ~가 오도록 = Box치고 Box 계산 이후 Box도 줄을 서야 함으로 주머니 처럼 계산

적어도 한쪽 끝에 ~가 오도록 = 여사건

 

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순열(permutation) 에 r! 을 나눈것

 

 


 

 

http://cafe.naver.com/hwaryong12/1178

 

 

 

 

 


 

 

 nCn-r = nCr (n>=r)

 

 

ex)

 

n 명중에서  r명을 뽑는데 k 명을 반드시 한 경우의 수는?

 

집합 A= { 1,2,3,4,5 }  가 있을때 1,2 를 포함한 부분집합 개수는? 이라는 관점에서 보면

 

3,4,5 에 대한 부분집합개수 연산에 1,2 는 항상 포함되어 있는 것이니 1,2 를 제외 시켜놓고 3,4,5 에 대한 생각만 하면 된다

 

즉 n명중에서 반드시 k 명을 포함한 r 명이니 k명은 어느 r 그룹에나 다 포함된 것임으로 k 명에 대한 것을 빼주머 계산하면 된다

 

먼저 전체 n명에서 k 명만큼 제외하고

 

선택할 r 명에서는 항상 k 명만큼이 r 명에 들어간 수치이니 r 명에서 k 명을 뺀 나머지 수치에 대한 조합 연산을 하면 된다

 

 

n-k C r-k

 

정리하자면 k 명이 항상 포함되어 있어야 하니 전체 n 명과 선택할 r 명 에서 각각 k 명을 뺀다

 

왜냐하면 항상 포함되는 k 명을 n명에서 제외 시키는 것임으로 전채 r 에서도 동일하게 k 명이 빠져야 동일한 전체 수치가 적용 된다

 

 

 


 

 

조합으로 뽑은 경우의 수의 전체 개수의 나열 개수는?

 

 

nCr * r! = nPr

 

nCr = 조합  n!/ ((n-r)! *r! )

 

nPr = 순열  n!/(n-r)!

 

 

조합으로 나타낸다는 것은 1,2,3 또는 2,1,3 을 한개로 본 경우이다

( 순열에서 순서만 다르고 같은 숫자들의 개수로 나눈 것이 조합 )

 

 

 

 


 

n 개의 겹치지 않는 접이 있을때 만들 수 있는 선분의 수는?

=nC2

 

n 개의 겹치지 않는 점이 있을때 만들 수 있는 삼각형의 수는?

 = nC3 - (3개의 점이 일직선 상에 있는 것의 수)

 

 

n다각형의 점들로 만들 수있는 선분은? 단 외곽선 제외

=nC2 - n

-n 은  다각형의 외곽 선의 개수

 

 

n 개의 직선을 가로로 긋고 m의 직선을 세로로 그었을때 생기는 평행 만들어지는 평행 사변형의 갯수는?

 

nC2 * mC2

 

평행 사변형은 가로선 두개와 세로선 두개로 만들어 짐으로 겹치지 않는 세로 , 가로 각 두개씩의 선의 경우의 서둘로

만들어 질 수 있다

 

nC2 가 가로에 대한 2개씩의 선을 뽑아오는 경우의 수라면 이때

 

mC2 에서 나온 한가지의 경우의 수만을 nC2 와 겹친다고 하면

 

nC2  *1 개 만큼 생성

 

mC2 에서 두가지의 경우의 수에 대해 고려한다면

 

nC2  * 2 개 만큼 생성

 

결론적으로

 

nC2 * mC2 개만큼 생성 된다

 

 

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순열 permutation

 

n개의 서로 다른 것 중에서 r개(nr)를 택하여 어떤 순서에 따라 일렬로 배열하는 것. 이를테면 서로 다른 3개의 문자 a, b, c중에서 2개씩 택하여 일렬로 늘어놓는 방법은 ab, ac, ba, bc, ca, cb의 6가지이다.

일반적으로 n개의 서로 다른 것 중에서 r개를 취해 일렬로 늘어놓는 방법을 각기 n개에서 r개 취한 순열이라 하고 이 순열의 수 (늘어놓는 방법의 개수)를 라고 표시하며 다음과 같이 계산한다.


이 공식에 의하면 위의 보기는 =3·2=6으로 계산된다.

〔중복순열〕 n개의 서로 다른 것 중에서 r개를 택하는 순열에서 중복을 허락하는 것. 예를 들어 네 개의 숫자 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하고, 세 숫자를 취하여 3자리 정수를 만드는 방법은 첫째 100의 자리에는 1, 2, 3, 4 중 어느 숫자라도 올 수 있으므로 네 가지, 다음의 10의 자리에는 100의 자리에 쓴 숫자도 올 수 있으므로 1, 2, 3, 4의 네 가지, 또 1의 자리도 마찬가지로 네 가지이다.

따라서 세 자리 정수의 개수는 4×4×4=64가지이다.

일반적으로 n개의 서로 다른 것 중에서 중복을 허락하여 r개를 택하는 중복 순열의 수는 라고 쓰며 다음과 같이 계산한다.



n개 중에 같은것이 몇 개 포함되어 있는 경우를 생각한다.

n개 중에 같은 것이 각각 p, q, r, …개 있다면 이들을 전부 합하여 n=p+q+r+…개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수는


이다.

이를테면 a, a, a, b, b, c, c, d의 8개의 문자를 모두 사용하여 만들 수 있는 순열의 수는 a가 3개, b가 2개, c가 2개, d가 1개이므로 다음과 같이 계산된다.


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