오늘은 미분방정식 내용 중에서 라플라스 변환에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

쉽게 정리를 하려고 노력 중이니까
이해가 잘 안되거나 내용이 부족한 부분이 있으면 댓글 꽝 날려주세요^^

라플라스 변환이란?

라플라스 변환이란 미분방정식을 풀기 위해서 라플라스가 고안한 방법이에요.

라플라스 변환은 지금까지 정리한 미분방정식의 해법과는 달리 적분을 이용해서 미분방정식 또는 적분방정식의 해를 구할 수 있는 방법이에요. 이 방법은 풀기 까다로운 미적분방정식의 해를 풀기 쉬운 대수방정식으로 고쳐 해를 구할 수 있다는 데 큰 주목을 받았어요. 이후 수학, 물리학, 광학, 전기전자공학, 제어공학, 신호해석 및 확률이론에서 나타나는 응용 문제를 해결할 수 있는 도구로 발전되었고 미분방정식의 이론적인 연구에도 많은 공헌을 했지요.

라플라스 변환은 아래와 같이 할 수 있어요.

그러면 라플라스 변환에 대해서 한번 자세히 알아보자구요.

[라플라스 변환 강좌 - 첫번째] 라플라스 변환의 기본 공식들! (click!)

라플라스 변환의 기본 공식들에 대해서 알아보자구요

기본변환		응용변환
함수	라플라스변환	함수	라플라스변환

이상으로 라플라스 변환에 대한 정리를 마칠게요^^

[출처] [미분방정식] 라플라스 변환 쉽게 이해하기|작성자 v하트뿅뿅v

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

적분공식, 멱급수 (0)	2012.11.03
이중적분을 극좌표로 변형해서 계산할 때 r이 붙는 이유 (0)	2012.11.03
[적분공식] 기본적분공식, 유리함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선함수 적분, 정적분 (0)	2012.11.03
[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분 (0)	2012.11.03
치환적분, 단조함수, 일대일대응함수 이어야만 하는가? (0)	2012.11.03

http://blog.naver.com/vectorist?Redirect=Log&logNo=100017146444

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

라플라스변환 - 심플공식정리 (0)	2012.11.03
이중적분을 극좌표로 변형해서 계산할 때 r이 붙는 이유 (0)	2012.11.03
[적분공식] 기본적분공식, 유리함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선함수 적분, 정적분 (0)	2012.11.03
[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분 (0)	2012.11.03
치환적분, 단조함수, 일대일대응함수 이어야만 하는가? (0)	2012.11.03

http://www.toez2dj.net/zeroboard/zboard.php?id=c_qna&no=20292

이런 임의의 region이 있다고 가정합시다. 그렇다면 저 region은

범위 안에 존재하게 되겠죠!

그렇다면 저 region에 대한 dA를 구하기 위해 dr과 dθ로 나누어 줍니다.

저 그림에서 왼쪽에 따로 끄집어낸 조그만 조각을 주목해 주세요. 저 조각의 면적은 ΔA입니다.
안쪽 arc의 반지름은 r_i, 바깥쪽 arc의 반지름은 r_o이며 Δr = r_o - r_i입니다.
원의 arc length공식에 의해(l = rθ), 안쪽 arc의 길이는

, 바깥쪽 arc의 길이는

이 됩니다.

이때 lim_dθ→0을 취하면 조각의 면적을 dA라고 할 수 있고, 이때 dθ<<1이므로

이 됩니다.
또한 dθ<<1이므로 조각을 직사각형으로 근사할 수 있습니다.
따라서 직사각형의 면적을 구하는 식에 의해 dA는 다음과 같은 값을 갖습니다.

따라서 이중적분을 극좌표로 변형할 때 다음과 같이 r이 붙게 되죠!!
(dxdy = dA = rdrdθ)

출처: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIPolarCoords.aspx 를 번역했습니다.

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

라플라스변환 - 심플공식정리 (0)	2012.11.03
적분공식, 멱급수 (0)	2012.11.03
[적분공식] 기본적분공식, 유리함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선함수 적분, 정적분 (0)	2012.11.03
[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분 (0)	2012.11.03
치환적분, 단조함수, 일대일대응함수 이어야만 하는가? (0)	2012.11.03

적분표

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

적분(積分)은 미적분학(calculus)의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 간단하지 않기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 매우 유용하게 사용된다.

식에 나오는 $C$ 는 적분 상수를 나타낸다.

[편집]일반적인 적분규칙

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!$

$\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C$

$\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C$

[편집]유리함수

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1$

$\int x^{-1}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C$

[편집]무리함수

$\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C$

$\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C$

$\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C$

[편집]로그함수

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C$

[편집]지수함수

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[편집]삼각함수

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sin^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx - \sin mx \cos mx)} + C$

$\int \cos^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx + \sin mx \cos mx)} + C$

$\int \sin^n x \, dx = {-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \cos^n x \, dx = {\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \sec^n x \, dx = {\frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \csc^n x \, dx = {\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{-(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \, dx} + C$

[편집]쌍곡선함수

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

[편집]정적분

어떤 함수의 적분은 초등 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

적분공식, 멱급수 (0)	2012.11.03
이중적분을 극좌표로 변형해서 계산할 때 r이 붙는 이유 (0)	2012.11.03
[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분 (0)	2012.11.03
치환적분, 단조함수, 일대일대응함수 이어야만 하는가? (0)	2012.11.03
간략히 줄이고 연관되어 있는 것들로 나열한 영어 수학용어 , [영어수학용어 2] (0)	2012.11.03

[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분

송정헌2011-09-13 19:44:26주소복사

조회 605 스크랩 1

미분의 기본 공식

이 문단에선 라그랑주의 표기법이 사용되었다.

$f$ 와 $g$ 를 미분 가능한 함수라 하면

(선형성)

$\left({cf}\right)' = cf'$ (

c

는 상수)

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

$\left({f - g}\right)' = f' - g'$

(곱의 법칙)

$\left({fg}\right)' = f'g + fg'$

(연쇄 법칙)

$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

[편집]확장된 미분의 기본 공식

조금 더 넓게 다음까지도 기본 공식으로 취급하기도 한다.

(역수 법칙)

$\left( \frac{1}f \right)'= -\frac{f'}{f^2}$

(몫의 법칙)

$\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}$ (단, $g \ne 0$ )

(역함수 법칙)

f (g (y)) = y

라 하면

$g' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}$

[편집]단순한 함수의 미분

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1}$

${d \over dx} \sqrt{x} = {1 \over 2 \sqrt{x}}$

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = -{1 \over x^2}$

[편집]지수함수와 로그 함수의 미분

${d \over dx} a^{f(x)} = { a^{f(x)} f'(x) \ln a },\qquad a > 0$

${d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0$

${d \over dx} e^x = e^x$

${d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1$

${d \over dx} \ln x = {1 \over x}$

[편집]삼각함수의 미분

${d \over dx} \sin x = \cos x$

${d \over dx} \cos x = -\sin x$

${d \over dx} \tan x = {1 \over \cos^2 x} = \sec^2 x$

${d \over dx} \csc x = - {1 \over \tan x \sin x} = -\cot x \csc x$

${d \over dx} \sec x = \tan x \sec x$

${d \over dx} \cot x = - {1 \over \sin^2 x} = -\csc^2 x$

${d \over dx} \sin^{-1} x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \cos^{-1} x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \tan^{-1} x = { 1 \over 1 + x^2}$

${d \over dx} \csc^{-1} x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \sec^{-1} x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \cot^{-1} x = {-1 \over 1 + x^2}$

[편집]쌍곡선 함수의 미분

${d \over dx} \sinh x = \cosh x$

${d \over dx} \cosh x = \sinh x$

${d \over dx} \tanh x = \mbox{sech}^2\,x$

${d \over dx} \,\mbox{csch}\,x = -\,\mbox{coth}\,x\,\mbox{csch}\,x$

${d \over dx} \,\mbox{sech}\,x = -\tanh x\,\mbox{sech}\,x$

${d \over dx} \,\mbox{coth}\,x = -\,\mbox{csch}^2\,x$

${d \over dx} \sinh^{-1} x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$

${d \over dx} \cosh^{-1} x = {1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \tanh^{-1} x = { 1 \over 1 - x^2}$

${d \over dx} \mbox{csch}^{-1}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$

${d \over dx} \mbox{sech}^{-1}\,x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \mbox{coth}^{-1}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

이중적분을 극좌표로 변형해서 계산할 때 r이 붙는 이유 (0)	2012.11.03
[적분공식] 기본적분공식, 유리함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선함수 적분, 정적분 (0)	2012.11.03
치환적분, 단조함수, 일대일대응함수 이어야만 하는가? (0)	2012.11.03
간략히 줄이고 연관되어 있는 것들로 나열한 영어 수학용어 , [영어수학용어 2] (0)	2012.11.03
부분분수 (0)	2012.11.03

결론은 아니다( 상관없이 된다 )

[ 각 함수들의 구간에서 또는 함수끼리의 포함 관계에서 연속이 보장되어야 한다는 것이 포인트 ]

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=136853309

먼저 치환적분의 원리를 알아야겠죠. 그러면 치환적분을 적용할 수 있기 위한 조건을 찾을 수 있을 겁니다.

인 함수 F를 생각해 봅시다.

튀어나온 조건: F(x)는 연속이고 미분 가능해야 하며 f(x)는 연속이어야 한다.

만일 함수 F를 t에 관하여 미분을 하면(단, x=g(t))

튀어나온 조건: g(t)는 연속이고 미분 가능해야 한다.

그리고 g: t→x에서 함수 g의 치역, 즉 g(t)의 범위가 함수 f의 정의역, 즉 x의 범위 안에 포함되어야 한다.

첫 번째 식에서 양 변을 x에 관하여 적분을 하면 가 됩니다.

두 번째 식에서 양 변을 t에 관하여 적분하면.

따라서 치환적분 식을 쓸 수 있습니다.

한편으로 정적분은 부정적분에 t대신 실수를 대입해서 계산한 결과이기 때문에, 예를들어 위끝과 아래끝이 a와 b이면 둘 다 함수 g의 정의역 안에 들어가야 합니다. 그리고 t의 구간 [a, b]안에서의 함숫값 g(t)가 모두 x의 범위 안에 들어가야 합니다.

한편 t=a일 때 g(t)=g(a)이고, t=b일 때 g(t)=g(b)이므로 정적분에 관한 식은 다음과 같습니다.

이제 다시 본론으로 돌아가죠.. 서론이 길어졌네요.

▷부정적분: f(x)가 모든 정의역에서 연속이고, g(t)는 연속이면서 미분 가능해야 하며, g(t)의 치역이 함수 f의 정의역에 포함되어야 한다.

▷정적분: g(t)가 구간 [a, b]에서 연속이연서 미분 가능해야 하고 g(t)의 치역이 함수 f의 정의역 안에 들어가야 하며 그 치역에 해당하는 구간에서 함수 f가 연속이어야 한다.

그런데 서론에서 따지는 과정에서 "일대일 함수"에 관하여 논한 적 없습니다.

실제로 함수를 치환할 때 꼭 일대일 함수일 필요는 없습니다. 책에 그렇게 나와있는건 아마도 오해의 소지가 있을 수 있어서 그런거 아닐까요? 제 개인적인 생각이지만.

그 오해의 소지라는게 다음과 같은게 아닐까 싶습니다.

예를들어 다음 정적분은 두말할 것 없이 반지름의 길이가 1인 반원의 넓이이므로 (π/2)입니다.

그런데 만일 일대일 함수라는 조건이 빠지면 다음과 같이 계산할 수도 있습니다.

이 식을 이용하여 계산을 하면,

처음에 저도 이것때문에 일대일함수라는 조건이 들어간다고 생각을 했는데, 알고보니까 아니더군요. 제가 예전에 봤던 책에서 나온 건데 실수가 있습니다.

결국 일대일 함수가 아니어도 결과는 맞습니다. 이때 t가 (-π/2)부터 (5/2)π까지 변할 때 g(t)는 일대일 함수가 아니거든요.

결론: 일대일 함수가 아니어도 치환적분을 계산할 수 있습니다. 자세한 걸 알고 싶으시면 추가질문 하셔도 좋습니다.

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

[적분공식] 기본적분공식, 유리함수, 로그함수, 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선함수 적분, 정적분 (0)	2012.11.03
[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분 (0)	2012.11.03
간략히 줄이고 연관되어 있는 것들로 나열한 영어 수학용어 , [영어수학용어 2] (0)	2012.11.03
부분분수 (0)	2012.11.03
미분공식3개 (tan^-1(x))' , ∫1/(1+x^2) dx , ∫1/(a^2+x^2) dx (0)	2012.11.03

absolute value 절대값 = abs

about 약, 대략 , ≒

adjacent angle 인접각

algebra 대수

answer 정답, 대답하다

approximation 근사값

arc 호

arithmetic 산술

associative law 결합법칙

axis 축

bisect 이등분하다

calculus 미적분학 , (differential calculus 미분) , (integral calculus 적분)

cancellation 약분

chord 현

circumference 원주

clockwise 시계방향 <=> counter clockwise 반시계방향

coefficient 계수

combination 조합, 결합

compare 비교하다

compass 컴퍼스

complementary angle 여각

complex number 복소수

constant 상수

consecutive 연속적인

coordinate 좌표

corresponding angle 동위각

counter clockwise 반시계방향

counter example 반례

cube 정육면체

cubic 입방의 , 3차의

curve 곡선

decagon 10각형

decimal 소수 ,( prime number 소수) , ( decimal number 십진수)

decimal point 소수점

definition 정의

degree ~차, 차수, ~도

demonstration 증명

denominator 분모(= divisor) , (numerator 분자)

denote 표시하다

develop 전개하다

diagonal 대각선

diameter 지름

difference 차

differential calculus 미분 , (integral calculus 적분)

dimension 차원 ,(quadrant 사분면)

distributive law 분배법칙 , ( factoring 인수분해 )

divide 나누다

dividend 피제수

division 나눗셈

domain 정의역

equation 방정식

equiangular 등각의

equidistance 등거리

equilateral triangle 정삼각형

equivalent 동치, 동등

even number 짝수

exponent 지수

expression! 식

factor 인수

factoring 인수분해

finite 유한 ( <=> infinite 무한 )

formula 공식

fraction 분수 ,(improper fraction 가분수) , (proper fraction 진분수)

frustum 각추대

function 함수

geometry 기하학, 도형

greater than ~보다 큰 (= more than), (less than ~보다 작은 (= fewer than))

greatest common factor 최대공약수

group 군

height 높이 (= altitude)

hexagon 육각형

horizontal 가로의

hyperbola 쌍곡선

hypotenuse 빗변

identical equation 항등식

identity 항등원

imaginary number 허수

improper fraction 가분수

indirect proof 간접 증명법 (귀납법)

inequality 부등식

infinite 무한

inscribe 내접시키다

integer number 정수

integral calculus 적분

intersection 교점

inverse 역

involve 거듭제곱하다 ,(raise 제곱하다) , (square 제곱의, 정사각형)

interest 이율 , 이자

irrational number 무리수 (<-> rational number 유리수)

isosceles 이등변의

isosceles triangle 이등변 삼각형

isosceles trapezoid 이등변 사다리꼴

leg 변

length 가로 , 길이

less than ~보다 작은 (= fewer than)

leteral area 겉넓이 , (= Surface width)

letter 문자

like term 동류항

linear 1차의 , 직선의

linear equation 1차 방정식

line graph 선 그래프

lowest term 기약분수

manipulation 조작

mathematics 수학

mathematician 수학자

measure 측정하다

measurement 측정

midpoint 중점

million 백만

minuend 피감수

mixed number 대분수

monomial 단항식

multiplication 곱셈

multiply 곱하다

natural number 자연수

negative 음의

negative number 음수

notation 표시법

number line 수직선 , ( perpendicular 수직 , ⊥ ) , (right angle 직각)

numerical 수의

numerator 분자

obtuse angle 둔각

obtuse triangle 둔각 삼각형

octagon 8각형

odd number 홀수 ( <-> even number 짝수)

order 위수, 차수 , 순서

ordered pair 순서쌍

origin 원점

operation 계산 (사칙연산 +, -, ×,÷)

parabola 포물선

parallel 평행

parallel line 평행선

parallelepiped 평행 육면체

parallelogram 평행사변형

parenthesis 괄호 , ( )

pentagon 5각형

perpendicular 수직 , ⊥

perpendicular line 수직선 ,(=vertical line 수직선)

perimeter 둘레의 길이

plane 평면 , (quadrant 사분면)

plane geometry 평면 기하학

polygon 다각형

polynomial 다항식

positive 양의 (<-> negative 음의)

positive number 양수

power 멱(승 으로 나타내라), 거듭제곱 , (raise 제곱하다) ,(square 제곱의, 정사각형) , (involve 거듭제곱하다)

prime number 소수

prism 삼각기둥

probability 확률

problem 문제

product 곱

proof 증명하다

proper fraction 진분수

property 공식 , 성질

proportion 비례식

protractor 각도기

pyramid 사각뿔

quadrant 사분면

quadratic 2차방정식, 2차의

quadrilateral 사각형

quadrillion 천조 ( 1000000000000000 )

quantity 양

quotient 몫 , (remainder 나머지)

radius 반지름

raise 제곱하다 , (square 제곱의, 정사각형)

range 공역

rate 비례, 비율 ( = ratio)

ray 화살표

real number 실수

reciprocal 역의, 역수

rectangle 직사각형

rectangular box 직육면체

reduce 약분하다

reflex angle 우각 - 우각 : 270도 이상~360도 미만인 각

remainder 나머지

regular polygon 정다각형

revolution 회전, 주기

rhombus 마름모

right angle 직각

right triangle 직각 삼각형

root 근, 해

round off 반올림하다

ruler 자

scalene triangle 부등변 삼각형 ,(부등변 : 길이가 같지 않은 변)

secant 할선 : 할선 - 원주상의 2점을 연결한 선분을 그 원의 현이라한다. 원 또는 곡선과 두 개 이상의 점에서 만나 그 원이나 곡선을 자르는 직선을 할선이라합니다

sector 부채꼴

segment 선분

semicircle 반원

set 집합

set theory 집합론

similar 닮음

simplify 간단히 하다

size 크기

slash 사선

slope 기울기

solid geometry 입체 기하학

solution 해법 , 풀이

solve 풀다

sphere 구

square 제곱의, 정사각형

statement 명제

statistics 통계

straight angle 평각 ( 180 도 인각)

straight line 직선

subset 부분집합

subtract 빼다

subtraction 뺄셈

supplementary angle 보각 ( 30 도의 보각은 150 )

surface area 표면적 , 겉넓이

symbol 기호

tangent 접선, 탄젠트

tenths 소수 첫째자리

term 항

theorem 정리

therefore 따라서, 그러므로,

thousandths 소수 셋째자리

trapezoid 사다리꼴

trigonometric ratio 삼각비

trillion 1조

trinomial 3항식

taylor series 테일러 급수

union 합집합

unit 단위

unknown (n)미지수 , (a)알려지지 않은

value 값

variable 변수

vertex 정점, 절정, 꼭지점

vertical angle 맞꼭지각

vertical line 수직선

volume 부피, 체적

way 방법

whole number 0 을 포함한 자연수

x-axis x축

x-intercept x절편

y-axis y축

y-intercept y절편

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분 (0)	2012.11.03
치환적분, 단조함수, 일대일대응함수 이어야만 하는가? (0)	2012.11.03
부분분수 (0)	2012.11.03
미분공식3개 (tan^-1(x))' , ∫1/(1+x^2) dx , ∫1/(a^2+x^2) dx (0)	2012.11.03
오일러공식 (0)	2012.11.03

부분분수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수계수의 다항식들은 유클리드 영역(Euclidean domain)이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다.

[편집]예

더 많은 예가 필요하면 en:Partial fraction#Some_examples 문서를 참고하십시오.

부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.

[편집]가분수를 대분수로 변형

분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학생의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수

$\frac{f(x)}{g(x)}$

가 주어졌는데, 분모의 차수가 높아서 $f (x) = g (x) Q (x) + R (x)$ 와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.

$Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}$

다항식의 나눗셈에 의해 당연히 $R (x)$ 는 $g (x)$ 보다 차수가 낮다.

[편집]분자의 차수가 낮은 경우

분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다.

$\frac{f(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2) \cdots (a_n x+b_n)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1} + \frac{A_2}{a_2 x+b_2} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+b_n}$

여기서 $A 1,...., A n$ 는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자.

$\frac{x+3}{x^2-3x-40}$

위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 $(x - 8)(x + 5)$ 로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다.

${x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}.$

여기서 $A, B$ 는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 $A = 11 / 13, B = 2 / 13$ 임을 확인할 수 있다.

[편집]유용한 공식

고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.

$\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$

좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. $B - A$ 가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.

$\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)$

[편집]분모의 인수분해 되지 않는 다항식

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.

$\frac{ax^2 + bx + c}{(dx + e)(fx^2 + gx + h)} = \frac{A_1}{dx + e} + \frac{A_2 x + A_3}{fx^2 + gx + h}$

예를 들어 다음과 같다.

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}$

이 경우 인수분해 공식에 의해 분자가 $x 3 - 8 = (x - 2)(x 2 + 2 x + 4)$ 와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}.$

위와 같이 변형된다. 여기서 $A, B, C$ 도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로,

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}.$

위와 같은 등식이 성립하게 된다.

[편집]분모의 거듭제곱된 항의 포함

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,

${p(x) \over (x+2)(x+3)^5}$

와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.

${A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}.$

이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.

${p(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}$

그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.

${A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5},$

[편집]응용

부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.

[편집]계산하기 어려운 값

가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

$= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

$= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}$

[편집]적분하기 어려운 함수

다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.

$\int \frac{2}{x^2 - 1} dx$

그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.

$\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \log |x - 1| - \log |x + 1| + C$

물론 $C$ 는 적분상수(Constant of integration)이다.

[편집]무한급수의 일반항

다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.

$\frac{2-x}{(1-x)^2} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$

이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.

$\frac{2-x}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2}$

이 때, 다음 등식을 이용한다.

$\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum (n+1)x^n$

그리하여 다음을 얻는다.

$\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} = \sum x^n + \sum (n+1)x^n = \sum (n+2)x^n$

[편집]역 라플라스 변환

역 라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.^[1]

$\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t} ;\; y(0) = 1, y'(0) = 0$

양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.

$s^2 Y(s) - s - 3[sY(s) - 1] + 2Y(s) = \frac{1}{s-3}$

그리하여 이를 $Y (s)$ 에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.

$\begin{align} Y(s) &= \frac{1}{(s-3)(s^2 -3s +2)} + \frac{s-3}{s^2 -3s +2}\\ & = \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} + \frac{s-3}{(s-1)(s-2)} \end{align}$

그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.

$\begin{align} Y(s) & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} + \frac{2}{s-1} - \frac{1}{s-2}\\ & = \frac{5}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{5}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} \end{align}$

그리하여 해는 다음과 같이 된다.

$y(t) = \frac{5}{2}e^t - 2e^{2t} + \frac{1}{2}e^{3t}$

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

치환적분, 단조함수, 일대일대응함수 이어야만 하는가? (0)	2012.11.03
간략히 줄이고 연관되어 있는 것들로 나열한 영어 수학용어 , [영어수학용어 2] (0)	2012.11.03
미분공식3개 (tan^-1(x))' , ∫1/(1+x^2) dx , ∫1/(a^2+x^2) dx (0)	2012.11.03
오일러공식 (0)	2012.11.03
심슨의 법칙 (0)	2012.11.03

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

(tan^-1(x))' = 1/(1+x^2)

∫1/(1+x^2) dx = tan^-1(x) + C

∫1/(a^2+x^2) dx = 1/a tan^-1(x/a)

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

간략히 줄이고 연관되어 있는 것들로 나열한 영어 수학용어 , [영어수학용어 2] (0)	2012.11.03
부분분수 (0)	2012.11.03
오일러공식 (0)	2012.11.03
심슨의 법칙 (0)	2012.11.03
2변수에 대한 테일러급수 정리 (0)	2012.11.03

원본은 위키백과이고 중간에 약간 식을 추가..

오일러의 공식

오일러의 공식은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러의 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 다음이 성립한다.

$e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x$

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, $i$ 는 제곱하여 -1이 되는( $i 2 = - 1$ ) 허수단위, $sin,cos$ 은삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

$x$ 에 $π$ 를 대입하여, $e i π + 1 = 0$ 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.

역사

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 증명하였다.

$\ln(\cos x + i\sin x) \,=\, ix$

지금과 같은 모양의 오일러의 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 대수학 원론(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

이 줄친 사이부분만 추가..

$e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x$

x <= pi/2

90도에 의하여 cos(pi/2) = 0 , sin(pi/2) = 1

e^i(pi/2) = 0 + i*1

i = e^i*pi/2

i^i = (e^i*pi/2)^i = e^i*(pi/2)i = e^i*i*(pi/2)= e^-(pi/2) -> 실수가 된다

증명

[편집]테일러 급수를 이용한 방법

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

$\begin{array}{rll} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n!}} \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n} \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ \end{array}$

이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos z + i\sin z \end{align}$

가 된다.

[편집]미분 계산을 이용한 방법

$f(x) = e^{-ix}(\cos x + i\sin x) \cdots (1)$ 라면,

$\frac {d}{dx} f(x) = -ie^{-ix}(\cos x + i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x + i\cos x) = e^{-ix}(-i \cos x + \sin x -\sin x + i\cos x) =0$

$\therefore f(x)=C$ (단,

C

는 상수)

(1)에 $x = 0$ 을 대입하면,

f (0) = 1

$\therefore C=1$

e - i x (cos x + i sin x) = 1

e i x = (cos x + i sin x)

Q.E.D.

[편집]미적분을 이용한 방법

다음과 같은 복소수 $z$ 를 생각하자:

$z=\cos x + i\sin x \,$

양변을 $x$ 에 대해 미분하면:

$\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x$

$i 2 = - 1$ 이므로:

$\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz$

양변을 적분하면:

$\begin{align} \frac{1}{z}\,\frac{dz}{dx}&= i \\ \int\frac{1}{z}\,dz&=\int i\,dx \\ \ln z&=ix + C \end{align}$

(여기에서 $C$ 는 적분 상수이다.)

이제 $C = 0$ 이라는 것을 증명한다. $x = 0$ 일 경우를 계산해보면

$\begin{align} \ln z &= C \\ z &= \cos x + i\sin x = \cos 0 + i \sin 0 = 1 \end{align}$

따라서

$\begin{align} \ln 1 &= C \\ C &= 0 \end{align}$

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

$\begin{align} \ln z &= ix \\ z &= e^{ix} \\ e^{ix} &= \cos x + i\sin x \end{align}$

Q.E.D.

[편집]미분방정식을 이용한 방법

함수 $g (x)$ 를 다음과 같이 정의한다.

g (x) = e i x

허수단위 $i$ 는 상수이므로 $g (x)$ 의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.

$\begin{align} g'(x) &= i e^{ix} \\ g''(x) &= i^2 e^{ix} = -e^{ix} \end{align}$

이로부터

$g''(x) = -g(x) \$ 또는

$g''(x) + g(x) = 0 \$ 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,

일차 독립인 두 해가 발생한다.

$\begin{align} g_1(x) &= \cos x \\ g_2(x) &= \sin x \end{align}$

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

$\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x)\\ &= A \cos x + B \sin x\\ g'(x) &=-A \sin x + B \cos x \end{align}$

(

A

와

B

는 상수)

그리고 여기에 함수 $g (x)$ 의 초기 조건

$\begin{align} g(0) &= e^{i0} &= 1 \\ g'(0) &= i e^{i0} &= i \end{align}$ 을 대입하면,

$\begin{align} g(0) &= {\color{White}-}A \cos 0 + B \sin 0 &= A \\ g'(0) &= -A \sin 0 + B \cos 0 &= B \end{align}$

곧,

$\begin{align} g(0) &= A &= 1 \\ g'(0) &= B &= i \end{align}$

이므로

$g(x) \,=\, e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 이다.

Q.E.D.

[편집]cis 함수

cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러의 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의된다.

$\operatorname{cis}(\theta) = e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$

이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용된다.

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

부분분수 (0)	2012.11.03
미분공식3개 (tan^-1(x))' , ∫1/(1+x^2) dx , ∫1/(a^2+x^2) dx (0)	2012.11.03
심슨의 법칙 (0)	2012.11.03
2변수에 대한 테일러급수 정리 (0)	2012.11.03
벡터 외적 기본공식 (0)	2012.11.03

http://mathjk.tistory.com/776

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

미분공식3개 (tan^-1(x))' , ∫1/(1+x^2) dx , ∫1/(a^2+x^2) dx (0)	2012.11.03
오일러공식 (0)	2012.11.03
2변수에 대한 테일러급수 정리 (0)	2012.11.03
벡터 외적 기본공식 (0)	2012.11.03
여인수(a_q,p)와 행렬 식을 기준 원소의 i,j 가 틀릴경우의 연산의 역과정 (0)	2012.11.03

출처 : emath

테일러 급수

2변수 테일러 정리

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

오일러공식 (0)	2012.11.03
심슨의 법칙 (0)	2012.11.03
벡터 외적 기본공식 (0)	2012.11.03
여인수(a_q,p)와 행렬 식을 기준 원소의 i,j 가 틀릴경우의 연산의 역과정 (0)	2012.11.03
고유값, 고유벡터 (0)	2012.11.03

어느사이트에서 퍼옴..

벡터 외적

벡터의 외적의 정의입니다.

벡터 a에서 b방향으로 오른손을 감았을때 엄지손가락의 방향이 외적의 방향입니다. 내적은 스칼라값으로 나타나지만 외적은 다시 벡터의 형태로 나타난다는 것을 알아두어야합니다.

오른손으로 감아쥐는 방향이 중요하기 때문에 벡터의 외적은 교환법칙이 성립하지 않습니다. 물론 외적끼리의 결합법칙도 성립하지 않습니다.

각 단위벡터들 끼리의 외적을 보여주고 있습니다. i->j->k의 순서로 흐른다는 것을 알면됩니다.

그래서 위 과정을 따라가면 두 벡터의 외적을 구하는 공식을 알 수 있습니다.

위에 나와 있지만, 외적의 결과가 0이면 두 벡터는 평행합니다.

스칼라 삼중적

어떤 세 벡터에서 두 벡터의 외적후 나머지 한 벡터와 내적을 취하는 것을 스칼라 삼중적이라고 합니다.

스칼라 삼중적은 평행육면체(직육면체 포함)의 부피를 의미하기도 합니다.

참고자료:
07 Vector 04.pdf

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

심슨의 법칙 (0)	2012.11.03
2변수에 대한 테일러급수 정리 (0)	2012.11.03
여인수(a_q,p)와 행렬 식을 기준 원소의 i,j 가 틀릴경우의 연산의 역과정 (0)	2012.11.03
고유값, 고유벡터 (0)	2012.11.03
테일러 급수, 맥클로린 급수와 기억해야할 급수, 초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들 (0)	2012.11.03

여인수의 숫자와 행렬 식을 기준 원소의 i,j 가 틀릴경우의 연산의 역과정.hwp

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

2변수에 대한 테일러급수 정리 (0)	2012.11.03
벡터 외적 기본공식 (0)	2012.11.03
고유값, 고유벡터 (0)	2012.11.03
테일러 급수, 맥클로린 급수와 기억해야할 급수, 초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들 (0)	2012.11.03
부분합 Sn (0)	2012.11.03

고유값

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 선형 변환을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수직 축은 그대로 수직 축으로 남기 때문에 붉은색 화살표는 방향이 변하지 않지만 푸른색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 붉은색 화살표는 이 변환의 고유벡터가 되고 푸른색 화살표는 고유벡터가 아니다. 또한 빨간색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 고유값은 1이다.

선형대수학에서 고유벡터(eigenvector, 독일어: Eigenvektor)는 어떤 선형 변환이 일어난 후에도 그 방향이 변하지 않는 영벡터가 아닌 벡터를 가리킨다. 또한 변환 후에 고유벡터의 크기가 변하는 비율을 그 벡터의 고유값(eigenvalue, 독일어: Eigenwert, 표준어: 고윳값)이라고 한다. 또한 고유공간(eigenspace, 독일어: Eigenraum)은 같은 고유값을 갖는 고유벡터들의 집합이다. 선형 변환은 대개 고유벡터와 그 고유값만으로 완전히 설명할 수 있다.

고유벡터와 고유값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형 대수학, 함수 해석, 그리고 여러가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.

고유벡터(eigenvector)와 고유값(eigenvalue)의 "eigen"이라는 독일어를 이와 같은 의미로 쓴 것은 수학자 힐베르트가 처음이었다. (그러나 수학 외의 분야에서 헬름홀츠가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) 독일어 "eigen"은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.

[편집]정의

어떤 선형 변환의 고유벡터는 변환 후에도 변하지 않거나 그 크기만이 변하고 방향은 일정한 벡터를 가리킨다.
어떤 고유벡터의 고유값은 변환 전과 후의 고유벡터의 크기 비율이다.
고유공간은 같은 고유값을 갖는 고유벡터들과 영벡터들로 이루어지는 공간이다.
주고유벡터(principal eigenvector)는 가장 큰 고유값을 갖는 고유벡터이다.
고유값의 기하중복도(geometric multiplicity)는 고유값에 의해 정의된 고유공간의 차원이다.
유한 차원의 벡터 공간에 대해 선형 변환의 스펙트럼은 그 고유값들의 집합이다.

예를 들어, 삼차원 회전변환의 고유벡터는 그 회전축 상에 놓여 있다. 회전한 후에도 회전축의 크기는 변하지 않으므로 그 고유벡터의 고유값은 1이고, 그에 해당하는 고유공간은 회전축에 평행한 모든 벡터로 이루어진다. 이 고유공간은 1차원 공간이므로 기하중복도는 1이고, 고유값이 1뿐이므로 실수인 스펙트럼의 집합은 원소가 1 하나뿐인 집합이다.

[편집]예제

지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 모든 화살표는 자전축을 향하는 화살표를 제외하고 함께 회전한다. 그러므로 지구가 한시간동안 자전한 결과를 하나의 변환으로 볼 때 지구의 자전축에 평행한 벡터가 고유벡터이다. 또한 자전축이 커지거나 작아지지 않았으므로 그 고유값은 1이다.

다른 예로는 얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 두 배 늘린 경우를 들 수 있다. 이때 가운데 점으로부터 종이의 모든 점을 향한 벡터들이 모두 고유벡터가 된다. 또한 벡터들의 길이가 모두 두배가 되었으므로 고유벡터들의 고유값은 2이다. 이 경우 고유공간은 모든 고유벡터들의 집합이 될 것이다.

[편집]고유값 방정식

다음 방정식이 참이면 $\mathbf v_\lambda$ 는 고유벡터이고 $λ$ 는 그에 해당하는 고유값이다.

$T(\mathbf{v}_\lambda)=\lambda\,\mathbf{v}_\lambda$

이때 $T(\mathbf v_\lambda)$ 는 $\mathbf v_\lambda$ 에 변환 $T$ 를 행해 얻어진 벡터이다.

$T$ 가 선형 변환이라고 가정하자. (즉, 모든 스칼라 $a, b$ 와 벡터 $\mathbf v, \mathbf w$ 에 대해 $T(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=aT(\mathbf{v})+bT(\mathbf{w})$ 이다. 그러면 $T$ 와 $\mathbf v$ 는 행렬 $A T$ 와 열벡터 $\mathbf v_\lambda$ 로 표현할 수 있다. 그러면 위의 고유값 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$A_T\,v_\lambda=\lambda\,v_\lambda$

이 방정식에서 $λ$ 와 $\mathbf v_\lambda$ 를 미지수로 놓아 연립방정식을 풀면 고유값과 고유벡터를 얻을 수 있다.

그러나 고유값 방정식을 항상 행렬 형태로 쓸 수 있는 것은 아니다. 예를 들어 위에서 든 밧줄의 예와 같이 벡터 공간의 차원이 무한하다면 그것을 행렬 형태로 쓰는 것은 불가능하다. 이런 경우에는 고유값 방정식을 미분방정식의 형태로 쓸 수 있다. $T$ 를 미분 기호로 놓으면 이 경우 고유벡터는 고유함수라 불린다. 미분은 다음과 같은 성질에 의해 일종의 선형 변환이다.

$\displaystyle\frac{d}{dt}(af+bg) = a \frac{df}{dt} + b \frac{dg}{dt}$

( $f (t)$ 와 $g (t)$ 는 미분가능한 함수이고 $a$ 와 $b$ 는 상수이다.)

$t$ 에 대해 미분하면 고유함수 $h (t)$ 는 고유값 방정식을 만족한다.

$\displaystyle\frac{dh}{dt} = \lambda h$

이때 $λ$ 는 고유함수에 해당하는 고유값이다. 만약 $λ = 0$ 이면 이 함수는 상수함수이다.

고유값 방정식의 해는 $g (t) = exp(λ t)$ , 즉 지수함수이다. $λ$ 는 임의의 복소수일 수 있다.

[편집]

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

벡터 외적 기본공식 (0)	2012.11.03
여인수(a_q,p)와 행렬 식을 기준 원소의 i,j 가 틀릴경우의 연산의 역과정 (0)	2012.11.03
테일러 급수, 맥클로린 급수와 기억해야할 급수, 초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들 (0)	2012.11.03
부분합 Sn (0)	2012.11.03
절대수렴과 조건수렴 (0)	2012.11.03

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

테일러 정리:

테일러 정리란 테일러급수를 전개 해 나가면서 무한한 전개를 유한개로 만드는 즉 n 에 대한 부분 그 이상을

하나의 식으로 표현해 더해줌으로써 테일러급수를 유한개의 식으로 표현한 것이다

- 테일러 급수에서 x 대신에 b 로 바꿔 치기 한 후 n 번째 이후 나머지를 하나로 만들어 버리는 것

- 즉 급수의 값 자체를 완벽히 계산 할 순 없고 근사값 정도로 계산을 할 수 있으며 나머지들을 하나로 정리한

항에 대한 범위를 정해줄 수 있는 정도이다

아래 그림에서 x1 으로 인하여 마지막 항의 값이 하나로 정리되는 인수인데 그 값을 정확히 잡아내기가

썩 수월하진 않을것이다.

1.기억해야할 급수

이항정리 url:

http://web3.c2.cyworld.com/myhompy/board/retrieveBoard.php?home_id=a0619041&lmenuSeq=204317&smenuSeq=473302&postSeq=6073354&view=&menu=smenu&isMaster=Master

2.초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들( sin, cos, e^x 에 대한것 필히 기억! )

아래부터는 첨부내용

http://blog.naver.com/mindo1103/90103327556

－매끈한 함수(Smooth Function)－

함수 가 무한 번 미분이 가능할때

함수 를 매끈한 함수라고 한다.

함수 f(x)가 매끈한 함수일때

f(x)를 가지고 멱급수 전개를 해보겠습니다.

위 식에 x＝a 를 대입하면

식의 양변을 미분하면

한번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면

식의 양변을 한번 더 미분하면

두번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면

식의 양변을 한번 더 미분하면

세번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면

.....

규칙성에 의해 n번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면 임을 알수 있습니다.

따라서 입니다.

－정리 1－

함수 가 매끈한 함수이고

이렇게 표현 가능하다면

이다.

위 정리에서 나온 을 대입해서 얻은 급수를 테일러 급수라고 합니다.

테일러 급수에서 특별히 a＝0 인 경우에는 매클로린 급수라고 합니다.

－테일러 급수(Taylor Series)－

함수 가 매끈한 함수일때

위 급수를 테일러 급수(Taylor Series) 라고 한다.

테일러 급수에서 a＝0 인 아래의 급수를 매클로린 급수(Maclaurin Series) 라고 한다.

출처 위키

주요한 매클로린 급수의 예

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\!\forall x$

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \quad\!\forall x$
$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \quad\!\forall x$
$\ln (1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\quad\mbox{ for }-1<x \le 1$

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

여인수(a_q,p)와 행렬 식을 기준 원소의 i,j 가 틀릴경우의 연산의 역과정 (0)	2012.11.03
고유값, 고유벡터 (0)	2012.11.03
부분합 Sn (0)	2012.11.03
절대수렴과 조건수렴 (0)	2012.11.03
일반적인 판정법 (0)	2012.11.03

임의의 무한급수에서 첫째항부터 제n항까지의 합

S_n = a₁+a₂+a₃+…+a_n
을 이 무한급수의 제n부분합이라 한다. 무한급수의 수렴·발산은 부분합을 이루는 수열 { S_n }의 수렴·발산에 따라 정의된다.

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

고유값, 고유벡터 (0)	2012.11.03
테일러 급수, 맥클로린 급수와 기억해야할 급수, 초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들 (0)	2012.11.03
절대수렴과 조건수렴 (0)	2012.11.03
일반적인 판정법 (0)	2012.11.03
근판정법 증명 (0)	2012.11.03

http://blog.naver.com/mindo1103/90103262597

절대수렴과 조건수렴은 다음을 말합니다.

－절대수렴과 조건수렴－

이 수렴하면 은 절대수렴(Absolutely Convergence)

은 발산하고 이 수렴하면 은 조건수렴(Conditionally Convergence)

한다고 한다.

예를 들면

의 경우 이 p급수 판정법에 의해 수렴하므로 절대수렴한다고 하고

은 교대급수 판정법에 의해 수렴하지만

은 p급수 판정법에 의해 발산하므로 조건수렴 한다고 합니다.

절대수렴하는 급수에 대해 다음의 정리가 성립합니다.

－정리 1－

이 수렴하면 도 수렴한다.

(증명)

모든 자연수 n에 대해 이므로

이 수렴하므로 비교판정법에 의해 은 수렴한다.

따라서 수렴하는 급수의 성질에 의해

은 수렴한다.

정리 1을 이용하면 아래의 따름정리를 얻을수 있습니다.

－따름정리 1－

이라고 하자.

이 때, 이 수렴하면 도 수렴한다.

(증명)

이므로 이다.

따라서 이므로

정리 1에 의해 이 수렴하면 도 수렴한다.

ex1) 급수 의 수렴/발산 을 판정하시오.

(풀이)

이라 하면 이고

p급수 판정법에 의해 은 수렴하므로

비교판정법에 의해 은 수렴한다.

따라서 은 수렴한다.

[출처] 절대수렴과 조건수렴|작성자 네냐플

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

테일러 급수, 맥클로린 급수와 기억해야할 급수, 초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들 (0)	2012.11.03
부분합 Sn (0)	2012.11.03
일반적인 판정법 (0)	2012.11.03
근판정법 증명 (0)	2012.11.03
비판정법 증명 (0)	2012.11.03

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

1. 비판정법

일반적인 형태일때

급수 시그마 an 에서 an 에 대하여 절대값을 씌워서 판정법을 생각 하면 좀 더 수월하다

배웠던 판정법에 대하여 모두 유사하게 가능하다

출처 : emath

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

부분합 Sn (0)	2012.11.03
절대수렴과 조건수렴 (0)	2012.11.03
근판정법 증명 (0)	2012.11.03
비판정법 증명 (0)	2012.11.03
이상적분 (0)	2012.11.03

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

절대수렴과 조건수렴 (0)	2012.11.03
일반적인 판정법 (0)	2012.11.03
비판정법 증명 (0)	2012.11.03
이상적분 (0)	2012.11.03
수학노트 사이트 (0)	2012.11.03

http://cafe.naver.com/mathclub.cafe?iframe_url=/ArticleRead.nhn%3Farticleid=23912&

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

일반적인 판정법 (0)	2012.11.03
근판정법 증명 (0)	2012.11.03
이상적분 (0)	2012.11.03
수학노트 사이트 (0)	2012.11.03
수학 노트 (0)	2012.11.03

무리수(society2010)

http://cafe.naver.com/mathematicians/16

(1) 적분한계 중 하나 이상이 무한일때 정적분

극한값이 존재하면 수렴 안하면 발산이라고 한다.

예)

(2)피적분함수가 적분 상한 또는 하한에서만 불연속인 경우

두함수 f(x)와 g(x)가 구간 [a,∞)에서 연속이고 구간안에 있는 모든 x에 대하여 0≤f(x)≤g(x) 에대하여

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

근판정법 증명 (0)	2012.11.03
비판정법 증명 (0)	2012.11.03
수학노트 사이트 (0)	2012.11.03
수학 노트 (0)	2012.11.03
이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기 (0)	2012.11.03

http://wiki.mathnt.net/index.php?title=%EB%8C%80%EB%AC%B8

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

비판정법 증명 (0)	2012.11.03
이상적분 (0)	2012.11.03
수학 노트 (0)	2012.11.03
이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기 (0)	2012.11.03
수학 영어용어 (0)	2012.11.03

http://pythagoras0.springnote.com/

스프링노트 서비스 종료에 따른 안내

2012년 8월 25일부터 수학노트의 컨텐츠는 점차적으로 http://wiki.mathnt.net/ 으로 옮겨질 예정임

업데이트

2012년 9월 27일 스프링노트 서비스 종료 예정
- http://ecus-ko.springnote.com/issues/12578
2012년 6월 수리물리학의 주제들 항목 확장
- 물리학의 수학적 측면에 관심있는 사람들의 참여 필요
2012년 6월 계산 리소스와 프로그래밍 항목 생성
- 기존에 있던 매스매티카 리소스 를 하위 항목으로 이동함
- 수학에 컴퓨터를 활용하는 것에 관심있는 사람들의 참여 필요
2011년 11월 4일 트위터의 수학노트봇 가동 시작 bot_math
2011년 3월 21일 항목의 '매스매티카 파일 및 계산 리소스' 에서 매스매티카 파일 제공을 시작함. 매스매티카 파일 목록 참조
2008년 10월 13일 '수학과 학부생을 위한 노트' 라는 이름으로 시작

이 수학노트의 취지

수학을 공부하는 학생으로서 먼저 공부한 경험을, 진지한 수학공부를 원하는 중고대딩 후배들에게 전해주고자 쓰는 노트입니다. 애초에는 수학과 학부생을 위한 노트로 시작했으나, 좀더 범위를 넓혀 중고딩을 위한 수학도 조금씩 보충해가고 있습니다. 중고등학교 수학에서부터 링크를 타고 이리저리 움직이며 관련되어 있는 대학수학, 그 너머 더 수준높은 수학까지 여행하는 재미를 느껴보시기 바랍니다.

이곳에서는 중고대딩들을 위한 수학뿐만 아니라, 수학과 문화생활 페이지를 통해 수학과 관련된 영화나 다큐멘터리 정보를 제공하고 있습니다. 교과서만 고집할 것이 아니라, 수학의 세계로 들어가는 다양한 길을 찾아보시기 바랍니다.

중고등학교에서 배우는 수학과 더 수준높은 고등수학을 연결하기
어려운 수학의 주제에 접근하는 문턱을 낮추고 디딤돌 놓기
중고등학교 수학 선생님들이 활용할 수 있는 소재 제공하기
수학용어번역하기
한글 위키피디아의 수학 관련 항목 업데이트 하기
미디어 속의 수학 모니터링

왼쪽상단의 이미지 설명

노르웨이의 수학자 아벨을 기념하기 위한 우표
일반적인 오차이상의 방정식의 해는 사칙연산과 근호를 사용하여 나타낼수 없음을 최초로 증명
- 5차방정식과 근의 공식
왼쪽의 무한대 모양은 아벨이 타원적분을 연구하는데 길잡이 역할을 한 렘니스케이트 곡선
- 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분 항목 참조

블로그 안내

중고대딩들을 위한 수학노트 블로그 (티스토리)
- RSS를 통해 구독하려면, 이곳보다는 저 블로그의 RSS를 통해 구독하는 것이 좋겠습니다.
편집자들의 블로그

중고등학교 수학의 명장면

따분하고 지루했던, 생각만 해도 싫은 학창시절의 수학 시간… 그 때는 그리도 싫었지만, 지금쯤 한번 다시 돌아볼수있다면 어떠한 생각이 들까? 수학이 쓸모없어 보였기에, 하기 싫었던 것일까? 수학이 그렇게 쓸데없는 것이면, 미술 같은 것도 쓸데없기는 마찬가지다.

그림은 즐겁게 감상이라도 하지… 그렇다면 왜 수학도 작품 하나씩 감상한다고 생각하면 안되는 것일까? 그러니 한번 기억을 더듬어, 중고등학교 수학 시간의 명장면들을 회상해 보기로 하자.

고등수학 입문

2012-08-26 01:21 에 피타고라스님이 마지막으로 수정

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

이상적분 (0)	2012.11.03
수학노트 사이트 (0)	2012.11.03
이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기 (0)	2012.11.03
수학 영어용어 (0)	2012.11.03
이중적분 정리와 영상강의 (0)	2012.11.03

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

인테그랄의 범위는 z 함수 뒤에 오는 dx, dy 와 관련이 있는데

∫∫ z dxdy 의 연산 순위를 따져보면

=∫(∫ z dx)dy 이 먼저 연산 됨으로

안에 있는 dx 에 대한 범위 부터 따지는 것이 수월하다

dx 는 x 축의 방향으로 인테그랄 만큼 x 가 움직이는 범위를 말하다

즉

인테그랄(1~0) 까지가 이동 범위라고 한다면 x 의 이동 범위가 0 에서부터 1 까지 의 이동 범위 x의 정의역

이 되는 것이고

인테그랄(1~y) 까지가 이동 범위라고 한다면 x 가 y 값에 종속되어지는 y 부터 1 까지 이동 범위가 되는데

=∫(∫ z dx)dy 의 정의를 보면 이중 시그마로 정의 되는데 이때 델타x 델타y 로 정의 됨으로

안쪽의 시그마에서 델타x 델타y 까지 의 함 임으로 우선 y 축을 고정한다 가정하고

y 값이 고정된다면 이때 이동하는 x 의 범위, 이동 범위 함수를 구해 내고

이 x축에 대한 이동이 이루어지는 y축 방향으로의 이동 범위를 구해주면 해당 부피를 구할 정의역을

구할 수 있게 된다.

∫∫ z dydx 로 나열 할 경우에도 또한 dy 를 먼저 연산 해야 함으로 dx 를 우선 고정 시켜놓은 후

dy 의 이동 범위를 먼저 구해본 후 dx의 범위를 구한다

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

수학노트 사이트 (0)	2012.11.03
수학 노트 (0)	2012.11.03
수학 영어용어 (0)	2012.11.03
이중적분 정리와 영상강의 (0)	2012.11.03
근사적 정적분 (0)	2012.11.03

http://blog.naver.com/azsure?Redirect=Log&logNo=80090388208

A

absolute value 절대값

about 약, 대략 , ≒

acute angle 예각

acute triangle 예각 삼각형

add 더하다

addition 덧셈

addend 가수 (더해진 수)

adjacent angle 인접각

algebra 대수

alternate angle 엇각

altitude 높이 (= height)

analytical geometry 해석 기하학

angle 각 , ∠

answer 정답, 대답하다

approximation 근사값

arabic numeral 아라비아 숫자

arbitrary 임의의

area 면적 , 넓이

arc 호

arithmetic 산술

associative law 결합법칙

average 평균

axis 축

B

bar graph 막대 그래프

base 기수, 밑변

binomial 2항식

bisect 이등분하다

blank 빈칸

C

calculus 미적분학

calculate 계산하다 (= eval!uate)

calculator 계산기

cancellation 약분

capacity 들이

center 중심

center angle 중심각

chart 표

check 확인하다

chord 현

circle 원

circumference 원주

clockwise 시계방향

coefficient 계수

combination 조합, 결합

common fraction 상분수

compare 비교하다

compass 컴퍼스

complementary angle 여각

complex number 복소수

complete 완성하다

composite number 합성수

cone 원뿔

congruence 합동

constant 상수

consecutive 연속적인

coordinate 좌표

coordinate plane 좌표평면

corresponding angle 동위각

counter clockwise 반시계방향

counter example 반례

cube 정육면체

cubic 입방의 , 3차의

curve 곡선

cylinder 원기둥

D

decagon 10각형

decimal 소수

decimal point 소수점

definition 정의

degree ~차, 차수, ~도

demonstration 증명

denominator 분모(= divisor)

denote 표시하다

develop 전개하다

diagonal 대각선

diagram 도표

diameter 지름

difference 차

differential calculus 미분

dimension 차원

distance 거리

distributive law 분배법칙

divide 나누다

dividend 피제수

division 나눗셈

domain 정의역

draw 그리다

E

edge 모서리

element 원소

eliminate 삭제하다

ellipse 타원

empty set 공집합 ,

endpoint 끝점

equal 같다 , =

equation 방정식

equiangular 등각의

equidistance 등거리

equilateral triangle 정삼각형

equivalent 동치, 동등

even number 짝수

example 보기, 예제

exercise 연습문제

exponent 지수

expression! 식

F

factor 인수

factoring 인수분해

false 거짓

find 찾다

finite 유한

figure 도형, 그림

formula 공식

fraction 분수

frustum 각추대

function 함수

G

geometry 기하학, 도형

graph 그래프

greater than ~보다 큰 (= more than)

greatest common factor 최대공약수

group 군

H

height 높이 (= altitude)

hexagon 육각형

horizontal 가로의

hyperbola 쌍곡선

hypotenuse 빗변

I

identical equation 항등식

identity 항등원

imaginary number 허수

improper fraction 가분수

indirect proof 간접 증명법 (귀납법)

inequality 부등식

infinite 무한

inscribe 내접시키다

integer number 정수

integral calculus 적분

intersection 교점

inverse 역

involve 거듭제곱하다

interest 이율 , 이자

irrational number 무리수

(<-> rational number 유리수)

isosceles 이등변의

isosceles triangle 이등변 삼각형

isosceles trapezoid 이등변 사다리꼴

L

leg 변

length 가로 , 길이

less than ~보다 작은 (= fewer than)

leteral area 겉넓이

letter 문자

like term 동류항

line 선

linear 1차의 , 직선의

linear equation 1차 방정식

line graph 선 그래프

lowest term 기약분수

M

manipulation 조작

mathematics 수학

mathematician 수학자

measure 측정하다

measurement 측정

midpoint 중점

million 백만

minuend 피감수

mixed number 대분수

monomial 단항식

multiplication 곱셈

multiply 곱하다

N

natural number 자연수

negative 음의

negative number 음수

notation 표시법

number 수

number line 수직선

numeral 숫자

numerical 수의

numerator 분자

O

obtuse angle 둔각

obtuse triangle 둔각 삼각형

octagon 8각형

odd number 홀수 ( <-> even number 짝수)

order 위수, 차수 , 순서

ordered pair 순서쌍

origin 원점

operation 계산 (사칙연산 +, -, ×,÷)

P
parabola 포물선

parallel 평행

parallel line 평행선

parallelepiped 평행 육면체

parallelogram 평행사변형

parenthesis 괄호 , ( )

pentagon 5각형

percent 퍼센트,％

perpendicular 수직 , ⊥

perpendicular line 수직선

perimeter 둘레의 길이

plane 평면

plane geometry 평면 기하학

point 점, 소수점

polygon 다각형

polynomial 다항식

positive 양의 (<-> negative 음의)

positive number 양수

power 멱, 거듭제곱

practice problem 연습문제

prime number 소수

prism 삼각기둥

probability 확률

problem 문제

product 곱

proof 증명하다

proper fraction 진분수

property 공식 , 성질

proportion 비례식

protractor 각도기

pyramid 사각뿔

Q

quadrant 사분면

quadratic 2차방정식, 2차의

quadrilateral 사각형

quadrillion 천조

quantity 양

quotient 몫

R

radius 반지름

raise 제곱하다

range 공역

rate 비례, 비율 ( = ratio)

ray 화살표

real number 실수

reciprocal 역의, 역수

rectangle 직사각형

rectangular box 직육면체

reduce 약분하다

reflex angle 우각

remainder 나머지

regular polygon 정다각형

revolution 회전, 주기

rhombus 마름모

right angle 직각

right triangle 직각 삼각형

root 근, 해

round off 반올림하다

ruler 자

S

scalene triangle 부등변 삼각형

secant 할선

sector 부채꼴

segment 선분

sentence 문장

semicircle 반원

set 집합

set theory 집합론

similar 닮음

simplify 간단히 하다

size 크기

slash 사선

slope 기울기

solid geometry 입체 기하학

solution 해법 , 풀이

solve 풀다

sphere 구

square 제곱의, 정사각형

statement 명제

statistics 통계

straight angle 평각

straight line 직선

subset 부분집합

subtract 빼다

subtraction 뺄셈

sum 합

supplementary angle 보각

surface area 표면적 , 겉넓이

symbol 기호

T

tangent 접선, 탄젠트

tenths 소수 첫째자리

term 항

theorem 정리

the greatest number 가장 큰 수

the least number 가장 작은 수

therefore 따라서, 그러므로,

thousandths 소수 셋째자리

transform 변환하다

trapezoid 사다리꼴

triangle 삼각형

trigonometric ratio 삼각비

trillion 1조

trinomial 3항식

true 참

U

union 합집합

unit 단위

unknown 미지수

V

value 값

variable 변수

vertex 정점, 절정, 꼭지점

vertical angle 맞꼭지각

vertical line 수직선

volume 부피, 체적

W

way 방법

weight 무게

whole number 0을 포함한 자연수

width 너비, 세로

X

x-axis x축

x-intercept x절편

Y

y-axis y축

y-intercept y절편

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

수학 노트 (0)	2012.11.03
이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기 (0)	2012.11.03
이중적분 정리와 영상강의 (0)	2012.11.03
근사적 정적분 (0)	2012.11.03
정적분 삼각치환 (0)	2012.11.03

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

대략적 핵심 정리

dx, dy 가 이루는 사각형 dA = dx * dy

와 곱해지는 함수 z(x,y) 의 곱으로써 부피를 구한 다는 것이 핵심인데

∫∫ f(x,y) dydx

에서 이중적분 정의에 의해 f(x,y) 는 축 z 축에 의한 높이 값 z 성분으로 봐야 이해가 수월 하다

∫∫√( 1-x^2) dxdy

에서 √( 1-x^2) 이 것 자체가 함수 z(x,y) 가 만들어낸 결과 값 z 성분 이라는 것

z(x,y) = √( 1-x^2)

= 1 = z^2+x^2 -> x,z 평면에 대한 1인 원

-> 루트함수의 정의에 의하여 z 축으로 음수가 아닌 반원이 된다

이것이 의미 하는 것이 성분 y 성분은 고려하지 않은 x 성분에 의해 z 값이 생성되는 함수

라는 것!

z(x,y) 의 높이 값과 dx 와 곱한 x축과 평행한 면을 하나 생성 한 후

dy와 곱해 작은 부피(사각형 )를 생성하고 이것을

∫ 로 인하여 해당 영역까지 작은부피를 모두 더해주면 총 구하고자 하는 부피가 근사적으로 나온다는 것!

∫∫ f(x,y) dydx

= ∫∫ f(x,y) dA

( ) 이 괄호 안에 있는것이 각 기호들의 속성

= lim_(m->∞,n->∞) ∑_(j=1~n) ∑_(i=1~m) f(x',y') ΔxΔy

x',y' 은 임의의 범위 중 극소 ΔxΔy 크기 안의 점을 말한다.

아래부터는 첨부내용

http://blog.naver.com/andydavid?Redirect=Log&logNo=120092302141&jumpingVid=9AF49F1C90285F5E1BBC29FC65FFCEC8483D

calculus 미적분학 무료강의 중적분(이중적분) 1~3번째

올려놓고 보니 사진은 다른 강의하실 땐가봐요 제게 아니라서;

중적분/이중적분 첫번째

중적분/ 이중적분 두번째

중적분/이중적분 세번째

일등급큐스터디 권태원 선생님 무료강의 "대학수학 中 중적분 강의 1~3번째

[출처] calculus 미적분학 중적분(이중적분) 1~3번째 |작성자 앤디

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기 (0)	2012.11.03
수학 영어용어 (0)	2012.11.03
근사적 정적분 (0)	2012.11.03
정적분 삼각치환 (0)	2012.11.03
넓이를 구할때 사용되는 특수한 공식 (0)	2012.11.03

부분정적분에서 ‘h’ 값을 작게 하여 ‘사다리꼴’이나 ‘1/3 심프슨’ 공식으로 구간 내의 함수 면적을 구한다.

근사적 정적분은 F'(x) = f(x)

즉 F(x) 를 알기 힘들때 정적분으 근사적으로 접근하여 구하는 방법이다

1) 사다리꼴 적분법

적분할 구간을 사다리꼴로 간주하여 정적분 하는 근사적 정적분 법이다.

Prismoidal's rule

어떤 함수가 곡선으로 이루어져 있을때 이것을 두개의 간격으로 나누어 놓고

근사적 곡선 형태로써 이 두 간격에 대한 면적을 구하는 것인데

이것이 simpson 의 근사적 정적분에 그대로 사용 된다

Simpson's rule

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

이 방법은 Prismoidal's rule 을 바탕으로 근사적으로 정적분을 하는 경우다

적분구간: [a,b]
step length: h=(b-a)/n
x_i=a+i h
i=0,1,2,3,....,n-1,n
여기서 n은 짝수이다.

x_0=a
x_n=b

적분 구간이 짝수개여야 한다

ex) 인테그랄 0~10 까지

h 는 등간격을 말한다

규칙은 처음과 끝을 제외한 중간에 있는 함수들의 개수가 4, 2, 4, 2 , ,.,,, 4 로 진행 된다는 것

다른곳에 있는 심슨의 룰 http://blog.naver.com/kimth1023/120059333609

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

수학 영어용어 (0)	2012.11.03
이중적분 정리와 영상강의 (0)	2012.11.03
정적분 삼각치환 (0)	2012.11.03
넓이를 구할때 사용되는 특수한 공식 (0)	2012.11.03
미적분학 삼각함수 적분법 공식 (0)	2012.11.03

http://blog.naver.com/shakuruszrt/90105165425

정적분을 풀다보면 나오는 파트중 하나가 바로 삼각치환 파트이다. 삼각치환이란 미지수x를 asintheta등으로 바꾸어서 푸는 방법인데, 최근에 삼각함수의 역함수를 익히고 나서 공식이 유도가 되어 유익할지도 모르겠다는 생각에 한번 공식을 올려보도록 하겠다.

그럼 첫번째 공식이다.

흔히 나와있는 말중 하나는 바로

이다. 여기선 이 방법을 그대로 따라가겠다. 수식을 전개하겠다.

이렇게까지 치환에 성공한 사람들이 많을 것이다. 그런데 문제는 저 인테그랄 안에 존재하는 Beta와 Alpha의 값은 미지수x에 대해서 정의 되어 있다는 것이다. 저 문자를 Theta에 대한 식으로 정리하지 않으면 이 식은 여기서 막혀버린다.

그래서 새로운 함수가 하나 필요하게된다. 바로 아크삼각함수이다.

아크삼각함수는 Sin^(-1)/Arcsin , Cos^(-1)/Arccos, Tan^(-1)/Arctan 으로 표기하는데, 이 때 -1은 분수를 나타내는 표현이 아님을 주의한다. 원래 삼각함수는 역함수가 존재할 수 없으나, 그 정의역을 적절히 조절해주면 일대일대응을 갖게되어, y=x에 의한 역함수를 얻을 수 있고 그것이 아크삼각함수이다.

Sin함수는 그 값을 폐구간 Pi/(-2) , Pi/2 로 정해주면, Cos함수는 우함수이므로 폐구간 0,Pi로 설정하고, Tan함수는 개구간 Pi/(-2),Pi/2 로 설정하면 일대일 대응이 되므로 역함수를 얻을 수 있게 된다.

이로써

의 일반항을 구하는데 성공하였다. 다른 방법도 똑같이 역함수를 이용하여 쉽게 구할 수 있고, 나중에 또 올리겠다.

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

이중적분 정리와 영상강의 (0)	2012.11.03
근사적 정적분 (0)	2012.11.03
넓이를 구할때 사용되는 특수한 공식 (0)	2012.11.03
미적분학 삼각함수 적분법 공식 (0)	2012.11.03
적분법 (0)	2012.11.03

정적분 계산시 정적분안에 있는것이 아래와 같은 꼴(2차곡선) 이고 주워진 범위가

x축과 교차하여 2차곡선과 x축과의 해의 지점이 정적분을 구해야 하는 지점이라면

알파,베타를 정적분의 범위값으로 대신하여 구하면 쉽게 구할 수 있다.

저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

근사적 정적분 (0)	2012.11.03
정적분 삼각치환 (0)	2012.11.03
미적분학 삼각함수 적분법 공식 (0)	2012.11.03
적분법 (0)	2012.11.03
적분법 (0)	2012.11.03

수학 (Mathematics)/미적분학

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

적분표

목차

[편집]일반적인 적분규칙

[편집]유리함수

[편집]무리함수

[편집]로그함수

[편집]지수함수

[편집]삼각함수

[편집]쌍곡선함수

[편집]정적분

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분

미분의 기본 공식

[편집]확장된 미분의 기본 공식

[편집]단순한 함수의 미분

[편집]지수함수와 로그 함수의 미분

[편집]삼각함수의 미분

[편집]쌍곡선 함수의 미분

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

부분분수

목차

[편집]예

[편집]가분수를 대분수로 변형

[편집]분자의 차수가 낮은 경우

[편집]유용한 공식

[편집]분모의 인수분해 되지 않는 다항식

[편집]분모의 거듭제곱된 항의 포함

[편집]응용

[편집]계산하기 어려운 값

[편집]적분하기 어려운 함수

[편집]무한급수의 일반항

[편집]역 라플라스 변환

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

원본은 위키백과이고 중간에 약간 식을 추가..

오일러의 공식

목차

역사

증명

[편집]테일러 급수를 이용한 방법

[편집]미분 계산을 이용한 방법

[편집]미적분을 이용한 방법

[편집]미분방정식을 이용한 방법

[편집]cis 함수

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

고유값

목차

[편집]정의

[편집]예제

[편집]고유값 방정식

[편집]

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

출처 위키

주요한 매클로린 급수의 예

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

스프링노트 서비스 종료에 따른 안내

업데이트

이 수학노트의 취지

왼쪽상단의 이미지 설명

블로그 안내

중고등학교 수학의 명장면

고등수학 입문

생활 속의 수학