정적분 삼각치환

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정적분을 풀다보면 나오는 파트중 하나가 바로 삼각치환 파트이다. 삼각치환이란 미지수x를 asintheta등으로 바꾸어서 푸는 방법인데, 최근에 삼각함수의 역함수를 익히고 나서 공식이 유도가 되어 유익할지도 모르겠다는 생각에 한번 공식을 올려보도록 하겠다.

그럼 첫번째 공식이다.

흔히 나와있는 말중 하나는 바로

이다. 여기선 이 방법을 그대로 따라가겠다. 수식을 전개하겠다.

이렇게까지 치환에 성공한 사람들이 많을 것이다. 그런데 문제는 저 인테그랄 안에 존재하는 Beta와 Alpha의 값은 미지수x에 대해서 정의 되어 있다는 것이다. 저 문자를 Theta에 대한 식으로 정리하지 않으면 이 식은 여기서 막혀버린다.

그래서 새로운 함수가 하나 필요하게된다. 바로 아크삼각함수이다.

아크삼각함수는 Sin^(-1)/Arcsin , Cos^(-1)/Arccos, Tan^(-1)/Arctan 으로 표기하는데, 이 때 -1은 분수를 나타내는 표현이 아님을 주의한다. 원래 삼각함수는 역함수가 존재할 수 없으나, 그 정의역을 적절히 조절해주면 일대일대응을 갖게되어, y=x에 의한 역함수를 얻을 수 있고 그것이 아크삼각함수이다.

Sin함수는 그 값을 폐구간 Pi/(-2) , Pi/2 로 정해주면, Cos함수는 우함수이므로 폐구간 0,Pi로 설정하고, Tan함수는 개구간 Pi/(-2),Pi/2 로 설정하면 일대일 대응이 되므로 역함수를 얻을 수 있게 된다.

이로써

의 일반항을 구하는데 성공하였다. 다른 방법도 똑같이 역함수를 이용하여 쉽게 구할 수 있고, 나중에 또 올리겠다.