지식인

Q :

중학교올라가니까 자꾸 번분수가나와서 그러는데요 예를들어

6

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

2

ㅡㅡㅡㅡㅡ

3

이런수가 있 잖아요 . 그럼 랑 같은거잖아요. 초등학교때배운것처럼 나누기를차례대로나누면

1 이잖아요.. 번분수로는 왜 9가나오죠? 자세하게 제가 뭘 틀렸는지 구체적으로 알려 주세요..

A:

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http://blog.shonan.wo.tc/60126265512 출처 : 안열림 없어진듯..

a,b 양수

a=b 일때만 = 가 성립

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사차 방정식

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4차함수의 그래프

사차 방정식이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 , a\ne 0$

와 같다. 여기에서 $a, b, c, d$ 는 각각 $x^4 , x^3 , x^2, x$ 의 계수라고 한다. $e$ 는 상수항이라고 부른다.

[편집]역사

페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.

[편집]해법

$\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\$

이 방정식에서 양변을 $x$ 의 최고차항인 $a$ 로 나눈 다음 $\textstyle x=y- {b \over 4a}$ 라고 두면 $y^4 + p{y^2} + qy + r = 0$ 꼴로 정리할 수 있다.

$y^4 = -p{y}^2 - qy - r$ 에서 양변에 나중에 결정될 적절한 값 $z$ 를 취해서 $2zy^2 + z^2$ 을 더하면

$( y^2 + z )^2 = (2z-p){y}^2 -qy + z^2 -r$ .

이 된다. 이 우변이 완전제곱식이 되면, 사차방정식은 두 개의 이차방정식으로 분해된다. 그러므로 우변의 이차식은 판별식

$\Delta = q^2 - 4(2z-p)(z^2 -r)$

의 값이 0이 되어야 한다. 이것은 $z$ 에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 $z$ 의 값을 알아낸다. 그리하여 주어진 사차방정식은

$( y^2 + z )^2 = (sy + t)^2$

의 형태가 된다. 따라서 두 이차방정식 $y^2 + z = \pm (sy + t)$ 을 풀어서 네 개의 해를 구한다.

[편집]특수한 경우

[편집]복이차방정식

사차 방정식 중 짝수 차수만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다. $x^2=X$ 으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

[편집]상반방정식

계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 상반방정식(Symmetric equations)이라고 한다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다.

$a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

이 경우 양변을 $x^2$ 으로 나누어 $x + 1/x$ 를 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.

좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)

$a_0 x^4 + a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_1 m x + a_0 m^2 = 0$

의 경우 $x + m/x$ 으로 치환해주면 된다.

[편집]근과 계수의 관계

근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

사차방정식 $\textstyle ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e=0$ 의 네 근을 $\textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta$ 라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.

$\textstyle \alpha + \beta + \gamma + \delta = - {b \over a}$

$\textstyle \alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = {c \over a}$

$\textstyle \alpha \beta \gamma + \alpha \beta \delta + \alpha \gamma \delta + \beta \gamma \delta = - {d \over a}$

$\textstyle \alpha \beta \gamma \delta = {e \over a}$

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삼차 방정식

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3차함수의 그래프

삼차 방정식이란, 최고차항의 차수가 3인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은 다음과 같다.

$ax^3+bx^2+cx+d=0 , a\ne 0$

여기에서 $a, b, c$ 는 각각 $x^3 , x^2 , x$ 의 계수라고 한다. $d$ 는 상수항이다.

역사

[편집]

고대 바빌로니아에서는, 수표를 이용해 3차 방정식의 근을 어느 정도의 근사치로서 구할 수 있었다.

또한 고대 그리스에서는 3대 작도 문제중 1개인 입방 배적 문제로 알려지고 있었다. 키오스의 히포크라테스에 의해서 $p$ , $q$ 로부터

p : x = x : y = y : q

되는 수 x, y 을 요구한다고 하는 비의 문제인 입방 배적 문제로 알려져 있다.

메나이크모스는 히포크라테스의 아이디어로 부터 원추 곡선을 생각해 내어 입방 배적 문제를 원추곡선에 의한 작도에 의해서 풀어내었다. 메나이크모스는 이 업적으로 인하여 원추 곡선의 발견자라고 알려져 있다. 입방 배적 문제는 x³ = 2 p³ (p > 0) 의 형태의 3차 방정식을 푸는 것과 같고 메나이크모스에 의한 방법은, 3차 방정식의 기하학적 해법 중 1개로 생각 할 수 있어서 원추 곡선의 표를 계산해 두면 3차 방정식의 근의 근사치도 알 수 있게 된다. 그러나 일반적으로 원추 곡선은 플라톤의 작도 아래에서도 작도할 수 있다. 곡선은 아니기 때문에 원추 곡선에 의한 기하학적 해법은 입방 배적 문제의 해법으로 보이지는 않는다.

이러한 원추 곡선의 연구는 아르키메데스나 이븐 알 하이탐 등을 거쳐, 셀주크 제국 시대 페르시아의 오마르 하이얌에 의해 확장되어 여러가지 형태를 취한 3차방정식의 근이 원추 곡선 끼리의 교점으로서

삼차방정식의 대수적 해법은 16세기 무렵에 볼로냐 대학의 시피오 델 페로가 발견한 것으로 여겨지고 있다.^{[출처 필요]}

x³ + a₁ x = a₀ (a₁ 및 a₀ 은 음수)

이런 형태의 공식이다. 당시에는 음수는 인정되지 않았기 때문에 계수는 아주 한정되어 있었다.

이 방정식 자체는 특수한 형태이지만, 일반적인 3차 방정식은 이 형태로 변형할 수 있기 때문에, 본질적으로는 3차 방정식은 델 페로가 풀었다고 해도 과언은 아니다. 또한 이 방정식의 경우는 계수의 부호의 제약으로부터 환원 불능이 되지 않는다.

델 페로는 이 해법을 공개하지 않고, 제자 몇 명에게만 알려준 뒤 1526년에 죽었다. 그리고 그 제자 중의 한 명인 안토니아 마리아 피올(Antonio Maria Fior)은 이 방법을 이용하여 당시에 성행했던 금전을 건 계산 승부에서 계속 이겼다.

3차 방정식의 해답이 있다고 하는 소문을 바탕으로 타르탈리아(Tartaglia)는 독자적인 힘인지는 몰라도

x³ + a₂ x² = a₀ (a₂ 및 a₀ 는 정수）

의 형태의 3차 방정식을 푸는 것에 성공한 뒤 델·페로의 3차 방정식의 해법도 알아냈다. 타르타리아가 3차 방정식을 풀었다는 소문을 들은 피올은 소문을 믿지 않고 타르타리아에게 계산 승부에서 패배시켜 자신의 명성을 올리려고 하였지만, 델·페로의 3차 방정식의 해법 밖에 몰랐기 때문에 피올은 타르타리아와의 승부에서 지게 된다.

타르탈리아가 3차 방정식의 대수적 해법을 알고 있다고 듣게된 카르다노는 타르탈리아에게 간절히 부탁을 하여 3차 방정식의 해법을 알아냈다. 카르다노는 제자인 로도비코 페라리와 얻은, 일반적인 사차 방정식의 대수적 해법과 아울러, 3차 방정식의 대수적 해법을 출판하고 싶다고 생각했지만, 타르탈리아에게 해법을 비밀에 붙인다고 맹세했기 때문에 출판할 수는 없었다.

거기서, 일찌기 델 페로가 3차방정식의 대수적 해법을 얻었다고 하는 소문을 믿고 페라리와 볼로냐에 가서, 델 페로의 양자인 안니바레 델라 나베를 만나 델 페로의 유고를 보고 그것을 읽은 카르다노는 타르탈리아가 3차방정식을 푼 최초의 사람이 아닌 것을 알았으므로, 타르탈리아와의 약속을 무효화 시켜 1545년에 《아르스 마그나》(Ars Magna)를 출판해, 여러가지 형태의 3차 방정식의 해법을 공표했다.

이에, 3차 방정식의 해법은 “카르다노의 방법”으로도 불리게 되었다. 이 일은 타르탈리아를 격노시켜 논쟁으로 발전했지만, 카르다노는 《아르스 마그나》에서 델 페로와 타르탈리아의 공적에 대해 칭찬하고 있어, 3차 방정식의 해법이 카르다노 자신의 독자적인 방법이라고 속인 것은 아니다. 또한 타르탈리아로부터 해의 도출 방법까지는 묻지 않고 다양한 형태의 3차 방정식에 대한 해를 나타낸 일은 카르다노 자신의 업적이다.

[편집]개요

일반적으로, 일변수의 3차 방정식은

$a_3 x^3 + a_2x^2+a_1x + a_0 = 0 (a_3\ne 0)$

의 형태로 표현된다.현대에서의 3차 방정식의 해법이라고 하면, 주로 대수적 해법의 일을 의미한다.

고대 바빌로니아에서 이미 대수적으로 풀려 있었다고 생각되고 있다. 2차 방정식과 달라, 3차 방정식이 대수적으로 풀린 것은 16세기가 되고 나서이다. 11세기 무렵 원추 곡선에 의한 작도에 의해서 3차 방정식의 근을 기하학적으로 나타냈다 오마르 하이얌도, 3차 방정식을 대수적으로 풀 수 없다고 생각하고 있었다.

3차 방정식의 대수적 해법은 갈루아 이론으로 도달하는 대수방정식론의 시작이며 카르다노의 저서 「아르스 마그나」에 의해서 3차 방정식과 4차 방정식의 대수적 해법을 공표했다. 1545년은 이 공표로 인하여 현대 수학자들에게 수학 시작의 해로 여겨지고 있다.

아직 음수가 수학자들에게 별로 받아 들여지지 않았던 시대이며 모든 계수가 정수이다고 하여 다루어졌기 때문에 예를 들면,

$x^3 = a_1x + a_0$

$x^3 + a_1x = a_0$

의 2개의 3차 방정식은, 모두 2 다음의 항이 없는 3차 방정식이지만, 다른 형태의 방정식으로 여겨졌다.

이와 같이, 음수조차 기피되던 시대에, 3차 방정식의 대수적 해법은 허수를 가져왔다. 3차 방정식의 근이 모두 정수인 경우에 한해서도, 대수적 해법을 고집하는 한 허수를 피하고는 통과할 수 없는 것이다. 허수에 대한 불안은 19세기에 오귀스탱 루이 코시 나 카를 프리드리히 가우스가 활약하게 될 때까지 계속 되었다.

또, 3차 방정식과 4차 방정식의 대수적 해법의 발견을 바탕으로 수학자들은 5차 이상의 일반의 대수방정식의 대수적 해법을 추구했다. 최종적으로, 이 대수적 해법의 존재는 아벨-르피니의 정리에 의해서 부정되지만, 갈루아 이론으로서 결과로 군이나 체 등의, 기본적인 대수적 구조의 개념을 낳았다.

[편집]근과 계수와의 관계

$ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\ne0)$ 의 세 근을 $\alpha, \beta, \gamma$ 라 하면 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$

[편집]카르다노의 해법

일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져있다

$a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$ $(a_3$ ≠ $0)$

을 $a_3$ 로 나누고

$x^3 + A_2 x^2 + A_1 x + A_0 = 0$

의 형태로 만든다 다만 $A_n = \frac{a_n}{a_3}$

$x = y - {A_2 \over 3}$

에 의해서 변수 변환을 실시하면

$y^3 + \left(A_1 - {A_2^2 \over 3}\right) y + \left(A_0 - {1 \over 3} A_1 A_2 +{2 \over 27} A_2^3 \right) = 0$

와 같이 2차항이 사라진 방정식을 얻을 수 있다. 보기 쉽게 일차의 계수를 p, 정수항을 q로 하여서

$y^3 + py + q = 0$

이라고 쓴다. 한층 더

$y = u + v$

라고 두면

$u^3 + v^3 +q+(3uv + p)(u + v) = 0$

여기서

$u^3 + v^3 +q = 0$

$3uv + p = 0$

가 된다. $u$ , $v$ 을 찾으면 거기에서 $y$ 의 값이 구해진다 이 두개의 식으로 부터 $v$ 을 소거하게 되면

$u^6 + q u^3 - \left({p \over 3}\right)^3 = 0$

이 식은 u³ 에 관하여 보게된다면 2차 방정식이므로 공식으로부터

$u^3 = - {q \over 2} \pm \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}$

$u$ 와 $v$ 은 대칭이므로 이 두개의 해의 한쪽을 $u^3$ 에 있으면 다른 한쪽은 $v^3$ 이 된다

각각의 세제곱근의 합으로서

$y = \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}$

이 구해진다 이 해법이 발견된 당시에는 아직 복소수가 알려지지 않았기 때문에 이 방법으로 해를 찾아내었으나, 이후 복소수에 관한 연구가 진행되어 :x³ = a 의 해가 ω 를 1 의 세제곱근으로서

$\sqrt[3]{a}, \omega \sqrt[3]{a}, \omega^2 \sqrt[3]{a}$

의 3개가 있는것이 알려지게 되었고 u 의 세제곱근을 취할 때에도 마찬가지로 3개의 경우를 생각하게 되어서 각각 대응하는 v 를 요구하는 것으로

$y = \omega^k \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{3-k} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}, (k=0,1,2)$

해로서 알려지게 되었다

또한

x³ + y³ + z³ − 3 x y z

= (x + y + z) (x² + y² + z² − z x − x y − y z)

= (x + y + z)(x + ω y + ω² z)(x + ω² y + ω z)

인수분해로도 카르다노의 방법을 설명 할 수 있다

y³ + z³ = q

−3 y z = p

와 두어두면 p, q 로부터 y, z 을 요구하는 것으로

x³ + p x + q

= (x + y + z)(x + ω y + ω² z)(x + ω² y + ω z)

이렇게 되는 3차 방정식을 인수분해로 계산해낼 수 있다. 이 방법은 카르디노의 방법과 같다.

[편집]환원 불능의 경우

카르다노의 공식을 이용하면

x³ + p x + q = 0

이런 3차 방정식은

$\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3 < 0$

이 때의 음수의 제곱근이 나타난다. 이것은 이 방정식의 판별식

D = − (4 p³ + 27 q²) > 0

와 같은 조건이며 3개가 다른 실근을 가지게 되는 조건이다. 실근 밖에 없는 데도 여기에 관련 되지 않고서는 카르다노의 공식에서는 음수의 제곱근을 경유할 필요가 있었다. 카르다노는 음수의 제곱근을 계산에 이용하는 것은 있었지만 그러한 경우는 불가능 하고 도움이 되지 않는 것이라고 생각하고 있었다

라파엘 본베리(Rafael Bombelli)는 이 경우를 자세하게 연구해 1572년에 출판한 「대수학」(Algebra)에 적었다. 형식적인 계산이긴 하지만 당시에는 아직 알려지지 않았다 이 계산은 허수의 계산과 같았다. 본베리는

x³ = 15 x + 4

이런 공식에 x = 4 를 해로 가지는 방정식에 예를 주었다 이 방정식을 카르다노의 공식에서 계산해 보면

$x = \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$

이 되지만 본베리는 이 우변은 오늘날의 공역의 복소수화 라고 생각해 음수의 제곱근 연산 규칙을 준 다음

$\left(2 \pm b \sqrt{-1}\right)^3 = 2 \pm \sqrt{-121}$

로부터 b = 1 을 요구하여 원 방정식이 x = 4 를 해로 가지는 것을 설명했다. 일반적으로는

$\left(a \pm b \sqrt{-1}\right)^3 = 2 \pm \sqrt{-121}$

로부터 a, b 의 두개의 값을 요구하지 않으면 안되지만 이것을 요구하기 위해서는 다른 3차방정식이 나타나기 위해 카르다노는 이 경우를 환원불능(casus irreducibilis)이라고 불렀다. 이 환원 불능의 경우를 회피하기 위해서 여러가지 노력이 이루어졌지만 실은 허수를 피해서 실수의 거듭제곱근과 사칙연산을 유한하게 사용하는 것으로는 해를 찾아내는 것은 불가능 하기 때문에 모두 헛수고로 끝났다.

저작자표시 비영리 동일조건

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이차 방정식

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이차함수 $y = x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ 의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표인 $x = -1$ 과 $x = 2$ 는 $x^2 - x - 2 = 0$ 이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식(Quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. $x$ 에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

$ax^2 + bx + c = 0 , \quad a \ne 0$

와 같고, 여기서 $x$ 는 변수, $a$ 와 $b$ 는 각각 $x^2 , x$ 의 계수라고 하며, $c$ 는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 (실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 i로 표기한다.)이다.)를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이 때의 근을 중근이라고 한다.

[편집]근의 공식

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

$ax^2 + bx + c = 0$ , 단, $a$ , $b$ , $c$ 는 실수이고 $a$ 가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 $x_1$ , $x_2$ 는

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$ 이다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 $D = b^2 - 4ac$ 를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

[편집]근의 공식의 유도

$ax^2+bx+c=0$ 에서, $a$ 는 $0$ 이 아니므로 양변을 $a$ 로 나눌 수 있다.

$\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0$

그런 다음, 상수항을 우변으로 이항하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

$\textstyle x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

좌변을 $x^2+2xy+y^2$ 과 같은 모양으로 만들면, $\scriptstyle \frac{b}{a}x = 2xy$ 이므로 $\scriptstyle y = \frac{b}{2a}$ 가 된다. 양변에 $y^2$ 를 더해주면,

$\textstyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$

가 얻어진다. 여기에서 $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$ 이므로, 좌변은 $\scriptstyle \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ 으로 인수분해된다. 양변을 정리하면

$\textstyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

가 얻어지고, 제곱근을 취하면

$\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

가 얻어진다.

[편집]짝수 공식

이차 방정식에서 일차항의 계수 $b$ 가 짝수인 경우 $\scriptstyle b' = \frac{b}{2}$ 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

$x = \frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a}$

[편집]근과 계수의 관계

근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

[편집]근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명

$ax^2+bx+c=0$ 의 두 근 $\alpha, \beta$ 는 각각

$\alpha=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$

$\beta=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$ 이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

$\alpha + \beta = \frac {-b-b+\sqrt {b^2-4ac\ }-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$

$\alpha + \beta = \frac {-2b}{2a}$

$\therefore \alpha + \beta =-\frac {b}{a}$

$\alpha \beta =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2}$

$\alpha \beta =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2}$

$\alpha \beta =\frac {4ac}{4a^2}$

$\therefore \alpha \beta =\frac {c}{a}$

$\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }+b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right|$

$\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {2\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right|$

$\therefore \left| \alpha - \beta \right| = \frac {\sqrt{b^2-4ac\ }}{\left| a \right|}$

[편집]이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명

$ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 각각 $\alpha, \beta$ 라고 정의하고

$\alpha, \beta$ 을 근으로 갖는 이차방정식을 $(x-\alpha)(x-\beta)=0$ 이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 $k$ 를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

$ax^2+bx+c=0 \iff a(x-\alpha)(x-\beta)=0$

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

먼저 두 번째 이차방정식인 $a(x- \alpha)(x- \beta)=0$ 의 계수를 나누고 전개해주면

$x^2+(- \alpha - \beta)x+\alpha \beta$ - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 $ax^2+bx+c=0$ 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 $ax^2$ 의 계수 $a$ 로 나눠주면

$x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$ - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

$-\alpha - \beta=\frac {b}{a}, -(\alpha + \beta)=\frac {b}{a}$

$\therefore \alpha + \beta = -\frac {b}{a}$

$\therefore \alpha \beta = \frac {c}{a}$

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일차 방정식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

일차 방정식 그래프의 예시

일차 방정식(Linear equation) 또는 선형 방정식은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다.

일차 방정식은 변수가 한 개 이상일 수도 있다. 일차식은 수학 전반에 걸쳐 다양한 방법과 형태로 등장한다. 선형 방정식은 일반적으로 풀기 쉽다. 자연을 모델링하는 많은 비선형 방정식(non-linear equations)은 풀기 어려우므로 이를 근사하기 위해 선형 방정식을 이용하는 경우가 많다.

[편집]변수가 두 개인 일차 방정식

일차 방정식은 일차 함수와 밀접한 연관이 있다. 두 개의 변수를 가진 일차 방정식은 실질적으로 일차 함수가 된다. 또한 이것은 좌표평면에서 직선이 되므로 직선의 기하학적 성질과 연관이 있으므로 직선의 방정식이라고도 부른다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.

$y = mx + b$

동류항 정리를 한 이후에는 각 변수들은 다른 변수들과의 곱으로 나타내면 안되고, 각 변수도 1 이외의 다른 지수를 가져서는 안 된다. 예를 들어 $xy, x^2, y^{1/3}, \sin(x)$ 와 같은 항들이 있어서는 안 되며, 이러한 항들은 비선형항이 된다.

[편집]좌표평면 위에 그리기

좌표평면은 기하학적 정보와 대수적 정보 사이의 변환을 제공해주는 도구이므로, 직선을 결정짓는 기하학적인 정보를 활용하여 직선을 표현하는 방정식을 만드는 다양한 방법이 중학 교과과정에 잘 나와있다.

[편집]일반적 형태

직선의 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

$Ax + By + C = 0$

여기서 $A$ 와 $B$ 는 동시에 영이 되면 안 된다.

[편집]y 절편과 기울기가 주어진 경우

기울기(gradiant) $m$ 과 y 절편(y-intercept) $b$ 가 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

$y = mx + b$

[편집]한 점과 기울기가 주어진 경우

기울기(gradient) $m$ 과 한 점 $(x_1 , y_1 )$ 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

$y - y_1 = m(x - x_1 )$

[편집]두 점이 주어진 경우

서로 다른 두 점 $(x_1 , y_1 ), (x_2 , y_2 )$ 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

$(x_2 - x_1 )(y - y_1 ) = (y_2 - y_1 )(x - x_1 )$

이 때, $x_2 \ne x_1$ 이라면 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.

$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1 )$

[편집]두 절편이 주어진 경우

x 절편 $a$ 와 y 절편 $b$ 가 주어진 경우 직선의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 모두 영이 아니어야 한다. 이 경우는 일반적인 직선의 방정식 형태에서 $A = 1/a, B = 1/b, C = 1$ 을 대입한 형태와 같다.

[편집]매개변수 형태

직선위의 모든 점은 모든 실수 값에 대응된다. 그러므로 실수범위에서 변하는 하나의 변수로서 직선을 표현하는 것이 가능하다.

$x = T t + U, \; y = V t + W$

위와 같이 연립 방정식을 이용하여 매개변수 형태(Parametric form)로 표현할 수도 있다. 물론 $T, U, V, W$ 는 모두 고정된 상수값이고, $t$ 의 값이 변하면서 그에 상응하는 $x, y$ 값이 변화한다. 이 경우 기울기는 $\frac{V}{T}$ 가 되고, x 절편은 $\frac{V U - W T}{V}$ , y 절편은 $\frac{W T - V U}{T}$ 가 된다.

[편집]극좌표 형태

직교 좌표와 극좌표는 모두 평면위의 점을 표현하는 방법이다. 따라서 직선을 극좌표형식(Polar Form)으로 표현할 수도 있다.

$r=\frac{mr\cos\theta+b}{\sin\theta}$

이때 $m$ 은 기울기가 되고 $b$ 는 y 절편이 된다. $\theta$ 가 영이 되면 안 된다.

[편집]두 개 이상의 변수를 가진 일차 방정식

이 부분의 본문은 일차연립방정식입니다.

일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. 일반적으로 $n$ 개의 변수를 가지고 있다면 다음과 같이 표현된다.

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.$

여기서 $a_1, .... a_n$ 은 상수이고 $x_1, .... x_n$ 은 변수가 된다. 이러한 방정식은 $n$ 차원 유클리드 공간에서 $n - 1$ 차원 초평면(hyperplane)을 이루게 된다.

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출처 : 지식인

lim t->무한대 로 갈때 T(t) = 100 + e^-100t

라고 하면 T(t)=100 를 만족하는 유한한 시간은 무한대로 가도 만족하지 못하기 때문에

유한확정 t 의 값은 존재하지 않는다

수학용어 "유한확정" 무슨말입니까?

free1a: 2004.06.03 19:14

답변: 2
조회: 707

미적분 공부하다보니까 이말이 나와서..궁금함

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질문자 채택된 경우, 추가 답변 등록이 불가합니다.

re: 수학용어

onwriting: 답변채택률 77.1%; 2004.06.03 19:48

질문자 인사

dddddddd

(-1)^n 을 보세요.
n = 1,2,3,4,... 가 될때
-1,1,-1,1, 을 번갈아가면서 가지게 되요. , 1,-1 은 유한한 값이지만 확정된 값은 아니죠?

(-2)^n 을 보세요. n 이 커질때 짝수일때는 양수이고 홀수일때는 음수이죠?
그리고 계속 커지니까 n 이 무한대로 가면 양의 무한대 이거나 음의 무한대에요.
이 경우는 유한하지도 않고 확정된 값도 아니죠?

1/n 같은 경우는 n 이 무한대로 가면 0 으로 가요. 즉, 유한하면서도 확정된 값을 가지죠.

: 직접

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그 외 1개의 답변이 있습니다.

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re: 수학용어

stforevery: 답변채택률 76.5%; 2004.06.04 13:26

유한확정값이란 변하지 않는 정해진 실수값을 의미합니다.

예를 들어 함수 또는 수열의 극한이 존재하는 경우

그 극한값 유일한 유한확정값이겠지요.

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성장률 [growth rate, 成長率]

단위시간당 체중(W)의 변화율.

t 에 의한 변화율임으로

dGrowth/dt

로도 활용 가능

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강의 하나로 잘 정의된 지수법칙

자연수,정수 까지는 밑에 상관없이 지수법칙 쓸 수 있다

( 대부분 연산에선 정수범위까지를 많이 사용한다 )

유리수 부터 밑은 양수이어야 한다

양수가 아니면 a^m * a^n 연산을 지수가 1/2 일때 사용하면 엉뚱한 연산이 나온다

ebsi 사이트에서

검색 키워드는 '심주석 제곱근'

제곱근이해안되면와
|12:47~12:47 |등록일 : 11.06.11

강좌명(강의명) : [2011 수능특강] 심주석의 수학I - 10강 지수 |심주석 선생님

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http://blog.naver.com/mose1204/110091155911

10-가 공부를 하다 흥비로운 부분이 있어 소개하고자 한다.

진분수식을 부분분수의 합으로 나타내는 방법인데 2개로 나누어서 설명하려 한다.

먼저 정리 2개를 먼저 보자.

말 그대로 모든 진분수식은 부분분수의 합으로 나타내질 수 있다는 말이다.( 증명은 복잡해 생략한다.)

이것이 무슨말인지 예제를 통해 알아보자.

예제1)

다음 유리식을 부분분수로 분해하여라.

풀이)

어느 정도 이해가 되었을 것이라 생각하고 Heaviside의 cover-up 방법을 설명하겠다.

[출처] 부분분수로의 분해 (1)|작성자 카샨

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http://www.pandora.tv/category.ptv/video/category/c1/05/c2/0067/ch_userid/sagye/prgid/40802412

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출처 : 어느 과학 사이트에서..;

파스칼의 삼각형 Pascal's triangle
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(a+b)을 전개하면, n=0일 때 (a+b)=1, n=1일 때 (a+b)=a+b, n=2일 때 (a+b)=a+2ab+b, …가 된다.

이들 전개한 식의 계수를 다음과 같이 삼각형으로 늘어놓은 것을 파스칼의 삼각형이라 한다.

파스칼의 삼각형에서 양끝의 1을 제외한 각 수는 오른쪽 위의 수와 왼쪽 위의 수의 합으로 되어 있다.

이 사실은 2항 계수의 성질 =+(1rn-1)에 의해 확인할 수 있다.

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http://passionvirus.blog.me/80107165662

(삼각 함수의 파형)

(삼각 함수의 특수각)

(삼각 함수의 상호 관계)

(삼각 함수의 피타고라스 정리)

(삼각 함수의 곱의 관계)

(삼각 함수의 나눗셈의 관계)

(삼각 함수의 지수 형식 표현)

(삼각 함수의 각도에 대한 합과 차의 관계)

(삼각 함수의 배각 공식)

(삼각 함수의 반각 공식)

(삼각 함수의 지수 공식)

(삼각 함수의 합의 공식)

(삼각 함수의 곱의 공식)

[출처] [수학] 삼각 함수 공식|작성자 표윤석

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http://blog.naver.com/dhhansh?Redirect=Log&logNo=100064531529

강의 끝부분에 특수각에 해당하는 세타에 대한 삼각함수의 값을 효과적으로 뽑아낼 수 있는

방법이 쉽고 유용하게 나와있다.

삼각방정식 sin(x)=0.5 의 해는 30도라고 ?

30도가 여러 해중 하나니까 30도라고 하면 모든 해를 다 말했다고는 볼 수 없지.

즉, 일반해를 썼다고 볼 수 없다는 얘기야.

그럼 sin, cos, tan의 일반해는 어떻게 표현해야 할까 ?

[출처] 삼각방정식의 일반해|작성자 자유천사

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출처 모름

수2 최대 최소의 정리에서

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

라는 데요

꼭 폐구간에서만 최대값과 최솟값을 가지나요??개구간에서는 못가지나요?

또 상수함수에서는 최대값과 최솟값이 똑같은데 그것도 최대값과 최솟값이라고 하나요ㅜㅜ?

제발 자세하게 설명 부탁드립니다...

re: 최대 최소의 정리에서

고2 수2 최대 최소의 정리에서

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

라는 데요

꼭 폐구간에서만 최대값과 최솟값을 가지나요??개구간에서는 못가지나요?

개구간에서도 최대, 최솟값을 가질 수 있습니다.

하지만 단조증가 또는 감소의 함수의 그래프를 생각하면 구간의 양끝값이 최대, 최솟값이 됩니다.

따라서 폐구간일 때는 무조건 적으로 최대 최솟값이 존재한다는 뜻입니다.

예를 들면 그림과 같습니다.

왼쪽의 그림은 개구간이지만 최대 최솟값이 존재하는 경우 오른쪽 그림의 경우는 개구간에서

단조 증가하는 함수의 경우는 구간의 양끝값이 최대, 최소값이기 때문에

개구간에서는 최대, 최소의 정리가 반드시 성립하지 않습니다.

또 상수함수에서는 최대값과 최솟값이 똑같은데 그것도 최대값과 최솟값이라고 하나요ㅜㅜ?

맞습니다.

최대, 최솟값은 같을 수 있습니다.

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http://www.mathteacher.pe.kr/

(1) 역수관계

① secθ=

② cscθ=

③ cotθ=

(2) 나눗셈 관계

① tanθ=

② cotθ=

(3) 제곱관계

① sin²θ+cos²θ=1

② 1+tan²θ=sec²θ

③ 1+cot²θ=csc²θ

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출처 : 위키

사함수+단사함수 인 함수

전사함수(위로의 함수) : 치역과 공역이 같은 함수

역함수의 조건은 전사함수 이어야 한다

전단사함수

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

이동: 둘러보기, 찾기

전단사함수

수학에서 전단사함수(全單射函數, bijection)는 집합 X에서 Y로의 함수 f 중에서 모든 y에 대해 f(x)=y를 만족하는 x가 하나만 있는 함수를 말한다. 일대일 대응이라고도 한다.

같이 보기 [편집]

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ln|x| 미분하면 왜 1/|x| 가 아닌 1/x죠?

첫번째 질문 1/|x| 라고 써도 되나요?

두번째 질문 왜 1/x라고 써도 무방하나요?

답변

범위를 나눠서 생각해 보세요.

1. x>0

2. x<0

결론적으로 같습니다.

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미분소

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이동: 둘러보기, 찾기

미분소는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 무한소 값으로, $d x$ 와 같이 나타낸다. 보통 함수의 작은 변화값을 나타내는 기호로는 Δx, δx 등이 사용되지만, dx는 무한히 작은 값을 의미한다.

예를 들어, y가 x에 대한 함수일 때, x의 변화량 dx에 대한 y의 변화량 dy는 다음과 같다.

$\mathrm d y = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \mathrm d x$

여기에서 dy/dx는 y를 x로 미분한 도함수로, dy를 dx로 나눈 값과 같다. 즉, Δx가 무한히 작은 경우 Δy/Δx는 y의 도함수가 된다.

미분소를 수학적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이때 미분소는 일반적인 실수 범위의 수는 아니며, 선형 변환, 비표준 해석학, 닐포텐트(nilpotent) 등의 방법으로 정의할 수 있다.

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요점은, 같은 식에 대한 부정적분후 나오는 상수들은 적분상수 C 로 취급한다.

http://kin.naver.com/open100/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=1299975&qb=67aA7KCV7KCB67aEIOyDgeyImOywqOydtA==&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0&pid=gRDhiloi5TGsstAaa7dsss--094274&sid=TUlXpXIeSU0AAGEKnLM

부정적분 : 적분상수의 역습 - " 제목만 거창하게 잡아보았습니다 ^^"

- 적분상수의 차이가 부정적분의 결과를 다르게 가져올 수 있으나, 사실 같은 것 이다

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

예전부터 생각하고 있던 것이었는데 몇시간전에 지식인에 같은 내용의 질문을 하는 분이 계셔서

(사실 다른분께 선수당해서 답변을 달지 못했습니다 ㅠㅠㅠㅠ)

오픈백과에 올려봅니다..

이 내용이 생소하신 분들이면 유익한 정보가 되었으면하고,

이미 아시는 분들을 다시한번 확인하는 기회가 되었으면 합니다

감사합니다

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http://blog.naver.com/kor31/80013538918

f(x)/g(x) 일때

f'(x)/g'(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)/g^2(x)

f'(x) f'(x)g(x) - f(x)g'(x)

----- = ---------------------

g'(x) g^2(x)

[출처] 분수함수 미분 공식|작성자 막걸리

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http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC

먼저 정리를 하자면 0/0, ∞/∞ 꼴에서 로피탈의 정리 사용이 가능한데

$&#-0; \lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)} = \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} &#-0;$

에서 g(x)≠0 이어야 하고 f', g' 후에도 f'(x)/g'(x) 에 극한값이 존재 해야 한다

그러나 한번 미분 후 0/0, ∞/∞ 꼴이 반복된다면 이러한 꼴이 나타나지 않을때까지

계속 반복을 해주어 극한값을 찾아낸다

$&#-0; \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = A, A \in \mathbb{R}^*&#-0;$
의 값 A가 확장된 실수상에서 존재하면, 아래의 극한값은 A와 같다.
$&#-0; \lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)} = \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} &#-0;$

[but]
복소함수에의 적용 불가
무한대 근처에서의 진동할 때의 적용 불가

로피탈의 정리(l'Hôpital's rule, 또는 l'Hospital's rule)은 해석학 및 미적분학에서 사용되는 함수의 극한에 관한 정리의 하나이다. 함수의 도함수를 사용하여, 부정형(不定形)의 극한값을 계산하는 데 이용된다.

이 정리의 이름은 17세기에 활동하였던 프랑스의 수학자이자 후작인 기욤 드 로피탈(Guillaume de l'Hôpital)의 이름에서 유래되었다. 로피탈은 그의 저서인 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes)에서 이 정리를 소개하였다.

이 정리는 베르누이의 규칙(Bernoulli's rule)이라는 이름으로 불리기도 한다.^[1]

엄밀한 표현 [편집]

확장된 실수 $\mathbb{R}^*$ 상의 구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능한 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 가 있다. $c \in \mathbb{R}^*$ 라 하고, 이때 아래의 함수 $f$ , $g$ 의 c로의 극한의 값이 0이거나

$\lim_{x \rightarrow c} f(x) = \lim_{x \rightarrow c} g(x) = 0$

모두 발산하고

$\lim_{x\to c}{|f(x)|} = \lim_{x\to c}{|g(x)|} = \infty$

아래의 극한

$&#-0; \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = A, A \in \mathbb{R}^*&#-0;$

의 값 A가 확장된 실수상에서 존재하면, 아래의 극한값은 A와 같다.

$&#-0; \lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)} = \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} &#-0;$

예제 [편집]

좀 더 기술적인 계산에 대해서는 en:L'Hôpital's rule#Examples 문서를 참고하십시오.

예를 들어, $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$ 의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1$

극한 존재의 필요성 [편집]

다음 극한이 존재한다는 조건이 필수적이다.

$&#-0; \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = L&#-0;$

미분된 함수의 극한이 존재하지 않을 경우 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어, $f(x) = x + \sin x, \;g(x) = x$ 일 경우,

$\lim_{x\to \infty} {f'(x) \over g'(x)} = \lim_{x\to \infty} {{1 + \cos x} \over 1}$

의 값은 존재하지 않지만, 다음 극한은 존재한다.

$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right) = 1$

복소함수에의 적용 불가

무한대 근처에서의 진동할 때의 적용 불가

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함수의 극한

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미적분학

[보이기]미분

[보이기]적분

[보이기]벡터 미적분학

v • d • e • h

$x$ 에 대한 함수 $f (x)$ 에서, $x$ 가 어떤 값 $a$ 에 한없이 가까워지면 $f (x)$ 도 어떤 값 $c$ 에 한없이 가까워질 때 $f (x)$ 가 $c$ 에 수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,

$x\,\to\,a$ 가 된다. 예를 들어,

f (x)

가 $x \ge 0$ 일 때 1,

x < 0

일 때 0을 가지는 함수라면 $\lim_{x \to 0-0}f(x) = 0$ , $\lim_{x \to 0+0}f(x) = 1$ 이 된다.

0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

발산 [편집]

극한이 존재하지 않는 경우를 발산한다고 한다. 이때 함수값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다.

예를 들어, $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 의 경우 $x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 $f (x)$ 는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다.

수학적 정의 [편집]

함수의 극한은 일반적으로 엡실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의한다.

모든 양의 실수 $ε$ 에 대해, 어떠한 실수 $δ$ 가 존재하여 $0 < | x - p | < δ$ 일 때 항상 $| f (x) - c | < ε$ 가 성립하면, 이때의 극한값은

$\lim_{x \to p}f(x) = c$

로 정의한다.

좌극한과 우극한도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 $δ$ 에 대한 조건이 $0 < | x - p | < δ$ 대신, 좌극한의 경우 $0 < p - x < δ$ , 우극한의 경우 $0 < x - p < δ$ 가 된다.

===

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L \, : \ x$ 가 양의 무한대로 커질 때 $f(x)\,$ 는 $L\,$ 에 가까워진다.

$x$ 가 어떠한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 극한값을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 $ε$ 에 대해, 어떠한 실수 $S$ 가 존재하여 $x > S$ (양의 무한대) 또는 $x < S$ (음의 무한대)일 때 항상 $| f (x) - c | < ε$ 가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.

양의 무한대: $\lim_{x \to \infty}f(x) = c$
음의 무한대: $\lim_{x \to -\infty}f(x) = c$

성질 [편집]

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 지닌다.

$\lim_{x \to a}f(x) = \alpha ,\, \lim_{x \to a}g(x) = \beta$ 일 때 :

$\lim_{x \to a}\left\{ f(x) + g(x) \right\} = \alpha + \beta$
$\lim_{x \to a}\left\{ f(x) - g(x) \right\} = \alpha - \beta$
$\lim_{x \to a}kf(x) = k\alpha$ ( $k$ 는 상수)
$\lim_{x \to a}\left\{ f(x)g(x) \right\} = \alpha\beta$
$\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\beta}{\alpha}$ (단, $g(x) \ne 0, \beta \ne 0$ )

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http://blog.naver.com/dhhansh/100067531431

핵심부분 캡쳐

y = ( 1 + 1/x ) 의 x 제곱 이란 함수 많이 봤던 함수지 ?

이 함수의 무한대로의 극한이 자연 대수 e 란 것 알지 ?

모르면 이과생 아니야.

근데 이 함수의 그래프는 그릴 수 있나 ?

그래프 그리는 것이 쉽진 않을 거야.

그래도 워낙 유명한 식이니 어떻게 생겼을까 한번쯤 고민은 해봤겠지 ?

위 동영상의 5분 20초에 나오는 설명을 수정해야 할 거 같아요.

a의 b제곱이 실존하는 숫자가 아니라는 예를 들기위해 b=(-1/2)를 썼는데 이럴경우, 허수가 되어 실존하는 수는 아니지만, 허수라는 의미는 있는 수가 되어버렸군요. 아예 의미가 없는 수가 되도록(즉, 지수법칙이 무색하도록) b=(-2/4)를 사용할 걸 하는 후회가 듭니다.

아래 댓글중 수학사랑님의 댓글(2012.4.11)을 참고해주세요. 수학 사랑님의 조언에 감사드립니다.

[출처] 자연대수 e와 그래프 그리기|작성자 자유천사

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이차 함수

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이차 함수(Quadratic function)는 함수의 최고차항의 차수가 2인 함수를 말한다. 이차 함수의 일반형은 다음과 같다.

$y\,=ax^2+bx+c$ (단, $a \ne 0$ )

또한 다음과 같은 형태를 이차 함수의 표준형이라 한다.

$y\,=a(x-p)^2+q$ (단, $a \ne 0$ )

x절편을 보다 쉽게 알아보기 위해서 다음과 같은 형태를 사용하기도 한다.

$y\,=a(x-\alpha)(x-\beta)$ (단, $a \ne 0$ )

그래프 [편집]

$f(x) = x^2 - x - 2\,\!$

이차 함수 $y = a x 2 + b x + c$ 의 그래프는 포물선 형태이다.

최고차항 [편집]

이차 함수의 개형은 최고차항 a의 부호에 따라 다음과 같이 나눠진다.

a>0 일 때 아래로 볼록 (위로 오목)
a<0 일 때 위로 볼록 (아래로 오목)

판별식 [편집]

이차 방정식#근의 공식 문서를 참고하십시오.

이차 방정식 $a x 2 + b x + c = 0$ 의 해는 이차 함수 $y = a x 2 + b x + c$ 의 x절편이다. 따라서, 판별식 $D\,=b^2-4ac$ 의 값에 따라 x절편의 개수를 구할 수 있다.

D>0 일 때, 이차함수는 x축과 두 점에서 만난다.
D=0 일 때, 이차함수는 x축과 한 점에서 만나고, 접한다고 표현한다.
D<0 일 때, 이차함수는 x축과 만나지 않는다.

y절편 [편집]

이차 함수 $y = a x 2 + b x + c$ 에서 x에 0을 대입하면 y=c가 된다. 따라서 이차 함수의 y절편의 좌표는 (0,c) 이다.

축 [편집]

이차함수 $y = a (x - p) 2 + q$ 에서 $x = p + h$ 와 $x = p - h$ 를 각각 대입하면 $y = a h 2 + q$ 로 값이 같다. 따라서, 이차함수는 직선 $x\,=p$ 에 대해 대칭이고, 이 직선을 축이라고 한다. 이차함수의 일반형에서 축의 방정식은 다음과 같다.

$x\,=-\frac{b}{2a}$

이차함수의 두 x절편을 알 때, 다음과 같이 구할 수 있다.

$x\,=\frac{\alpha+\beta}{2}$

꼭짓점 [편집]

이차함수와 축의 방정식의 교점을 꼭지점이라 하고 이차함수는 최고차항a의 부호에 따라 꼭지점에서 최대값 혹은 최소값을 갖는다.

아래로 볼록(a>0)일 때, 이차함수는 꼭짓점에서 최소값을 갖는다.
위로 볼록(a<0)일 때, 이차함수는 꼭짓점에서 최대값을 갖는다.

이차함수가 표준형과 일반형으로 주어졌을 경우 각각의 꼭짓점의 좌표는 다음과 같다.

표준형으로 주어졌을 경우

$(p\,,q)$

일반형으로 주어졌을 경우

$(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$

그래프의 꼭짓점과 X절편으로 이루어진 삼각형 [편집]

이차함수 $y = a (x - p) 2 + q$ 에서 꼭짓점을 A, x절편들을 각각 B, C라고 할 때, △ABC의 넓이 $S=\sqrt {-q\over a}$ × $q$ 가 성립한다.

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http://blog.naver.com/undergrd/140041306107

꼭지점의 좌표가 (h, k)이고, 대칭축이 x = h(수직) 인 포물선의 방정식은

y = a( x - h )² + k

a가 양수 이면, 위쪽으로 열린 모양 ( ∪ )

a가 음수 이면, 아래쪽으로 열린 모양 ( ∩ )

꼭지점의 좌표가 (h, k)이고, 대칭축이 y = k(수평) 인 포물선의 방정식은

x = a( y - k )² + h

a가 양수 이면, 오른쪽으로 열린 모양 ( ⊂ )

a가 음수 이면, 왼쪽으로 열린 모양 ( ⊃ )

공통 : a가 0에 가까워질수록 포물선은 더 넓게 퍼진다.

[출처] 포물선의 방정식|작성자 Hunslab

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일차 함수

일차 함수 그래프의 예시

일차 함수(一次函數)는 최고차항의 차수가 1인 함수를 뜻한다. 모든 일차 함수는 $f (x) = a x + b$ (단, a, b는 상수)의 꼴로 나타낼 수 있으며, $a$ 를 기울기라 한다.

특징

일차 함수 $f (x) = a x + b$ 는 다음과 같은 특징을 갖는다.

일대일 대응이다.

도함수가 $f'(x) = a$ , 즉 상수함수이다.

b=0일 경우, 즉, $f (x) = a x$ 일 경우 정비례라 한다.

일차함수의 그래프는 직선으로 나타난다.

직선의 방정식 [편집]

y축과 평행하지 않은 직선은 일차식

y = a x + b

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $a$ 를 직선의 기울기라고 한다.

일반적인 직선의 방정식은 $a x + b y + c = 0$ 으로 나타낼 수 있으며, y축과 평행한 직선까지 나타낼 수 있다.

여러가지 직선의 방정식 [편집]

x축의 방정식은 $y = 0$

y축의 방정식은 $x = 0$

x축에 평행한 직선의 방정식은 $y = k$ (단, k≠0)

y축에 평행한 직선의 방정식은 $x = k$ (단, k≠0)

$(x 1, y 1)$ 을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 $y - y 1 = m (x - x 1)$

$(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2)$ 을 지나는 직선의 방정식은 $y-y_1 =\frac{y_2 -y_1 }{x_2 -x_1 }(x-x_1 )$

x절편이 $α$ , y절편이 $β$ 인 직선의 방정식은 $\frac{x}{\alpha} +\frac{y}{\beta} =1$

이차 곡선의 접선의 방정식 [편집]

원 $x 2 + y 2 = r 2$ 위의 점 $(x 1, y 1)$ 에서의 접선의 방정식은 $x 1 x + y 1 y = r 2$

원 $x 2 + y 2 = r 2$ 의 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y=mx \pm r \sqrt {m^2 +1}$

한 그래프의 특징 [편집]

직선은 $y = a x + b$ 는 다음과 같은 특징을 갖는다.

x절편은 $\textstyle x = -\frac{b}{a}$ , y절편은 $b$ 이다.

$a \not= 0$ 일 때, x축과 한 점에서 만난다.

두 그래프의 특징 [편집]

일차 함수 $y = a x + b$ , $y = a' x + b'$ 의 그래프는 다음과 같은 특징을 갖는다.

$a = a'$ , $b = b'$ 일 때 두 그래프는 일치한다.

$a = a'$ , $b \not= b'$ 일 때 두 그래프는 평행하다.

$a a' = - 1$ 일 때 두 그래프는 수직이다.

변수가 두 개인 일차 방정식 [편집]

일차 방정식은 일차 함수와 밀접한 연관이 있다. 두 개의 변수를 가진 일차 방정식은 실질적으로 일차 함수가 된다. 또한 이것은 좌표평면에서 직선이 되므로 직선의 기하학적 성질과 연관이 있으므로 직선의 방정식이라고도 부른다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.

y = m x + b

동류항 정리를 한 이후에는 각 변수들은 다른 변수들과의 곱으로 나타내면 안되고, 각 변수도 1 이외의 다른 지수를 가져서는 안 된다. 예를 들어 $x y, x 2, y 1 / 3,sin(x)$ 와 같은 항들이 있어서는 안 되며, 이러한 항들은 비선형항이 된다.

좌표평면 위에 그리기 [편집]

좌표평면은 기하학적 정보와 대수적 정보 사이의 변환을 제공해주는 도구이므로, 직선을 결정짓는 기하학적인 정보를 활용하여 직선을 표현하는 방정식을 만드는 다양한 방법이 중학 교과과정에 잘 나와있다.

일반적 형태 [편집]

직선의 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

A x + B y + C = 0

여기서 $A$ 와 $B$ 는 동시에 영이 되면 안 된다.

y 절편과 기울기가 주어진 경우 [편집]

기울기(gradiant) $m$ 과 y 절편(y-intercept) $b$ 가 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

y = m x + b

한 점과 기울기가 주어진 경우 [편집]

기울기(gradiant) $m$ 과 한 점 $(x 1, y 1)$ 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

y - y 1 = m (x - x 1)

두 점이 주어진 경우 [편집]

서로 다른 두 점 $(x 1, y 1),(x 2, y 2)$ 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

(x 2 - x 1)(y - y 1) = (y 2 - y 1)(x - x 1)

이 때, $x_2 \ne x_1$ 이라면 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.

$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1 )$

두 절편이 주어진 경우 [편집]

x 절편 $a$ 와 y 절편 $b$ 가 주어진 경우 직선의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 모두 영이 아니어야 한다. 이 경우는 일반적인 직선의 방정식 형태에서 $A = 1 / a, B = 1 / b, C = 1$ 을 대입한 형태와 같다.

매개변수 형태 [편집]

직선위의 모든 점은 모든 실수 값에 대응된다. 그러므로 실수범위에서 변하는 하나의 변수로서 직선을 표현하는 것이 가능하다.

$x = T t + U, \; y = V t + W$

위와 같이 연립 방정식을 이용하여 매개변수 형태(Parametric form)로 표현할 수도 있다. 물론 $T, U, V, W$ 는 모두 고정된 상수값이고, $t$ 의 값이 변하면서 그에 상응하는 $x, y$ 값이 변화한다. 이 경우 기울기는 $\frac{V}{T}$ 가 되고, x 절편은 $\frac{V U - W T}{V}$ , y 절편은 $\frac{W T - V U}{T}$ 가 된다.

극좌표 형태 [편집]

직교 좌표와 극좌표는 모두 평면위의 점을 표현하는 방법이다. 따라서 직선을 극좌표형식(Polar Form)으로 표현할 수도 있다.

$r=\frac{mr\cos\theta+b}{\sin\theta}$

이때 $m$ 은 기울기가 되고 $b$ 는 y 절편이 된다. $θ$ 가 영이 되면 안 된다.

두 개 이상의 변수를 가진 일차 방정식 [편집]

이 부분의 본문은 일차연립방정식입니다.

일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. 일반적으로 $n$ 개의 변수를 가지고 있다면 다음과 같이 표현된다.

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.$

여기서 $a 1,.... a n$ 은 상수이고 $x 1,.... x n$ 은 변수가 된다. 이러한 방정식은 $n$ 차원 유클리드 공간에서 $n - 1$ 차원 초평면(hyperplane)을 이루게 된다.

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양함수와 음함수의 예 [편집]

몇 가지 예를 통해 음함수와 양함수를 쉽게 이해할 수 있다.

일차함수 [편집]

다음 함수는 음함수이다.

2 x - y - 1 = 0

이 식을 $y$ 에 대해 정리하면 양함수가 된다. 즉,

y = 2 x - 1

기본적으로 음함수로 표현된 모든 일차함수는 양함수로 표현가능하다.

원의 방정식 [편집]

다음 식은 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 표현한다.

x 2 + y 2 = 1

이것은 음함수이다. 그러나 하나의 독립변수에 대해 두 개의 종속변수가 할당되므로 이 식은 함수가 아니다. 본질적으로 이 식은 다음 두 개의 양함수를 합친 것이다.

$y = \pm\sqrt{1-x^2}$

이런 의미에서 일종의 함수로서 취급할 수 있고, 따라서 그 미분도 구할 수 있다.

역함수 [편집]

주어진 양함수의 역함수를 구하기 위해 독립변수와 종속변수를 바꾸면 즉시 음함수가 된다. 즉,

y = f (x)

이 함수는 양함수이지만, 그 역함수를 구하기 위해 독립변수와 종속변수를 바꾼 다음 식은 음함수가 된다.

x = f (y)

이 식을 양함수로 바꿀 수 있다면 다음과 같이 표현될 것이다.

y = f - 1 (x)

음함수의 미분 [편집]

미적분학에서, 음함수의 미분(Implicit differentiation)이란, 연쇄법칙(Chain rule)을 이용한 미분법을 말한다. 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 미분한 다음, $d y / d x$ 를 계산한다. 이 결과는 양함수로 바꾼 후에 통상적인 미분을 시행한 결과와 같지만 계산이 수월하다는 장점이 있다. 그러나 경우에 따라 양함수로 먼저 바꾸는 쪽이 더 쉬운 경우도 있다.

예 1 : 일차함수 [편집]

다음과 같은 음함수를 미분하려고 한다.

y + 2 x = - 4

이를 양함수로 바꾸어 미분하면 다음과 같다.

$\frac{dy}{dx} = -2$

이번에는 주어진 음함수에 대해 그대로 양변을 미분해보자.

$\frac{dy}{dx} + \frac{d(2x)}{dx} = \frac{d(-4)}{dx}$

간단한 미적분학의 지식을 통해 다음과 같이 됨을 알 수 있다.

$\frac{dy}{dx} + 2 = 0$

그리하여 양함수를 미분했을 때와 동일한 결과를 얻게 된다.

예 2 : 원의 방정식 [편집]

단위원의 방정식이 주어져 있다.

x 2 + y 2 = 1

양변을 미분하여 다음을 얻는다.

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$y 2$ 을 미분할 때 연쇄법칙(Chain rule)을 이용하였다. 또는 합성함수의 미분이라고 생각해도 좋다. 그래서 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

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출처 :

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=56893270&qb=7ZWo7IiYIOyXre2VqOyImCDsl63siJg=&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0&pid=gRikisoi5TCssbJx6VZsss--215121&sid=TUYp9jYnRk0AABcsBhQ

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=110403&docId=103969769&qb=7ZWo7IiY7J2YIOygnOqzsQ==&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0&pid=gRiOXwoi5Uhssa89L5Vsss--362262&sid=TUYp9jYnRk0AABcsBhQ

일반함수일때는

역함수는 f^-1(x) 이렇게 쓰고 역수는 f(x)^-1 이렇게 쓰기때문에

구별이 가도..

삼각함수 있때는 원래

Sin^n(x)이렇게 쓰잖아요.. 그럼 역함수 와 그냥 역수 일때 구별할수 없을것

같은데 예를 들면

1/Sin(x) 과 사인의 역함수와 어덯게 구별하나요..

삼각함수의 역함수는 sin-¹(x) 라고 쓰구요.

삼각함수의 역수는 (sin(x))-¹ 라고 써요.

ex)

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http://www.mathteacher.pe.kr/mt_02/mt08_05.htm

5. 합성함수와 그 성질
　

함수 f : X → Y, g : Z → W 에 대하여 f(X)⊂Z 이 성립하면 X 에서 W 로의 함수가 정의된다. 이 때의 함수를 f와 g의 합성함수라고 하고 기호 gof 라고 나타낸다.
합성함수의 성질
   ㉠ gof≠fog
   ㉡ ho(gof)=(hog)of=hogof

Problem 8-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.
f(x)=3x-2, g(x)=x²+1일 때 다음을 구하시오.

(1) (gof)(x)      (2) (fog)(x)
(답) (1) (gof)(x)=9x²-12x+5 (2) (fog)(x)=3x²+1　

(1) (gof)(x)=g(f(x))={g(x)}²+1=(3x-2)²+1=9x²-12x+5

(2) (fog)(x)=f(g(x))=3g(x)-2=3(x²+1)-2=3x²+1

f(x)=2x+1, g(x)=x-3 일 때 foh=g 를 만족하는 함수 h 를 구하시오.
(답) h(x)=x-2

fog=h 이므로 모든 x 에 대하여 (foh)(x)=g(x)
(foh)(x)=f(h(x))=2h(x)+1이므로
2h(x)+1=x-3 에서 h(x)=x-2

f()=3x+2일 때 f()를 구하시오.
(답) -4x+1　

f()=3x+2 ^...① 에서 =X 라고 하면 x=2X-1
①에 대입하면 f(X)=3(2X-1)+2=6X-1

∴ f()=6()-1=2(1-2x)-1=-4x+1

f : R → R, f(x)=ax (a≠0)일 때 함수 fof 가 항등함수 I 가 되도록 a 를 정하시오.
(답) a=±1

(fof)(x)=f(f(x))=af(x)=a²x
항등함수 I 는 모든 x 에 대하여I(x)=x 이므로

a²x=x 에서 a²=1 ∴ a=±1

　
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목차

발산 [편집]

수학적 정의 [편집]

성질 [편집]

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이차 함수

최고차항 [편집]

판별식 [편집]

y절편 [편집]