양함수와 음함수의 미분

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양함수와 음함수의 예 [편집]

몇 가지 예를 통해 음함수와 양함수를 쉽게 이해할 수 있다.

일차함수 [편집]

다음 함수는 음함수이다.

2x − y − 1 = 0

이 식을 y에 대해 정리하면 양함수가 된다. 즉,

y = 2x − 1

기본적으로 음함수로 표현된 모든 일차함수는 양함수로 표현가능하다.

원의 방정식 [편집]

다음 식은 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 표현한다.

x² + y² = 1

이것은 음함수이다. 그러나 하나의 독립변수에 대해 두 개의 종속변수가 할당되므로 이 식은 함수가 아니다. 본질적으로 이 식은 다음 두 개의 양함수를 합친 것이다.

이런 의미에서 일종의 함수로서 취급할 수 있고, 따라서 그 미분도 구할 수 있다.

역함수 [편집]

주어진 양함수의 역함수를 구하기 위해 독립변수와 종속변수를 바꾸면 즉시 음함수가 된다. 즉,

y = f(x)

이 함수는 양함수이지만, 그 역함수를 구하기 위해 독립변수와 종속변수를 바꾼 다음 식은 음함수가 된다.

x = f(y)

이 식을 양함수로 바꿀 수 있다면 다음과 같이 표현될 것이다.

y = f ^{− 1}(x)

음함수의 미분 [편집]

미적분학에서, 음함수의 미분(Implicit differentiation)이란, 연쇄법칙(Chain rule)을 이용한 미분법을 말한다. 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 미분한 다음, dy / dx를 계산한다. 이 결과는 양함수로 바꾼 후에 통상적인 미분을 시행한 결과와 같지만 계산이 수월하다는 장점이 있다. 그러나 경우에 따라 양함수로 먼저 바꾸는 쪽이 더 쉬운 경우도 있다.

예 1 : 일차함수 [편집]

다음과 같은 음함수를 미분하려고 한다.

y + 2x = − 4

이를 양함수로 바꾸어 미분하면 다음과 같다.

이번에는 주어진 음함수에 대해 그대로 양변을 미분해보자.

간단한 미적분학의 지식을 통해 다음과 같이 됨을 알 수 있다.

그리하여 양함수를 미분했을 때와 동일한 결과를 얻게 된다.

예 2 : 원의 방정식 [편집]

단위원의 방정식이 주어져 있다.

x² + y² = 1

양변을 미분하여 다음을 얻는다.

y²을 미분할 때 연쇄법칙(Chain rule)을 이용하였다. 또는 합성함수의 미분이라고 생각해도 좋다. 그래서 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.