극한값 , 발산

2012. 11. 2. 21:00

함수의 극한

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$x$ 에 대한 함수 $f (x)$ 에서, $x$ 가 어떤 값 $a$ 에 한없이 가까워지면 $f (x)$ 도 어떤 값 $c$ 에 한없이 가까워질 때 $f (x)$ 가 $c$ 에 수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,

$x\,\to\,a$ 가 된다. 예를 들어,

f (x)

가 $x \ge 0$ 일 때 1,

x < 0

일 때 0을 가지는 함수라면 $\lim_{x \to 0-0}f(x) = 0$ , $\lim_{x \to 0+0}f(x) = 1$ 이 된다.

0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

발산 [편집]

극한이 존재하지 않는 경우를 발산한다고 한다. 이때 함수값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다.

예를 들어, $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 의 경우 $x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 $f (x)$ 는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다.

수학적 정의 [편집]

함수의 극한은 일반적으로 엡실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의한다.

모든 양의 실수 $ε$ 에 대해, 어떠한 실수 $δ$ 가 존재하여 $0 < | x - p | < δ$ 일 때 항상 $| f (x) - c | < ε$ 가 성립하면, 이때의 극한값은

$\lim_{x \to p}f(x) = c$

로 정의한다.

좌극한과 우극한도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 $δ$ 에 대한 조건이 $0 < | x - p | < δ$ 대신, 좌극한의 경우 $0 < p - x < δ$ , 우극한의 경우 $0 < x - p < δ$ 가 된다.

===

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L \, : \ x$ 가 양의 무한대로 커질 때 $f(x)\,$ 는 $L\,$ 에 가까워진다.

$x$ 가 어떠한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 극한값을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 $ε$ 에 대해, 어떠한 실수 $S$ 가 존재하여 $x > S$ (양의 무한대) 또는 $x < S$ (음의 무한대)일 때 항상 $| f (x) - c | < ε$ 가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.

양의 무한대: $\lim_{x \to \infty}f(x) = c$
음의 무한대: $\lim_{x \to -\infty}f(x) = c$

성질 [편집]

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 지닌다.

$\lim_{x \to a}f(x) = \alpha ,\, \lim_{x \to a}g(x) = \beta$ 일 때 :

$\lim_{x \to a}\left\{ f(x) + g(x) \right\} = \alpha + \beta$
$\lim_{x \to a}\left\{ f(x) - g(x) \right\} = \alpha - \beta$
$\lim_{x \to a}kf(x) = k\alpha$ ( $k$ 는 상수)
$\lim_{x \to a}\left\{ f(x)g(x) \right\} = \alpha\beta$
$\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\beta}{\alpha}$ (단, $g(x) \ne 0, \beta \ne 0$ )

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