절대값의 성질

절대값

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수학에서 절댓값이란, 어떤 실수에서 부호를 제거한 값을 말한다. 예를 들어, 3과 -3의 절댓값은 둘 다 3이 된다.

또한, 복소수, 사원수, 벡터 등에 대해서도 절댓값을 일반화시킬 수 있다.

목차  [숨기기] 1 실수 2 복소수 3 주석 4 참고

[편집]실수

절대값 함수

어떠한 실수 a의 절대값은 로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

정의에 따라, 이 값은 양수나 0이 될 수는 있지만, 음수는 절대 될 수 없다. 그리고 다음의 정리들이 성립한다.

 (대칭성)

 (삼각부등식)

또한, 다음 식은 유용하게 사용된다.

이 식을 이용하면 절대값이 들어간 부등식을 쉽게 풀 수 있다.

[편집]복소수

복소수에서는 값들의 크기 비교가 불가능하기 때문에^[1], 실수에서의 정의를 쓸 수 없다. 대신, 앞에서의 성질 중 하나인

를 이용할 수 있다.

임의의 복소수

에 대해, 절댓값 | z | ,는 다음과 같이 정의된다.

이렇게 정의하면, 앞의 절대값의 성질이 모두 성립하며, 특히 이 정의는 z가 실수일 때에도 성립하게 된다.

이때 피타고라스의 정리에 따라 절대값은 원점과 복소수 사이의 거리를 의미하게 된다. 더 일반적으로, 두 복소수 사이의 거리는 복소수의 차의 절대값이 된다.