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∑ 의 뜻과 기본성질

1. ∑ 의 뜻  a1 + a2 + a3 + … + an =  ☞ a1, a2, a3, …, an  ak (k = 1, 2, 3,  …, n)

2. ∑ 의 기본성질

1) = cn (단, c는 상수)= c+c+c+…+c = cn
2)= c=ca1+ca2+ … +can = c(a1+a2+ …+an) = c
3) 

Problem 3-1  문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 2 + 5 + 8 + … + 41 을 ∑ 기호를 써서 나타내시오.
    (답) 

    1) 2, 5, 8, … , 41 은 첫째 항이 2, 공차가 3 인 등차수열  k 째 항은 2+(k-1)×3 = 3k-1
    2) 3k-1 = 41  3k = 42 ⇔ k = 14   ∴ 2 + 5 + 8 + … + 41 =

    ☞ 첫째 항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 k 째 항  a+(k-1)d



  2. 32+ 52+72+ … + 192 을 ∑ 기호를 써서 나타내시오.
    (답) 

    1) 3, 5, 7, … , 19 는 첫째 항이 3, 공차가 2 인 등차수열  k 째 항은 3+(k-1)×2 = 2k+1
    2) 2k+1 = 19  k = 9     ∴ 32+ 52+72+ … + 192 = 

    ☞ 수열의 합을 ∑ 꼴로 나타내려면 …  k 째 항을 먼저 구합니다. ^^



  3. = 30, = 50 일 때, 의 값을 구하시오.
    (답) -80

    =2-3+1·10 = 2·30 - 3·50 + 10 = -80^^

    ☞ ∑ 의 세 가지 기본성질

    1)= cn (c 는 상수)   2) = c 3) 

  4. 등차, 등비수열의 합을 구하는 공식을 써서 의 값을 구하시오.
    (답) 2171

    1) = (21+22+23+…+210)+3(1+2+3+…+10)-40
    2) 21+22+23+…+210 = 2(210-1)/(2-1) = 211-2 = 2046  등비수열의 합 Sn = a(rn-1)/(r-1)
    3) 1+2+3+…+10 = (10/2)(1+10) = 55  등차수열의 합 Sn = (n/2)(a+l)
    4) 준식 = 2046+165-40 = 2171 ^^

    = a1+a2+a3+…+an = a(an-1)/(a-1)  첫째 항이 a, 공비가 a 인 등비수열의 합

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∑ 의 기본공식, 자연수 거듭제곱의 합

1. = 1+2+3+ … + n = n(n+1)  첫째 항이 1, 공차가 1 인 등차수열의 합
2. = 12+22+32+ … +n2 = n(n+1)(2n+1)  자연수 제곱의 합
3. = 13+23+33+ … +n3 = {n(n+1)}2  자연수 세제곱의 합
2) 의 증명  항등식 3k2+3k+1 = (k+1)3-k3  을 이용
3) 의 증명  항등식 4k3+6k2+4k+1 = (k+1)4-k4 을 이용

Problem 3-2  문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 를 계산하시오.
    (답) 1255

    ☞ ∑ 의 세 가지 기본성질

    1)= cn (c 는 상수)   2) = c 3) 

  2. 를 계산하시오. 
    (답) n(n+1)(n+2)(n+3)

    ☞ 

  3. 를 계산하시오.
    (답) n4+n2-2n+3

    ☞ = (a1+a2+a3+…+an-1+an)-(a1+a2+a3+…+an-1) = an

  4. m+n = 12, mn = 8 일 때, 를 계산하시오. 
    (답) 56

    ☞ 


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