다변함수 미분, 전미분, 전도함수 편도함수 증명정리

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다변함수의 미분.pdf

자세한 증명은 pdf 파일에 남겨놓는다

 

여기선 전체적인 개략적 설명만 남겨놓는다

 

z=f(x,y)

 

함수 증분 = Δz : z의 증분량 

전미분 = dz  :  극소값 입실론을 때어버린 z 의 극소 증분량 

 

 

 

z=f(x,y)  , x=g(t), y=h(t)

 

전도함수 dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) +  (∂f/∂y)(dy/dt)

 

이렇게 표현을 하는데 풀이 과정은 편미분으로 들어가는데 dz/dt 로 쓸 수 있는 이유는 x,y 가 t 의 변수

 

즉 y,t 의 평면 그래프에서 생각 할 수 있기 때문, t 한개의 정의역에서 정의 될 수 있음으로

 

일변함수 도함수와 같다고 할 수 있지만 중간에 두개의 변수인 f 임으로 차별화가 필요하여 이름앞에 전을

붙여 전도함수라 칭함

 

편도함수는 중간에도 2개의 변수 마지막도 2개의 변수에 대한 도함수

 

z---->(x,y)------>(s,t)   인 결국엔 z 가 s,t로 이루어진 함수의 편미분을 하게 되는 과정을 말한다

 

표현한다면 

 

z를 s 에 대하여...

∂z/∂s = (∂f/∂x)(dx/ds) + (∂f/∂y)(dy/ds)

 

z를 t 에 대하여...

∂z/∂t = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

 

이때 ∂z/∂s , ∂z/∂t  가 모두 라운드(∂) 가 붙은걸 알 수 있는데 z 가 결국 s,t 다중 변수로 구성됨으로

 

z의 구성요소중 하나에 대하여 편미분 한다 하여, 즉 여러 변수중 하나를 골라 미분한다는거 표현하기 위해

 

라운드 가 붙는다, 그리하여 ∂ 대신 d 가 붙지 않는다

 

 

정리하면

 

 전도함수의 계산과정이 dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

 

dz/dt 를 계산할때 x와 y 에 대하여 편미분하여 이 둘을 합친것이 t 에 대한 전도함수 임으로

 

z---->(x,y)------>(s,t) 인 다변 함수에서는 각각의 변수에 대한 전도함수식 계산을 각각 해주면 된다

 

 

[편도함수]

z를 s 에 대하여...

∂z/∂s = (∂f/∂x)(dx/ds) + (∂f/∂y)(dy/ds)

z를 t 에 대하여...

∂z/∂t = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)