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결론적으로는 ..
를 말한다 좀 더 자세한 내용은 이하 첨부부터...
http://phc1112.blog.me/80066834781
고등학생 때는 당연시 여기는 것을 대학에선 대학수학적 정의를 가지고 증명을 하는데요,
"대학미적분(calclus) 함수의 극한" 중에서 큐스터디 게시판의 증명문제를
여러분들과 공유하고자 합니다.
증명 설명은 파일첨부합니다.
출처 : http://blog.naver.com/inhangin/100073943722
고등학교 수학과정에서 가장 미흡하게 소개된 개념들을 꼽아보자면 몇 가지 되는데,
그 중의 하나가 바로 극한의 정의이다.
고등학교 과정 안에서 극한의 정의는 매우 모호하다.
함수 f(x)에서 x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 α에 수렴한다고 한다. 이 때, α를 x→a일 때 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라 한다.
위와 같은 정의가 바로 고등학교 과정 내에서 극한에 대해 설명한 것이다.
하지만 한없이 가까워진다는 것이 대체 무엇을 말하는지 직관적으로는 이해가 가지만 논리적으로 어떻게 표현을 해야 할 것인지 난감하다.
그래서 등장한 것이 바로 입실론-델타 논법이다.
입실론-델타 논법은 독일의 수학자인 K. 바이어슈트라스가 창조해 낸 극한의 정의법으로
핵심적인 요소 두 가지가 있는데, 제목에서 알 수 있는 것과 같이 ε과 δ가 아주 큰 역할을 해내고 있다.
백문이 불여일견이라고 하였다.
입실론 델타가 무엇인가에 대해 설명만 구구절절 늘어놓지 말고, 직접 입실론-델타 논법을 사용한 극한의 정의를 살펴보자.
f:X→Y, X, Y⊂R인 함수와 a, α∈R이 주어져 있다고 가정하자.
그럼 임의로 주어진 ε>0에 대하여 x∈X이고 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ>0가 존재하면, α를 x→a일 때 f(x)의 극한이라고 한다.
자, 뭔가 다르지 않은가? 앞부분은 엄밀하게 살펴보기 위하여 이것저것이 존재한다고 가정하는 부분이므로 넘어가고,
임의로 주어진 ε>0에 대하여 x∈X이고 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ>0가 존재하면
이 구절이 입실론-델타 논법의 핵심이다.
내가 어떤 ε을 잡는다고 하더라도, 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ가 존재 한다는 것을 보이기만 한다면,
이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다는 말이다.
아직 감이 오지 않는 분들이 많을 것이다.
식을 찬찬히 풀어보자.
0< |x-a|<δ라는 부분을 살펴보면
이는 x가 (a-δ, a+δ)라는 개구간 안에 있다는 것을 의미한다.
그리고 |f(x)-α|<ε 이 부분은
f(x)가 (α-ε, α+ε)라는 개구간 안에 있다는 것을 의미한다.
이제 이 두 식의 의미를 종합하여 생각해본다면,
x가 (a-δ, a+δ)라는 개구간 안에 있다고 가정하면 f(x)는 언제나 (α-ε, α+ε)안에 있어야 함을 의미한다.
f(x)가 언제나 (α-ε, α+ε)안에 있다는 말은 내가 ε을 아무리 작게 만든다고 하더라도
임의로 δ값을 조정하여 x값의 범위를 조정해 주어서 f(x)를 (α-ε, α+ε)안에 집어넣어줄 수 있어야 한다는 것을 말한다.
그림으로 대강 설명을 해 보도록 하겠다.
다음 그림과 같이 ε과 δ이 잡혔고, x가 다음과 같은 위치에 존재 할 때 위 명제는 성립한다.
하지만 ε을 다음 그림과 같이 작게 좁혀보자.
이렇게 되면 f(x)값이 (α-ε, α+ε)안에 속해있지 않으므로, 명제가 성립하지 않는데,
이경우 δ의 값을 줄여서 명제를 성립하게 만들 수 있다면 그 점에서의 극한을 구할 수 있다는 것이다!
하지만 ε이 매번 변할 때마다 일일히 그에 합당한 δ값을 지정해 주기에는 너무 번거롭고, 끝이 없을 것이다.
따라서 우리는 δ를 ε에 관한 식으로 나타냄으로써 자동적으로 조정될 수 있도록 할 수 있다.
따라서 입실론-델타 논법을 이용한 극한의 증명 방법은 보통 다음과 같은 절차를 가진다.
- 먼저 입실론-델타 논법에 의거한 명제를 지정한다.
- 가정과 결론 부분의 식을 이용하여 δ값을 ε에 대해 나타내어 본다.(증명 전의 δ에 대한 예측)
- 만일 이 δ가 타당하다면, 가정 부분부터 시작하여 논리적으로 식을 조작하여 결론 부분에 이르도록 만들 수 있다.
- 따라서 논리적으로 전개해 나간다.(본 증명)
입실론-델타 논법을 이용한 여러 극한의 성질에 대한 증명은 다음 포스트에서 보여줄 것이다.
이거, 상당히 유용한 도구라고 생각하지 않은가?
엄청 파워풀하다고 생각하기도 한다.
그럼 다음 포스팅에서...
To be continued...
(※ 일부 책에서는 입실론-델타 논법을 이용하여 극한을 정의할 때 절대값을 사용하지 않고 노음(Norm)을 사용하기도 하지만, 신경 쓰실 필요는 없다고 봅니다.)
어느 호기심많은 소년을 위하여 적어본, 입실론-델타 논법에 대한 간단한 설명
인터넷을 뒤지다 보면 종종 입실론-델타 논법(이하 ε-δ)을 물어보는 사람들이 있다. ε-δ이란 걸 전혀 들어보지 못한 상태에서 물어보는 경우도 있지만, 어떤 때에는 이미 ε-δ를 한 번쯤은 접해봤는데도 불구하고 그 말의 의미를 이해하지 못하여 질문하는 경우도 있는 것 같다. 지금의 나로써는 ε-δ가 굉장히 당연하게 와닿지만, 나도 사실 처음에 ε-δ의 정의를 봤을 땐 이해가 잘 안됬던 것 같다. 물론 평범한 고등학생이 굉장히 수학적이고 형식적인 것처럼 보이는 문장을 처음부터 쉽게 읽으면 그것도 나름대로 신기하긴 하겠지만…. 어쨋든, 이 글은 ε-δ를 좀 더 마음속으로 이해할 수 있도록 설명하는 방법을 찾기 위한 내 몸부림이다.
우선 정의부터 살펴보자. ε-δ를 이용한 극한의 정의는 다음과 같다.
[정의] a의 근방에서 정의된 실함수 f에 대해, 임의의 ε>0 에 대하여 δ>0 가 존재하여, 0<|x-a|<δ 이면 항상 |f(x)-L|<ε 일 때, f(x)가 a 에서 L로 수렴한다고 하고 lim_{x→a} f(x) = L 로 적는다.
젠체하고 싶을 땐 다음과 같이 영어로 적을 수도 있다. (사실 such that이라는 긴요한 문법 구조에 대응하는 표현이 국어에는 없기 때문에, 때때로 수학은 영어로 접하는 게 더 이해가 쉬울 수도 있다.)
Let f be a real valued function defined on a neighborhood of a. If for any ε>0, there is δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ, we say f(x) converges to L at a and denote it by lim_{x→a} f(x) = L.
만약 당신이 이 정의를 처음 보는데도 불구하고 '아, 당연하잖아' 라고 말한다면, 지금 당장 해석개론을 공부해도 전혀 무리가 없다. 이 말은, 대부분의 경우 위 정의를 마음으로 받아들이기까지 좀 시간이 걸린다는 뜻이다. 그리고 이 글의 목표가 바로 위 정의를 직관으로 이해하는 것이다. 개인적으로는 이 글을 읽고 좀 생각하면 누구라도 유레카를 외치지 않을까 하는 기대를 품고 있다. 구체적으로, 이 글에서는 위 정의의 한 부분 한 부분을 풀어나가도록 하겠다.
우선 'a의 근방에서 정의된 실함수 f'라는 말부터 이해해보자. 극한의 본질을 가장 잘 설명하는 단어는 무엇일까? 여러가지 가능한 대답이 있겠지만, 나보고 꼽으라고 하면 역시 국소적 성질(local property)이라는 말을 하겠다. 수학에서는 크게 기하학적인 대상을 보는 두 가지 관점이 있다. 우선 보고자 하는 대상의 전체를 아우르는 성질, 즉 대역적 성질(global property)에 관심을 갖고 연구하는 관점이 있고, 반대로 대상의 부분부분이 가지는 성질, 즉 국소적 성질에 주목하는 관점도 있다. 극한은 이 중에서 후자를 대표한다. 극한을 입으로 설명할 때 보통 'x가 a에 한없이 가까우면 어쩌구 저쩌구'라고 말하는 것에서도 알 수 있듯이, 함수 전체에 집중하는 대신 함수 위의 한 점에 주목하여 그 점에서 매우 가까운 부분만 살펴본다는 것이 바로 극한에 담긴 가장 기본적인 아이디어이다. 그러므로 극한을 생각한다는 것은 기본적으로 우리가 관심을 갖고자 하는 지점의 근처만 보겠다고 선언하는 것과 같고, 함수 f의 정의역에서 우리가 보고자 하는 지점인 a의 근처를 제외한 나머지 부분은 그냥 쳐내버려도 상관 없다는 내용이 정의 첫 부분에 숨어있는 것이다.
이제 ε-δ 정의의 나머지 부분에 대해 이해해보자. (함수의) 극한이 'x가 a에 한없이 가까우면 f(x)의 값도 L에 한없이 가깝다' 라는 직관적인 아이디어를 수학적인 언어로 번역한 것에 불과함을 보이기 위해, 이 문장에서 ε-δ 정의를 논리적인 추론으로 이끌어보도록 하겠다. 일단 문장
| 'x가 a에 한없이 가까우면 f(x)의 값도 L에 한없이 가깝다' | (E-D1) |
E-D1은 굉장히 직관적으로 와닿는 문장이긴 하지만, 또한 너무 모호하기도 하다. 대체 L에 한없이 가깝다는게 얼마나 가깝다는 걸 의미하는가? 가깝다 멀다는 상대적인 개념이다. 기준이 있어야만 그 기준보다 가깝다 멀다를 이야기할 수 있는 것이다. 그러므로 가깝고 먼 것의 기준으로 ε이라는 양수를 하나 택하자. 즉, f(x)과 L 사이의 거리가 ε보다 작으면 f(x)와 L이 가까운 것이고, 그렇지 않으면 둘은 먼 것이다. 그리고 '한없이' 라는 말은 '기준 ε을 얼마나 작게 잡든지 상관없이'로 해석할 수 있다. 즉, 문장 E-D1은
| '기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, x가 a에 한없이 가까우면 f(x)는 L에 가깝다' |
| '기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, x가 a에 한없이 가까우면 |f(x) - L|<ε 이다' | (E-D2) |
x가 a에 한없이 가깝다는 것 역시 비슷한 방식으로 풀어낼수 있다. 이때 x가 변함에 따라 f(x)가 L에 가까워지고 멀어지는 것은 보통 f(x)의 성질과 기준 ε의 선택에 의존함에 주의하자. 그러므로 x가 a에가 가깝다는 것에 대한 기준을 δ라고 두면, δ가 아무 수나 될 수는 없음을 알 수 있다. 그러나 어쨋든간에 문장 E-D2는 x가 a에 충분히 가까울 때 f(x)도 L에 가까워지기를 요구하고 있으므로, 그러한 기준 δ를 적당히 잡을 수 있다면 문제는 해결된다. 그러므로 문장 E-D2는 다음과 같이 바꿔적을 수 있다.
| '기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, (x와 a가 가깝다는 것에 대한) 적당한 기준 δ를 잡을 수 있어서, x가 a에 가까우면 |f(x) - L|<ε 이다' |
| '기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, 적당한 기준 δ>0 를 잡을 수 있어서, 0<|x - a|<δ 이면 |f(x) - L|<ε 이다' | (E-D3) |
롤의 정리
함수 f(x)가 구간 a≤x≤b에서 연속이고, a＜x＜b에서 미분가능, 또 f(a)＝f(b)이면 f'(x)＝0, a＜x＜b가 되는 x가 적어도 하나 존재한다고 하는 정리.
| 본문 | ||||||
이 정리는, 직관적으로 말해서, 그 함수가 나타내는 곡선의 접선 중, x축과 평행한 것이 적어도 하나는 존재한다는 것을 말해주는 것이다. 특히, 롤의 정리는, f(x)가 a≤x≤b에서 연속이고 f(a)＝f(b)＝k라도 a＜x＜b에서 미분가능하지 않으면 성립하지 않는다. 이를테면, f(x)＝|x－3|은 구간 1≤x≤5에서 연속이고, f(1)＝f(5)＝2이지만, 구간 1〈x〈5에서 미분가능하지 않은 점 x＝3이 있으므로 롤의 정리가 성립하지 않는다. |
평균값 정리
“함수 f(x)가 a≤x≤b에서 연속이고, a＜x＜b에서 미분가능(微分可能)이면 
를 만족하는 ξ가 적어도 하나 존재한다.”는 정리를 말한다.
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