두배각 공식,삼각함수 항등식,삼각함수의 역함수,주기성, 대칭성, 이동 ,n배각 공식 등등..

2012. 11. 2. 21:21

삼각함수 항등식(三角函數恒等式)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 $sin 2$ , $cos 2$ 등의 함수는 $sin 2 x = (sin x) 2$ 와 같이 정의된다.

삼각함수의 정의에서

$\cos{x} = \sin\left( x + {\pi \over 2} \right)$

\tan {x} = \frac {\sin {x}} {\cos{x}} \qquad \operatorname{cot}{x} = \frac {\cos {x}} {\sin{x}} = \frac{1} {\tan{x}}

$\operatorname{sec}{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \operatorname{csc}{x} = \frac{1} {\sin{x}}$

피타고라스 정리

$\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \qquad \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \qquad \cot^2{x} + 1 = \csc^2{x}$

[편집]덧셈 정리

다음을 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.

$\sin(x \pm y) = \sin{x} \cos{y} \pm \cos{x} \sin{y}\,$

$\cos(x \pm y) = \cos{x} \cos{y} \mp \sin{x} \sin{y}\,$

(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함.)

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan{x} \pm \tan{y}}{1 \mp \tan{x}\tan{y}}$

${\rm c\dot{\imath} s}(x+y)={\rm c\dot{\imath} s}{x}\,{\rm c\dot{\imath} s}{y}$

${\rm c\dot{\imath} s}(x-y)={{\rm c\dot{\imath} s}{x}\over{\rm c\dot{\imath} s}{y}}$

여기서

${\rm c\dot{\imath} s}{x} = \exp(i x) = e^{i x} = \cos{x}+i \sin{x}\,$

$i^{2}=-1.\,$

두배각 공식

다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 $x = y$ 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)에서 $n = 2$ 로 놓아도 된다.

$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \,$

$\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} = 2 \cos^2{x} - 1 = 1 - 2 \sin^2{x} \,$

$\tan{2x} = \frac{2 \tan {x}} {1 - \tan^2{x}}$

$\frac{\tan^2{x}-1}{\tan{x}} = \frac{-2} {\tan{2x}}$

차수 줄이기

두배각 공식의 코사인 공식을 $cos 2 x$ 과 $sin 2 x$ 으로 푼다.

$\cos^2{x} = {1 + \cos{2x} \over 2}$

$\sin^2{x} = {1 - \cos{2x} \over 2}$

반각 공식

차수 줄이기 공식의 $\textstyle \frac x 2$ 를 $x$ 로 바꾸어 넣고, $\textstyle \cos \frac x 2$ 과 $\textstyle \sin \frac x 2$ 으로 푼다.

$\left|\cos{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{{\frac{1 + \cos{x}}{2}}}$

$\left|\sin{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{{\frac{1 - \cos{x}}{2}}}$

$\textstyle \tan \frac x 2$ 는 $\textstyle \frac {\sin \frac x 2} {\cos \frac x 2}$ 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 $\textstyle 2 \cos \frac x 2$ 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 $sin x$ 이 되고, 분모는 $\textstyle 2 \cos^2 \frac x 2 - 1 + 1$ 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 $cos x + 1$ 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 $sin x$ 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.

$\tan{\frac{x}{2}} = \frac{\sin{x}}{\cos{x} + 1} = \frac{1 - \cos{x}}{\sin{x}}$

곱을 더하기로

우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.

$\sin{x} \cos{y} = {\sin(x + y) + \sin(x - y) \over 2}$

$\cos{x} \sin{y} = {\sin(x + y) - \sin(x - y) \over 2}$

$\cos{x} \cos{y} = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

$\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}$

[편집]더하기를 곱으로

위 식의 $x$ 를 $\textstyle \frac{x + y}{2}$ 로, $y$ 를 $\textstyle \frac{x - y}{2}$ 로 바꾼다.

$\sin{x} + \sin{y} = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)$

$\sin{x} - \sin{y} = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)$

$\cos{x} + \cos{y} = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)$

$\cos{x} - \cos{y} = -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)$

[편집]삼각함수의 역함수

$x > 0$ 이면

$\arctan{x}+\arctan{\frac 1 x}=\frac{\pi}{2}.$

만약 $x < 0$ 이면, 등식 우변이 $\textstyle -\frac \pi 2$ 가 된다.

$\arctan{x}+\arctan{y}=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.

$\cos(\arcsin{x})=\sqrt{1-x^2}$

[편집]변수 없는 항등식

리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac 1 8$

그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. ( $\scriptstyle x=20^\circ, k=3$ 을 넣고, $\scriptstyle \sin x = \sin (180^\circ-x)$ 를 이용 우변을 정리한다.)

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin{x}}$

다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.

$\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\frac 1 2$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac 1 2$

21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.

$\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac 1 2$

1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 ²¹/₂보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

[편집]미적분학

미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$

과

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0$

을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.

${d \over dx}\sin{x} = \cos{x}$

나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.

${d \over dx}\cos{x} = -\sin{x}$

${d \over dx}\tan{x} = \sec^2{x}$

${d \over dx}\arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

${d \over dx}\arctan{x}=\frac{1}{1+x^2}$

적분식은 적분표를 참고하라.

주기성, 대칭성, 이동(Shifts)

다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.

$\sin{x} = \sin(x + 2k\pi) \qquad \cos{x} = \cos(x + 2k\pi) \qquad \tan{x} = \tan(x + k\pi)$

$\sec{x} = \sec(x + 2k\pi) \qquad \csc{x} = \csc(x + 2k\pi) \qquad \cot{x} = \cot(x + k\pi)$

다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.

$&#-0;\begin{matrix}&#-0;\sin(-x) = -\sin{x}, & & \sin\left({\pi \over 2} - x\right) = \cos{x}, & & \sin\left(\pi - x\right) = \;\;\sin{x} \\&#-0;\cos(-x) =\;\;\cos{x}, & & \cos\left({\pi \over 2} - x\right) = \sin{x}, & & \cos\left(\pi - x\right) = -\cos{x} \\&#-0;\tan(-x) = -\tan{x}, & & \tan\left({\pi \over 2} - x\right) = \cot{x}, & & \tan\left(\pi - x\right) = -\tan{x} \\&#-0;\cot(-x) = -\cot{x}, & & \cot\left({\pi \over 2} - x\right) = \tan{x}, & & \cot\left(\pi - x\right) = -\cot{x} \\&#-0;\sec(-x) =\;\;\sec{x}, & & \sec\left({\pi \over 2} - x\right) = \csc{x}, & & \sec\left(\pi - x\right) = -\sec{x} \\&#-0;\csc(-x) = -\csc{x}, & & \csc\left({\pi \over 2} - x\right) = \sec{x}, & & \csc\left(\pi - x\right) = \;\;\csc{x}&#-0;\end{matrix}&#-0;$

다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.

$&#-0;\begin{matrix}&#-0;\sin\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\cos{x}, & & \sin\left(x + \pi\right) = - \sin{x} \\&#-0;\cos\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \sin{x}, & & \cos\left(x + \pi\right) = - \cos{x} \\&#-0;\tan\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \cot{x}, & & \tan\left(x + \pi\right) = \;\;\tan{x} \\&#-0;\cot\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \tan{x}, & & \cot\left(x + \pi\right) = \;\;\cot{x} \\&#-0;\sec\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \csc{x}, & & \sec\left(x + \pi\right) = - \sec{x} \\&#-0;\csc\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\sec{x}, & & \csc\left(x + \pi\right) = - \csc{x}&#-0;\end{matrix}&#-0;$

또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)$

여기서

$&#-0; \varphi=&#-0; \begin{cases}&#-0; \arctan{\frac b a},&\mbox{if }a\ge0 \\&#-0; \arctan{\frac b a} \pm \pi,&\mbox{if }a<0&#-0; \end{cases}&#-0;$

n배각 공식

$T n$ 이 $n$ 번째 체비셰프 다항식(Chebyshev polynomial)일 때,

cos n x = T n (cos x)

드 무아브르의 공식(De Moivre's formula):

cos n x + i sin n x = (cos x + i sin x) n

The Dirichlet kernel $D n (x)$ is the function occuring on both sides of the next identity:

$1+2\cos{x}+2\cos{2x}+2\cos{3x}+\cdots+2\cos{nx}=\frac{\sin{\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{\sin{x \over 2}}$

The convolution of any square-integrable function of period 2π with the Dirichlet kernel coincides with the function's nth-degree Fourier approximation.

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