치환적분

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안녕하세요?

 

미분은 구간을 잘게 나눠서 복잡한 곡선을 간단한 직선으로 이해하는 것입니다.

정적분 또한 구간을 잘게 나누면 곡선의 넓이를 작은 사각형들의 합으로 볼 수 있다는 것입니다. 둘다 구간을 잘게 나누는 것이 중요합니다.

 

구분구적법으로 복잡한 곡선의 넓이를 구할때 정적분을 이용하면 쉽게 계산할 수 있다고 했습니다. 왜 그런지도 이야기 했습니다. 밑변에 대한 넓이의 변화가 높이 만큼 생겨서 그렇다고 했습니다.

 

지금부터는 구분구적법으로 곡선의 넓이를 구하지 말고 정적분으로 쉽게 계산하면 됩니다.

 

오늘은 치환적분에대해서 이야기 해보겠습니다.

 

정적분의 의미를 잠시 생각해 볼게요.

 

 

 

구분구적법을 잘 생각해보세요. 높이는 함수값(f(x))이 되고 작게 나누는 구간은 dx 밑변이 됩니다. 둘을 곱해야 작은 사각형의 넓이가 되겠죠. dx는 보이진 않지만 아주 작은 밑변의 길이입니다. 밑변이 없으면 넓이가 정의가 안됩니다. 아주 작은 길이라고 생각하면 됩니다. 위 정적분은 실처럼 직선을 연속적으로 더하는 것이 아닙니다. 직선은 밑변이 0입니다. 그래서 넓이가 없습니다. 즉 dx는 0이 아닌 밑변의 작은 길이로 해석하면 됩니다.

 

 

자 이제 치환적분에대해서 이야기 해볼게요.

 

예를 들어서 이야기 할게요.

 

 

 

 

아주 식이 간단해 졌습니다. 이제 왜 이렇게 되는지 이야기 해보겠습니다.

우선 구간이 x = 0, x = 1에서 t = 1, t = 2로 바뀝니다. 이건 당연하죠. t = x*x + 1  이라고 했으니까요

 그럼 높이 t*t도 별 문제가 없습니다. 왜냐면 구간이 바뀌어서 x=0, x=1일때의 높이값 (x*x + 1)(x*x + 1)은 1에서 4까지 변합니다. 이건 그냥 t= 1, t=2에서 t*t랑 같습니다. t*t도 1에서 4까지 변하잖아요. 그러니 높이도 전혀 문제없습니다.

 

문제가 되는건 2xdx = dt가 되는 부분입니다. 왜 이렇게 될까요?

 

dt는 밑변의 길이 입니다. 밑변은 조금 복잡한 과정을 거치나 봅니다.

직선의 경우로 잠시 이야기할게요. 아래 그림을 보세요.

 

 

직선에선 델타x나 dx나 다 같은 것입니다. 자 뭔가 비슷해졌죠? 위 직선에서의 경우를 잘 이용하면 될 것 같다는 생각이 들죠?

 

 

 

 

 

 

dt가 밑변의 길이인데 이 길이는 dx*미분계구가 됩니다. 점 a를 임의의 점으로 놓았습니다. 그러니 그걸 그냥 x로 바꾸면 2xdx = dt가 되는 것입니다. 이건 미분으로 이해하시면 됩니다. dt는 dx에대해서 2x 배가 됩니다.

 

 

 

밑변이 길이에대해서 두변수의 관계를 생각하면 됩니다. 그리고 미분하면 직선이 된것이니까 직선에서의 관계를 잘 살펴보면 이해될겁니다.

 

감사합니다.