수학 닮음, 합동

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아는분이 요청해서 올려봅니다 .

직각삼각형의 닮음공식 , 그리고 피타고라스 정리 공식이구요 ,

증명도 몇개 넣었습니다 . [ 피타고라스는 교과서나 참고서에 많기에 ... ]

많은 사람들에게도 도움이 되길 바라면서 글 올려봅니다.

 

그럼 시작합니다 .

 

  

 

 

 

 

 

    1.    피타고라스 정리 

       a² = b²+  c²

     뭐  ...    한번쯤은 들어봤고 알듯한 공식 ,

                 중 3 때 배우는걸로 기억하구요 , 모르면 .. 진짜 후회되는 공식 .

 

    2.    닮음 공식

        i)   h² =  xy 

       pf) [ 증명입니다 ] 

            △ADB  과  △CDA 는 AA 닮음 ( ∵o 각과 x 각 )

            그러므로   『  h : x = y : h   』 

            안의 곱은 바깥의 곱 ,

            ∴  h² =  xy 

       ii)   c² = ay

        pf) △CAB와 △ADB 는 AA 닮음 ( 이하동문 )

              그러므로  『 c : y = a : c  』

              비례식을 이용하여 정리해주면 

              ∴ c² = ay

       iii)  b² = ax

        pf)  △CAB와 △CDA 는 AA 닮음 ( 이하동문 )

               그러므로  『 b : x = a : b  』

               역시 비례식을 이용하여 정리

               ∴ b² = ax

        iv)  ah = bc

         pf)  △ABC = ½bc = ½ah

                ∴ ½bc = ½ah  

                      bc   =   ah   ( 각항에 2를 곱한 결과 )

                ∴    ah = bc      ( 정리 )

 

 

 

 

 

 

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닮음

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

수학에서 닮음이란, 두 도형이 크기는 다르지만 모양은 같다는 것을 뜻한다. 즉, 한 도형을 전체적으로 늘이거나 줄이면 다른 도형과 정확히 같은 모양(합동)이 된다.

모든 원은 서로 닮음이고, 모든 정다각형도 서로 닮음이다.

[편집]삼각형의 닮음

삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음일 때, 다음과 같은 기호로 표기한다.

조건은 다음과 같다.

SAS(변-각-변): 두 변의 길이의 비와 끼인각의 크기가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.

SSS(변-변-변): 세 변의 길이의 비가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.

AA(각-각): 두 각의 크기가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.

[편집]닮음비

두 도형이 서로 닮음일 때, 대응하는 선분의 길이 비율을 닮음비라 한다. 예를 들어, 서로 닮음인 두 삼각형 ABC와 DEF가 있을 때 삼각형 ABC의 각 변 길이가 서로 대응하는 삼각형 DEF의 각 변 길이보다 두 배 길다고 하면 ABC와 DEF의 닮음비는 2:1이 된다.

닮음비가 1:1이 되는 도형은 합동이다.

 

기하학에서 합동(合同, Congruence)이란 두 도형의 모양과 크기가 서로 같다는 것을 의미한다. 엄밀하게 정의하면, 어떤 점의 집합이 등거리 변환을 통해 다른 집합이 될 수 있으면 두 집합을 합동이라 한다. 두 선분의 길이 또는 두 각의 크기가 같아도 그 선분·각은 합동이라고 한다.

[편집]삼각형의 합동

두 삼각형이 합동이 되는 데에는 다음 조건 가운데 하나를 만족하면 충분하다.

• SSS(변-변-변): 세 변의 길이가 서로 같으면 두 삼각형은 합동이다.
• SAS(변-각-변): 두 변의 길이와 끼인각이 서로 같으면 두 삼각형은 합동이다.
• ASA(각-변-각): 두 각과 사이에 있는 변의 길이가 서로 같으면 두 삼각형은 합동이다.