테일러 급수 전개 [제대로 정리편]

테일러 씨리이즈...

우선 정의부터 짚고 넘어갑시다

- 테일러 급수란?

풀어 말하자면 '근사다항식'으로

n+1번의 미분을 거치면 0이 되는 n차 다항식과 달리

무한히 미분되는 초월함수의 경우,(ex/ a^x, cosx, sinx, logx 등 )

특정한 x값 이외에는 함숫값을 찾기 어렵다.

이럴 때 미분을 이용하여 찾아낼 수 있는

원래의 함수와 매우 근사한 다항함수를 테일러 급수라고 한다.

- 테일러 급수의 형태

테일러 급수를 정할때는

1. 중심의 x좌표와

2. 최고차수

이 둘을 정해야 한다.

x좌표를 a, 최고차수를 k라 하자.

a좌표의 함숫값은 보통 알려진 수로 정하므로,

라고 하자.

미지수항을 x-a로 대체함으로 f(a)의 값은 상수 t_0이라는 것을 알 수 있다.

이 식을 한 차례 미분하자.

이 경우, f'(a)의 값은 일차항의 계수 t_1이다.

이계도함수의 경우,

f"(a)= 2!t_2

즉 여기서 우리는,

 (단,f^n(x)는 f(x)의 n계도함수)

임을 알 수 있다.

이를 이용해 f(x)를 나타내면,

- 중심좌표 a와 최고차수 k의 영향

테일러급수의 그래프의 전체적인 모양에 관여합니다.

a의 함숫값은 정확히 알고 있는게 보통이고,

그래프의 모양은 a에 가까울수록 원래의 그래프와 일치하고

a에서 멀어질수록 오차가 생긴다.

k가 높을수록 그래프의 모양이 원래의 그래프와 일치한다.

k가 무한대이면 원래의 그래프와 정확히 일치하게 된다.

개중 a=0, 즉 중심좌표가 0인 테일러 급수를

메클로린 급수라 한다.

- 테일러 급수의 활용

자연지수함수 e^x

아무리 미분해도 변하지 않는 싱기한 함수

중심의 좌표를 0으로 잡고 테일러 급수를 만들어 보자.

네

e의 개형이 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+.... 

인걸 감안하면

상당히 닮은꼴이 나온다는 것을 알 수 있다.

k를 무한히 전개하면 원래 다항식과 같아지지만 현실적으로는 불가능하다.

-e의 전개에 대해서는 이전 포스팅 http://blog.naver.com/oscarsim_95/60121054283 을 참고

n 이 증가하면서 점점 원래의 함수에 근접해 지는 형태임을 알 수 있다

<네이버캐스트 - 테일러 급수>

위 f(x)=e^x의 테일러급수를 나타낸 플래시를 보면, 최고차항 (여기서는 n으로 나타내었다)이 커질수록

원래 그래프와의 오차가 확연히 줄어들게 된다.

사인,코사인 등의 삼각함수도 같은 방법으로 구할 수 있다.

미분된 함숫값이 주기를 이루며 일치한다.

위 식에서는 최고차항를 무한으로 잡고 풀었다.

http://postfiles6.naver.net/20111006_37/oscarsim_95_1317838250463quWb3_JPEG/4-3.jpg?type=w1

<사인함수의 11차 테일러 급수>

코사인함수 역시 크게 다르지 않다.

이 식 역시 최고차항이 무한이다.

- 삼각함수의 다항함수화는 이전 포스팅을 참고 http://blog.naver.com/oscarsim_95/60131467989

http://postfiles15.naver.net/20111006_142/oscarsim_95_1317838651327aHc8E_JPEG/4-4.jpg?type=w1

<코사인함수의 10차 테일러 급수>

대표적인 초월함수를 다 한 김에 로그함수도 마저 해보자.

계산의 편의성을 위해 자연로그로 하자.

왜 x가 아닌 1+x를 넣었냐 하면,

지금까지 했던 계산과 일치시키려고 메클로린 급수의 형태로 하려면 x=0의 값이 정해져야 한다.

log0의 값 같은건 없으니 x+1을 대신 넣어주자.

하지만 분모가 0일수 없으므로

n의 초항을 1로 잡자.

끝

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로그함수 수정

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사인코사인 수정

http://cafe.naver.com/mathematicians/75 강의

http://blog.naver.com/pjhoon0?Redirect=Log&logNo=20036368968

tp://blog.naver.com/oscarsim_95?Redirect=Log&logNo=6014291017