3. 공식 유도 1) 직각삼각형의 닮음 
-내각들의 관계 설정 먼저, 각각의 내각의 관계를 알아봅시다. (큰 직각삼각형 ABC에서) ∠ABC를 임의로 ●라 하고 ∠ACB를 임의로 x 라 해봅시다. 삼각형의 내각의 합은 180˚ 이기 때문에 직각삼각형에서 나머지 두 내각의 합은 90˚입니다. 따라서, ● + x = 90˚ 한편, 작은 직각삼각형 ACD에서 두 내각 ∠CAD와 ∠ACD의 합 역시 90˚가 돼야합니다. 그런데 ∠ACD를 아까 x 라 표시했으므로, ∠CAD는 필연적으로 ●가 되어야합니다. (∵∠CAD = 90˚ - ∠ACD = 90˚ - x = ●) 이제 ∠BAD만 남았는데요. 공교롭게도 ∠BAD와 앞에서구한 ∠CAD와의 합이 90˚가 되는군요.(그림) 따라서 ∠BAD는 다시 x 로 표현할 수 있습니다. (∵∠BAD = 90˚ - ∠CAD = 90˚ - ● = x ) 이를 종합하면 아래와 같은 그림처럼 됩니다. 
-닮은 삼각형을 찾아 닮음비 구하기 이제 닮은 삼각형들을 찾아서 닮음비를 구해봅시다. 모든 내각들이 직각(⊥), ●, x 로 표현돼있으므로 그림에서 보이는 세 삼각형들(ABC, ABD, ACD)은 모두 닮은 직각삼각형들입니다. 이 때 대응하는 변들을 찾아 그 닮음비를 표현하면 됩니다. 대응하는 변을 찾을 때에는 변에 포함된 각을 똑같이 대응시키면 됩니다. i) 삼각형 ABD와 삼각형 ABC 
중간 크기의 삼각형 ABD와 전체 크기의 삼각형 ABC를 봅시다. 삼각형ABD에서 선분 a에 대응하는 삼각형ABC의 선분은 e가 됩니다. (선분 a를 잘 보면, 양 끝에 각 ●와 x 가 포함돼있습니다. 큰 삼각형 ABC에서 이에 해당하는 변을 찾으면 e가 됩니다. 선분 e의 양 끝에도 ●와 x 가 있죠. 앞으로 계속 이런 논리를 적용해서 대응하는 변을 찾을 것입니다.) 다시, 삼각형 ABD에서 선분 c에 해당하는 삼각형 ABC의 선분은 a가 됩니다. (삼각형 ABD에서 선분 c는 각 ●와 직각(⊥)을 포함하는 변입니다. 큰 삼각형에서 이 두 각들을 포함하는 변은 선분 a가 됨을 알 수 있습니다.) 따라서, 다음 비례식 
을 세울 수 있고, 이를 풀면 a² = ce, 첫번 째 공식을 얻습니다. 
ii) 삼각형 ACD와 삼각형 ABC 
작은 삼각형 ACD와 전체 삼각형 ABC를 봅시다. 삼각형 ACD에서 변 b에 대응하는 삼각형 ABC의 선분은 e입니다. (각 ●와 x) 삼각형 ACD에서 변 d에 대응하는 삼각형 ABC의 선분은 b입니다. (각 x와 직각⊥) 따라서 다음 비례식 
을 세울수 있고, 이를 풀면 두 번째 공식을 얻습니다. 
iii) 삼각형 ABD와 삼각형 ACD 
이제 작은 두 삼각형 ABD와 ACD의 닮음비를 구해봅시다. 삼각형 ABD에서 변 c에 대응하는 삼각형 ACD의 선분은 h입니다. (각 ●와 직각⊥) 삼각형 ABD에서 변 h에 대응하는 삼각형 ACD의 선분은 d입니다. (각 x와 직각⊥) 따라서 다음 비례식 
을 세울 수 있고, 이를 풀면 세 번째 공식을 얻습니다. 
iv) 삼각형의 ABC의 넓이(소자 공식)
마지막 공식은 삼각형 ABC의 넓이를 서로 다른 방법으로 표현함으로써 얻을 수 있습니다. 삼각형 ABC에서 밑변을 b, 높이를 a로 보면 넓이는 1/2 x a x b 가 됩니다. 삼각형 ABC에서 밑변을 e, 높이를 h로 보면 넓이는 1/2 x e x h 가 됩니다. 
이 공식은 모양상 소자 공식으로도 알려져있죠. 
2) 파푸스의 중선 정리 파푸스의 중선정리는 코사인 제 2법칙으로 유도할 수 있습니다. 코사인 제 2법칙의 공식 및 유도가 궁금한 분은 아래 링크를 참고하세요. (코사인 제2법칙 공식) 아래 그림에서 작은 삼각형 ABD에 주목해봅시다. 
삼각형 ABD에서 코사인 B는 세 변 a, c, d로 표현할 수 있습니다. 
한편, cosB는 큰 삼각형 ABC의 변을 통해서도 구할 수 있습니다. 전체 삼각형 ABC의 각 변 a, 2c, b를 통해 cosB를 표현하면 다음과 같습니다.
이 식을 위에서 구한 식과 연결하면 파푸스가 이끌어낸 중선정리의 결과를 얻을 수 있습니다. 
2) 내각의 이등분선
아래 그림과 같이 삼각형 ABC에서 내각의 이등분선 AD와 평행한 직선을 긋고, 그 직선이 선분 AB의 연장선과 만나는 점을 E라 합시다. (원래 삼각형은 검은색 실선, 보조선은 파란색 실선으로 표현했습니다.)
∠DAC와 ∠ACE는 엇각으로 같습니다. ∠BAD와 ∠AEC는 동위각으로 같습니다. 따라서, 삼각형 ACE는 두 밑각이 서로 같은 이등변 삼각형이며, 선분 AC와 선분 AE의 길이가 b로 서로 같습니다. (아래 그림)
위 그림에서 삼각형 BAD와 삼각형 BEC는 모든 내각이 같은, 서로 닮은 삼각형입니다.
또한 평행선의 관계에 의해서 다음 비례식이 성립합니다. 
유도는 보조선을 그어서 했으나, 보조선이 없는 원래 그림, 즉 삼각형 ABC(검은 실선)와 한 내각의 이등분선이 주어진 그림에서 위 비례식을 생각해 낼 수 있어야 합니다. 4) 외각의 이등분선 아래 그림과같이 삼각형 ABC에서 한 점 C로부터 ∠A의 외각의 이등분선과 평행한 직선을 긋고, 그 직선이 선분 AB와 만나는 점을 E라 둡시다. (내각의 이등분선 공식을 유도할 때랑 똑같은 아이디어입니다. 위에서도 내각의 이등분선과 평행한 평행선을 그어서 생각했습니다.) 
위 그림에서 파란색 선분 EC는 보조선입니다. 두 평행선으로부터 동위각 및 엇각의 관계를 얻어낼 수 있습니다. ∠DAC=∠ACE (엇각) ∠DAF=∠CEA (동위각) 따라서 삼각형 ACE는 두 밑각이 서로 같은 이등변삼각형이고, 따라서 선분 AE와 AC는 길이가 b로 서로 같습니다. (아래 그림) 
위 그림에서 삼각형 BCE와 삼각형 BDA는 세 내각이 모두 같은 닮은 삼각형입니다. 또한, 평행선의 관계에 의해서 아래와 같이 각 선분들끼리 일정한 닮음비가 성립합니다. 
공식유도는 보조선을 그어서 했으나, 보조선이 없는 원래 상황에서도 위 비례식을 쓸 수 있어야 합니다. 유도 완료// | 
