반응형

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..








연속 부분적분 = 이해를 돕기위해 그냥 이름 붙인것..


미분은 첫번째 pass 두번째 부터

적분은 첫번째 부터 하고 마지막 ∫ dx 안에 넣을때 미분한것은 처음에 않했음으로 미분해서 들어가지만 적분한

것은 처음부터 적분했음으로 마지막 ∫ dx 안에는 적분하지 않은 상태로 들어간다



 

 

 부분적분법에서

 

u' 을 d에 넣어 du

v' 을 d에 넣어 dv 

 

의 형태로 바꿔놓고 풀면 더욱 간단하다





이하 첨부파일과 자세한 내용이다



부분적분공식정리.pdf







부분적분

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
미적분학
v • d • e • h

미적분학에서 부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 곱셈 법칙에서 유도할 수 있다.

목차

 [숨기기]

[편집]법칙

두 미분가능한 연속 함수 f(x)와 g(x)에 대해서, 적분 구간이 [a,b] 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.

f(b)g(b) - f(a)g(a)\, = \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx
=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx

부정적분의 경우에는 다음과 같다.

\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

\int u\,dv = u v - \int v\,du

여기서, u = f(x),\ v = g(x)이고, du = f'(x) dx,\ dv = g'(x) dx이다.

[편집]예제

[편집]x cos x의 적분

다음 식을 적분한다.

\int x\cos x \,dx

이때, u = x,\ du = dx,\ dv = \cos x \, dx,\ v = \sin x와 같이 가정하면

\int x\cos x \,dx = \int u \,dv
= uv - \int v \,du

가 되어,

\int x\cos x \,dx = x\sin x - \int \sin x \,dx
\int x\cos x \,dx = x\sin x + \cos x + C

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, C는 적분 상수이다.

[편집]ex cos x 의 적분

\int e^{x} \cos x \,dx

이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

u = \cos x, du = -\sin x \, dx
dv = e^x dx,\ v = e^x

이때,

\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin x \,dx

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

u = \sin x\;;\ du = \cos x \, dx
v = e^x\;;\ dv = e^x dx

그러면,

\int e^{x} \sin x \,dx = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx

이므로, 함께 적으면,

\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + e^x \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx

임을 알 수 있다.

자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,

2 \int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} ( \sin x + \cos x )

이고, 2로 나눠

\int e^{x} \cos x \,dx = {e^{x} ( \sin x + \cos x ) \over 2}

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

[편집]ln x 의 적분

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 x를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는, \int \ln x \,dx 이다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int (\ln x) \cdot 1 \,dx

다음과 같이 가정하면,

u = \ln x\;;\ du = \frac 1 x dx
v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx
\int \ln x \,dx = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx
= x \ln x - \int 1 \,dx
\int \ln x \,dx = x \ln x - {x} + {C}
\int \ln x \,dx = x ( \ln x - 1 ) + C

이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.

[편집]arctan x의 적분

두 번째 예는 \int \arctan x \,dx이다. 여기서 arctan 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int 1 \cdot \arctan x \,dx

다음과 같이 가정하면,

u = \arctan x\;;\ du = \frac 1 {1+x^2} dx
v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx
\int \arctan x \,dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx
= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C

임을 확인 할 수 있다.

반응형
저작자표시 비영리 동일조건

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

적분법  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
유리수 적분중 부분분수  (0) 2012.11.03
적분의 시작 d( )  (0) 2012.11.03
다변함수 미분, 전미분, 전도함수 편도함수 증명정리  (1) 2012.11.03

+ Recent posts

티스토리툴바