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출처 : 어느 과학 사이트에서..;
(a+b)을 전개하면, n=0일 때 (a+b)=1, n=1일 때 (a+b)=a+b, n=2일 때 (a+b)=a+2ab+b, …가 된다. 이들 전개한 식의 계수를 다음과 같이 삼각형으로 늘어놓은 것을 파스칼의 삼각형이라 한다. 파스칼의 삼각형에서 양끝의 1을 제외한 각 수는 오른쪽 위의 수와 왼쪽 위의 수의 합으로 되어 있다. 이 사실은 2항 계수의 성질 =+(1rn-1)에 의해 확인할 수 있다.
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(삼각 함수의 파형)
(삼각 함수의 특수각)
(삼각 함수의 상호 관계)
(삼각 함수의 피타고라스 정리)
(삼각 함수의 곱의 관계)
(삼각 함수의 나눗셈의 관계)
(삼각 함수의 지수 형식 표현)
(삼각 함수의 각도에 대한 합과 차의 관계)
(삼각 함수의 배각 공식)
(삼각 함수의 반각 공식)
(삼각 함수의 지수 공식)
(삼각 함수의 합의 공식)
(삼각 함수의 곱의 공식)
[출처] [수학] 삼각 함수 공식|작성자 표윤석
적분과 통계 04 지수함수와 로그함수의 부정적분(1) [영상강의] (0) | 2012.11.02 |
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삼각함수 역수 (0) | 2012.11.02 |
http://blog.naver.com/dhhansh?Redirect=Log&logNo=100064531529
강의 끝부분에 특수각에 해당하는 세타에 대한 삼각함수의 값을 효과적으로 뽑아낼 수 있는
방법이 쉽고 유용하게 나와있다.
삼각방정식 sin(x)=0.5 의 해는 30도라고 ?
30도가 여러 해중 하나니까 30도라고 하면 모든 해를 다 말했다고는 볼 수 없지.
즉, 일반해를 썼다고 볼 수 없다는 얘기야.
그럼 sin, cos, tan의 일반해는 어떻게 표현해야 할까 ?
파스칼 삼각형 (0) | 2012.11.02 |
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삼각 함수 공식 (0) | 2012.11.02 |
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역함수, 전단사함수 (0) | 2012.11.02 |
출처 모름
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
라는 데요
꼭 폐구간에서만 최대값과 최솟값을 가지나요??개구간에서는 못가지나요?
또 상수함수에서는 최대값과 최솟값이 똑같은데 그것도 최대값과 최솟값이라고 하나요ㅜㅜ?
제발 자세하게 설명 부탁드립니다...
함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
라는 데요
꼭 폐구간에서만 최대값과 최솟값을 가지나요??개구간에서는 못가지나요?
개구간에서도 최대, 최솟값을 가질 수 있습니다.
하지만 단조증가 또는 감소의 함수의 그래프를 생각하면 구간의 양끝값이 최대, 최솟값이 됩니다.
따라서 폐구간일 때는 무조건 적으로 최대 최솟값이 존재한다는 뜻입니다.
예를 들면 그림과 같습니다.
왼쪽의 그림은 개구간이지만 최대 최솟값이 존재하는 경우 오른쪽 그림의 경우는 개구간에서
단조 증가하는 함수의 경우는 구간의 양끝값이 최대, 최소값이기 때문에
개구간에서는 최대, 최소의 정리가 반드시 성립하지 않습니다.
또 상수함수에서는 최대값과 최솟값이 똑같은데 그것도 최대값과 최솟값이라고 하나요ㅜㅜ?
맞습니다.
최대, 최솟값은 같을 수 있습니다.
삼각 함수 공식 (0) | 2012.11.02 |
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삼각방정식의 일반해 (0) | 2012.11.02 |
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ln|x| 미분하면 왜 1/|x| 가 아닌 1/x ? (0) | 2012.11.02 |
(1) 역수관계
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삼각방정식의 일반해 (0) | 2012.11.02 |
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최대 최소의 정리 (0) | 2012.11.02 |
역함수, 전단사함수 (0) | 2012.11.02 |
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미분소 d, dx (0) | 2012.11.02 |
출처 : 위키
전사함수(위로의 함수) : 치역과 공역이 같은 함수
역함수의 조건은 전사함수 이어야 한다
최대 최소의 정리 (0) | 2012.11.02 |
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삼각함수 역수 (0) | 2012.11.02 |
ln|x| 미분하면 왜 1/|x| 가 아닌 1/x ? (0) | 2012.11.02 |
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부정적분 : 적분상수의 역습 (0) | 2012.11.02 |
ln|x| 미분하면 왜 1/|x| 가 아닌 1/x죠?
첫번째 질문 1/|x| 라고 써도 되나요?
두번째 질문 왜 1/x라고 써도 무방하나요?
답변
범위를 나눠서 생각해 보세요.
1. x>0
2. x<0
결론적으로 같습니다.
삼각함수 역수 (0) | 2012.11.02 |
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역함수, 전단사함수 (0) | 2012.11.02 |
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분수함수 미분 - 곱의 미분법으로 (0) | 2012.11.02 |
미분소는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 무한소 값으로, dx와 같이 나타낸다. 보통 함수의 작은 변화값을 나타내는 기호로는 Δx, δx 등이 사용되지만, dx는 무한히 작은 값을 의미한다.
예를 들어, y가 x에 대한 함수일 때, x의 변화량 dx에 대한 y의 변화량 dy는 다음과 같다.
여기에서 dy/dx는 y를 x로 미분한 도함수로, dy를 dx로 나눈 값과 같다. 즉, Δx가 무한히 작은 경우 Δy/Δx는 y의 도함수가 된다.
미분소를 수학적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이때 미분소는 일반적인 실수 범위의 수는 아니며, 선형 변환, 비표준 해석학, 닐포텐트(nilpotent) 등의 방법으로 정의할 수 있다.
역함수, 전단사함수 (0) | 2012.11.02 |
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ln|x| 미분하면 왜 1/|x| 가 아닌 1/x ? (0) | 2012.11.02 |
부정적분 : 적분상수의 역습 (0) | 2012.11.02 |
분수함수 미분 - 곱의 미분법으로 (0) | 2012.11.02 |
로피탈의 정리 (0) | 2012.11.02 |
요점은, 같은 식에 대한 부정적분후 나오는 상수들은 적분상수 C 로 취급한다.
부정적분 : 적분상수의 역습 - " 제목만 거창하게 잡아보았습니다 ^^"
- 적분상수의 차이가 부정적분의 결과를 다르게 가져올 수 있으나, 사실 같은 것 이다
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예전부터 생각하고 있던 것이었는데 몇시간전에 지식인에 같은 내용의 질문을 하는 분이 계셔서
(사실 다른분께 선수당해서 답변을 달지 못했습니다 ㅠㅠㅠㅠ)
오픈백과에 올려봅니다..
이 내용이 생소하신 분들이면 유익한 정보가 되었으면하고,
이미 아시는 분들을 다시한번 확인하는 기회가 되었으면 합니다
감사합니다
ln|x| 미분하면 왜 1/|x| 가 아닌 1/x ? (0) | 2012.11.02 |
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미분소 d, dx (0) | 2012.11.02 |
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로피탈의 정리 (0) | 2012.11.02 |
극한값 , 발산 (0) | 2012.11.02 |
http://blog.naver.com/kor31/80013538918
f(x)/g(x) 일때
f'(x)/g'(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)/g^2(x)
f'(x) f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
----- = ---------------------
g'(x) g^2(x)
[출처] 분수함수 미분 공식|작성자 막걸리
미분소 d, dx (0) | 2012.11.02 |
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로피탈의 정리 (0) | 2012.11.02 |
극한값 , 발산 (0) | 2012.11.02 |
자연대수 e 그래프 그리기 [영상강의] (0) | 2012.11.02 |
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC
먼저 정리를 하자면 0/0, ∞/∞ 꼴에서 로피탈의 정리 사용이 가능한데
에서 g(x)≠0 이어야 하고 f', g' 후에도 f'(x)/g'(x) 에 극한값이 존재 해야 한다
그러나 한번 미분 후 0/0, ∞/∞ 꼴이 반복된다면 이러한 꼴이 나타나지 않을때까지
계속 반복을 해주어 극한값을 찾아낸다
의 값 A가 확장된 실수상에서 존재하면, 아래의 극한값은 A와 같다.
[but]
복소함수에의 적용 불가
무한대 근처에서의 진동할 때의 적용 불가
로피탈의 정리(l'Hôpital's rule, 또는 l'Hospital's rule)은 해석학 및 미적분학에서 사용되는 함수의 극한에 관한 정리의 하나이다. 함수의 도함수를 사용하여, 부정형(不定形)의 극한값을 계산하는 데 이용된다.
이 정리의 이름은 17세기에 활동하였던 프랑스의 수학자이자 후작인 기욤 드 로피탈(Guillaume de l'Hôpital)의 이름에서 유래되었다. 로피탈은 그의 저서인 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes)에서 이 정리를 소개하였다.
이 정리는 베르누이의 규칙(Bernoulli's rule)이라는 이름으로 불리기도 한다.[1]
엄밀한 표현 [편집]
확장된 실수 상의 구간 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능한 함수 f(x) , g(x)가 있다. 라 하고, 이때 아래의 함수 f , g 의 c로의 극한의 값이 0이거나
모두 발산하고
아래의 극한
의 값 A가 확장된 실수상에서 존재하면, 아래의 극한값은 A와 같다.
예를 들어, 의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.
다음 극한이 존재한다는 조건이 필수적이다.
미분된 함수의 극한이 존재하지 않을 경우 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어, 일 경우,
의 값은 존재하지 않지만, 다음 극한은 존재한다.
복소함수에의 적용 불가
무한대 근처에서의 진동할 때의 적용 불가
부정적분 : 적분상수의 역습 (0) | 2012.11.02 |
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분수함수 미분 - 곱의 미분법으로 (0) | 2012.11.02 |
극한값 , 발산 (0) | 2012.11.02 |
자연대수 e 그래프 그리기 [영상강의] (0) | 2012.11.02 |
이차함수, 그래프 (0) | 2012.11.02 |
미적분학 | |||
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x에 대한 함수 f(x)에서, x가 어떤 값 a에 한없이 가까워지면 f(x)도 어떤 값 c에 한없이 가까워질 때 f(x)가 c에 수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,
0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.
목차[숨기기] |
극한이 존재하지 않는 경우를 발산한다고 한다. 이때 함수값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다.
예를 들어, 의 경우 x가 0에 가까워질 때 f(x)는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다.
함수의 극한은 일반적으로 엡실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의한다.
모든 양의 실수 ε에 대해, 어떠한 실수 δ가 존재하여 0 < | x − p | < δ일 때 항상 | f(x) − c | < ε가 성립하면, 이때의 극한값은
로 정의한다.
좌극한과 우극한도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 δ에 대한 조건이 0 < | x − p | < δ대신, 좌극한의 경우 0 < p − x < δ, 우극한의 경우 0 < x − p < δ가 된다.
===
x가 어떠한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 극한값을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 ε에 대해, 어떠한 실수 S가 존재하여 x > S(양의 무한대) 또는 x < S(음의 무한대)일 때 항상 | f(x) − c | < ε가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.
함수의 극한은 다음과 같은 성질을 지닌다.
일 때 :
분수함수 미분 - 곱의 미분법으로 (0) | 2012.11.02 |
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로피탈의 정리 (0) | 2012.11.02 |
자연대수 e 그래프 그리기 [영상강의] (0) | 2012.11.02 |
이차함수, 그래프 (0) | 2012.11.02 |
포물선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
http://blog.naver.com/dhhansh/100067531431
핵심부분 캡쳐
y = ( 1 + 1/x ) 의 x 제곱 이란 함수 많이 봤던 함수지 ?
이 함수의 무한대로의 극한이 자연 대수 e 란 것 알지 ?
모르면 이과생 아니야.
근데 이 함수의 그래프는 그릴 수 있나 ?
그래프 그리는 것이 쉽진 않을 거야.
그래도 워낙 유명한 식이니 어떻게 생겼을까 한번쯤 고민은 해봤겠지 ?
위 동영상의 5분 20초에 나오는 설명을 수정해야 할 거 같아요.
a의 b제곱이 실존하는 숫자가 아니라는 예를 들기위해 b=(-1/2)를 썼는데 이럴경우, 허수가 되어 실존하는 수는 아니지만, 허수라는 의미는 있는 수가 되어버렸군요. 아예 의미가 없는 수가 되도록(즉, 지수법칙이 무색하도록) b=(-2/4)를 사용할 걸 하는 후회가 듭니다.
아래 댓글중 수학사랑님의 댓글(2012.4.11)을 참고해주세요. 수학 사랑님의 조언에 감사드립니다.
로피탈의 정리 (0) | 2012.11.02 |
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극한값 , 발산 (0) | 2012.11.02 |
이차함수, 그래프 (0) | 2012.11.02 |
포물선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
일차함수, 일차 방정식,직선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
이차 함수(Quadratic function)는 함수의 최고차항의 차수가 2인 함수를 말한다. 이차 함수의 일반형은 다음과 같다.
또한 다음과 같은 형태를 이차 함수의 표준형이라 한다.
x절편을 보다 쉽게 알아보기 위해서 다음과 같은 형태를 사용하기도 한다.
그래프 [편집]
이차 함수y = ax2 + bx + c의 그래프는 포물선 형태이다.
이차 함수의 개형은 최고차항 a의 부호에 따라 다음과 같이 나눠진다.
이차 방정식 ax2 + bx + c = 0의 해는 이차 함수y = ax2 + bx + c의 x절편이다. 따라서, 판별식 의 값에 따라 x절편의 개수를 구할 수 있다.
이차 함수y = ax2 + bx + c에서 x에 0을 대입하면 y=c가 된다. 따라서 이차 함수의 y절편의 좌표는 (0,c) 이다.
이차함수y = a(x − p)2 + q에서 x = p + h와 x = p − h 를 각각 대입하면 y = ah2 + q로 값이 같다. 따라서, 이차함수는 직선에 대해 대칭이고, 이 직선을 축이라고 한다. 이차함수의 일반형에서 축의 방정식은 다음과 같다.
이차함수의 두 x절편을 알 때, 다음과 같이 구할 수 있다.
이차함수와 축의 방정식의 교점을 꼭지점이라 하고 이차함수는 최고차항a의 부호에 따라 꼭지점에서 최대값 혹은 최소값을 갖는다.
이차함수가 표준형과 일반형으로 주어졌을 경우 각각의 꼭짓점의 좌표는 다음과 같다.
이차함수 y = a(x − p)2 + q에서 꼭짓점을 A, x절편들을 각각 B, C라고 할 때, △ABC의 넓이 ×q 가 성립한다.
극한값 , 발산 (0) | 2012.11.02 |
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자연대수 e 그래프 그리기 [영상강의] (0) | 2012.11.02 |
포물선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
일차함수, 일차 방정식,직선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
양함수와 음함수의 미분 (0) | 2012.11.02 |
http://blog.naver.com/undergrd/140041306107
꼭지점의 좌표가 (h, k)이고, 대칭축이 x = h(수직) 인 포물선의 방정식은
y = a( x - h )² + k
a가 양수 이면, 위쪽으로 열린 모양 ( ∪ )
a가 음수 이면, 아래쪽으로 열린 모양 ( ∩ )
꼭지점의 좌표가 (h, k)이고, 대칭축이 y = k(수평) 인 포물선의 방정식은
x = a( y - k )² + h
a가 양수 이면, 오른쪽으로 열린 모양 ( ⊂ )
a가 음수 이면, 왼쪽으로 열린 모양 ( ⊃ )
공통 : a가 0에 가까워질수록 포물선은 더 넓게 퍼진다.
자연대수 e 그래프 그리기 [영상강의] (0) | 2012.11.02 |
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이차함수, 그래프 (0) | 2012.11.02 |
일차함수, 일차 방정식,직선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
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삼각함수의 역함수, 역수 구별 (1) | 2012.11.02 |
일차 함수(一次 函數)는 최고차항의 차수가 1인 함수를 뜻한다. 모든 일차 함수는 f(x) = ax + b(단, a, b는 상수)의 꼴로 나타낼 수 있으며, a를 기울기라 한다.
일차 함수 f(x) = ax + b는 다음과 같은 특징을 갖는다.
일차함수의 그래프는 직선으로 나타난다.
직선의 방정식 [편집]
y축과 평행하지 않은 직선은 일차식
의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 a를 직선의 기울기라고 한다.
일반적인 직선의 방정식은 ax + by + c = 0 으로 나타낼 수 있으며, y축과 평행한 직선까지 나타낼 수 있다.
직선은 y = ax + b는 다음과 같은 특징을 갖는다.
일차 함수 y = ax + b, y = a'x + b'의 그래프는 다음과 같은 특징을 갖는다.
변수가 두 개인 일차 방정식 [편집]
일차 방정식은 일차 함수와 밀접한 연관이 있다. 두 개의 변수를 가진 일차 방정식은 실질적으로 일차 함수가 된다. 또한 이것은 좌표평면에서 직선이 되므로 직선의 기하학적 성질과 연관이 있으므로 직선의 방정식이라고도 부른다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.
동류항 정리를 한 이후에는 각 변수들은 다른 변수들과의 곱으로 나타내면 안되고, 각 변수도 1 이외의 다른 지수를 가져서는 안 된다. 예를 들어 xy,x2,y1 / 3,sin(x)와 같은 항들이 있어서는 안 되며, 이러한 항들은 비선형항이 된다.
좌표평면은 기하학적 정보와 대수적 정보 사이의 변환을 제공해주는 도구이므로, 직선을 결정짓는 기하학적인 정보를 활용하여 직선을 표현하는 방정식을 만드는 다양한 방법이 중학 교과과정에 잘 나와있다.
직선의 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.
여기서 A와 B는 동시에 영이 되면 안 된다.
기울기(gradiant) m과 y 절편(y-intercept) b가 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.
기울기(gradiant) m과 한 점 (x1,y1)이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.
서로 다른 두 점 (x1,y1),(x2,y2)이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.
이 때, 이라면 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.
x 절편 a와 y 절편 b가 주어진 경우 직선의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 a와 b는 모두 영이 아니어야 한다. 이 경우는 일반적인 직선의 방정식 형태에서 A = 1 / a,B = 1 / b,C = 1을 대입한 형태와 같다.
직선위의 모든 점은 모든 실수 값에 대응된다. 그러므로 실수범위에서 변하는 하나의 변수로서 직선을 표현하는 것이 가능하다.
위와 같이 연립 방정식을 이용하여 매개변수 형태(Parametric form)로 표현할 수도 있다. 물론 T,U,V,W는 모두 고정된 상수값이고, t의 값이 변하면서 그에 상응하는 x,y값이 변화한다. 이 경우 기울기는 가 되고, x 절편은 , y 절편은 가 된다.
직교 좌표와 극좌표는 모두 평면위의 점을 표현하는 방법이다. 따라서 직선을 극좌표형식(Polar Form)으로 표현할 수도 있다.
이때 m은 기울기가 되고 b는 y 절편이 된다. θ가 영이 되면 안 된다.
일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. 일반적으로 n개의 변수를 가지고 있다면 다음과 같이 표현된다.
여기서 a1,....an은 상수이고 x1,....xn은 변수가 된다. 이러한 방정식은 n 차원 유클리드 공간에서 n − 1 차원 초평면(hyperplane)을 이루게 된다.
이차함수, 그래프 (0) | 2012.11.02 |
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포물선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
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출처 : 위키백과
양함수와 음함수의 예 [편집]
몇 가지 예를 통해 음함수와 양함수를 쉽게 이해할 수 있다.
다음 함수는 음함수이다.
이 식을 y에 대해 정리하면 양함수가 된다. 즉,
기본적으로 음함수로 표현된 모든 일차함수는 양함수로 표현가능하다.
다음 식은 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 표현한다.
이것은 음함수이다. 그러나 하나의 독립변수에 대해 두 개의 종속변수가 할당되므로 이 식은 함수가 아니다. 본질적으로 이 식은 다음 두 개의 양함수를 합친 것이다.
이런 의미에서 일종의 함수로서 취급할 수 있고, 따라서 그 미분도 구할 수 있다.
주어진 양함수의 역함수를 구하기 위해 독립변수와 종속변수를 바꾸면 즉시 음함수가 된다. 즉,
이 함수는 양함수이지만, 그 역함수를 구하기 위해 독립변수와 종속변수를 바꾼 다음 식은 음함수가 된다.
이 식을 양함수로 바꿀 수 있다면 다음과 같이 표현될 것이다.
미적분학에서, 음함수의 미분(Implicit differentiation)이란, 연쇄법칙(Chain rule)을 이용한 미분법을 말한다. 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 미분한 다음, dy / dx를 계산한다. 이 결과는 양함수로 바꾼 후에 통상적인 미분을 시행한 결과와 같지만 계산이 수월하다는 장점이 있다. 그러나 경우에 따라 양함수로 먼저 바꾸는 쪽이 더 쉬운 경우도 있다.
다음과 같은 음함수를 미분하려고 한다.
이를 양함수로 바꾸어 미분하면 다음과 같다.
이번에는 주어진 음함수에 대해 그대로 양변을 미분해보자.
간단한 미적분학의 지식을 통해 다음과 같이 됨을 알 수 있다.
그리하여 양함수를 미분했을 때와 동일한 결과를 얻게 된다.
단위원의 방정식이 주어져 있다.
양변을 미분하여 다음을 얻는다.
y2을 미분할 때 연쇄법칙(Chain rule)을 이용하였다. 또는 합성함수의 미분이라고 생각해도 좋다. 그래서 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
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일차함수, 일차 방정식,직선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
삼각함수의 역함수, 역수 구별 (1) | 2012.11.02 |
합성함수 (0) | 2012.11.02 |
삼각함수 sin,cos,tan 미분 (0) | 2012.11.02 |
출처 :
일반함수일때는
역함수는 f^-1(x) 이렇게 쓰고 역수는 f(x)^-1 이렇게 쓰기때문에
구별이 가도..
삼각함수 있때는 원래
Sin^n(x)이렇게 쓰잖아요.. 그럼 역함수 와 그냥 역수 일때 구별할수 없을것
같은데 예를 들면
1/Sin(x) 과 사인의 역함수와 어덯게 구별하나요..
삼각함수의 역함수는 sin-¹(x) 라고 쓰구요.
삼각함수의 역수는 (sin(x))-¹ 라고 써요.
ex)
일차함수, 일차 방정식,직선의 방정식 (0) | 2012.11.02 |
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http://www.mathteacher.pe.kr/mt_02/mt08_05.htm
5. 합성함수와 그 성질
함수 f : X → Y, g : Z → W 에 대하여 f(X)⊂Z 이 성립하면 X 에서 W 로의 함수가 정의된다. 이 때의 함수를 f와 g의 합성함수라고 하고 기호 gof 라고 나타낸다.
합성함수의 성질
㉠ gof≠fog
㉡ ho(gof)=(hog)of=hogofProblem 8-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.
- f(x)=3x-2, g(x)=x2+1일 때 다음을 구하시오.
(1) (gof)(x) (2) (fog)(x)(답) (1) (gof)(x)=9x2-12x+5 (2) (fog)(x)=3x2+1
(1) (gof)(x)=g(f(x))={g(x)}2+1=(3x-2)2+1=9x2-12x+5
(2) (fog)(x)=f(g(x))=3g(x)-2=3(x2+1)-2=3x2+1- f(x)=2x+1, g(x)=x-3 일 때 foh=g 를 만족하는 함수 h 를 구하시오.
(답) h(x)=x-2
fog=h 이므로 모든 x 에 대하여 (foh)(x)=g(x)
(foh)(x)=f(h(x))=2h(x)+1이므로
2h(x)+1=x-3 에서 h(x)=x-2- f()=3x+2일 때 f()를 구하시오.
(답) -4x+1
f()=3x+2 ...① 에서 =X 라고 하면 x=2X-1
①에 대입하면 f(X)=3(2X-1)+2=6X-1
∴ f()=6()-1=2(1-2x)-1=-4x+1- f : R → R, f(x)=ax (a≠0)일 때 함수 fof 가 항등함수 I 가 되도록 a 를 정하시오.
(답) a=±1
(fof)(x)=f(f(x))=af(x)=a2x
항등함수 I 는 모든 x 에 대하여I(x)=x 이므로
a2x=x 에서 a2=1 ∴ a=±1
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!! 앞에 c 로 시작하는 것을 미분하면 - 로 나온다
(sin(x))'=cos(x)
(cos(x))'=-sin(x)
(tan(x))'=ses^2(x)
cos^2(x) + sin^2(x) =1
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음수의 제곱근 설명과 [영상자료] (0) | 2012.11.02 |
1. ∑ 의 뜻 → a1 + a2 + a3 + … + an = ☞ a1, a2, a3, …, an ⇔ ak (k = 1, 2, 3, …, n) 2. ∑ 의 기본성질 1) = cn (단, c는 상수)→= c+c+c+…+c = cn |
Problem 3-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.
1) 2, 5, 8, … , 41 은 첫째 항이 2, 공차가 3 인 등차수열 → k 째 항은 2+(k-1)×3 = 3k-1
2) 3k-1 = 41 → 3k = 42 ⇔ k = 14 ∴ 2 + 5 + 8 + … + 41 =
☞ 첫째 항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 k 째 항 → a+(k-1)d
1) 3, 5, 7, … , 19 는 첫째 항이 3, 공차가 2 인 등차수열 → k 째 항은 3+(k-1)×2 = 2k+1
2) 2k+1 = 19 → k = 9 ∴ 32+ 52+72+ … + 192 =
☞ 수열의 합을 ∑ 꼴로 나타내려면 … → k 째 항을 먼저 구합니다. ^^
=2-3+1·10 = 2·30 - 3·50 + 10 = -80^^
☞ ∑ 의 세 가지 기본성질
1)= cn (c 는 상수) 2) = c 3)
1) = = (21+22+23+…+210)+3(1+2+3+…+10)-40
2) 21+22+23+…+210 = 2(210-1)/(2-1) = 211-2 = 2046 ← 등비수열의 합 Sn = a(rn-1)/(r-1)
3) 1+2+3+…+10 = (10/2)(1+10) = 55 ← 등차수열의 합 Sn = (n/2)(a+l)
4) 준식 = 2046+165-40 = 2171 ^^
= a1+a2+a3+…+an = a(an-1)/(a-1) → 첫째 항이 a, 공비가 a 인 등비수열의 합
1. = 1+2+3+ … + n = n(n+1) ← 첫째 항이 1, 공차가 1 인 등차수열의 합 2. = 12+22+32+ … +n2 = n(n+1)(2n+1) → 자연수 제곱의 합 3. = 13+23+33+ … +n3 = {n(n+1)}2 → 자연수 세제곱의 합
|
Problem 3-2 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.
☞ ∑ 의 세 가지 기본성질
1)= cn (c 는 상수) 2) = c 3)
☞
☞ = (a1+a2+a3+…+an-1+an)-(a1+a2+a3+…+an-1) = an
☞
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동영상강의 : http://brand.pandora.tv/my.sagye/40757419
음수의 제곱근의 성질 : http://blog.naver.com/ksbs1957/120122189661
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닮은비, 넓이의 비 (0) | 2012.11.02 |
테일러 급수란?
:테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 어떤 함수를 다항식의 형태로 근사하는 방법이다.
이 이름은 영국의 수학자 브룩 테일러의 이름에서 따온 것이지만, 이것을 브룩 테일러가 처음으로 발견한 것은 아니다.
테일러 급수는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.
이를 공식화 하면 다음과 같다.
설명....
대수함수란 대수방정식으로 표현할수 있는 함수를 대수함수라고 합니다.
대수방정식이란 미지수에 관한 대수식 (다항식,유리식 또는 무리식)만으로 이루어진 방정식입니다.
더 정확하게 표현하면 다항식이 대수함수가 아니고 덧셈,뺄셈,곱셈,나눗셈,거듭제곱에 의해서 다항식으로 변형할수 있는 형태의 식을 대수식이라고 합니다.
예) 다항함수,유리함수,무리함수,.......
초월함수란 대수함수 이외의 함수를 말합니다.
즉, 덧셈,뺄셈,곱셈,나눗셈,거듭제곱을 하여도 다항식으로 변형이 되지 않는 함수를 말합니다.
예) 삼각함수,지수함수,로그함수,.........
[출처] 대수 함수 / 초월 함수|작성자 규승
위키벡과
2x,3xy2와 같이 몇 개의 수나 문자들의 곱으로 나타내어진 식을 단항식이라고 한다. 단항식에서 특정한 문자에 주목할 때, 곱해진 문자의 개수를 그 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 나머지 부분을 계수라고 한다. 단항식 또는 단항식의 합으로 나타내어진 식을 다항식이라고 한다.
다항식(多項式, 문화어: 여러다미식)은 대수학에서 중요하게 다루어지는 수학적 개념으로 역사적으로도 현대대수학의 성립에 큰 역할을 했다.
다항식은
과 같은 형태의 식을 말한다. 각각의 「3x3」, 「-7x2」, 「2x」, 「23」을 항 (項, term)이라 부르고, 여러 개의 항으로 이루어졌기 때문에 다항식이라고 부른다.
Tip 분수 미분 공식
(단, )
http://blog.naver.com/ama1088/90048375053
아래 강의는 위 링크에서 강의를 하시는 슈인샘의 강의중 캡쳐를 한 것입니다
p.s 이시대의 몇안되는 진정한 수학자이시죠
항등식 f(x) 를 계속 미분해나가면서 계수를 구해나가고 규칙성을 찾아낸다
초월함수 는 대수적 함수중 유한개의 항으로 이루어진 다항함수로 나타낼 순 없지만
무한히 항이 많은 다항함수의 급수로 표현될 경우 초월 함수 f(x) 를 다항함수형태로 표현 할 수 있다
이때의 표현식을 테일러 급수라 하고 ∝ = 0 일때 x 에 관한 식이 됨으로 이를 맥럴린 급수라 한다
변수 x 만 남게 되면 연산이 쉬워진다는 특성이 있어 특징적 이름이 하나 더 있다 정도로 기억하면 될듯..
정리 : 초월 함수 f(x) 를 다항함수로 근사 시킨 것 = '테일러 급수' or '맥럴린 급수'
- 핵심 : 다항함수로 무한히 더해 나간다는 것
초월 함수중 하나인 sin(x) 를 맥럴린 급수를 이용하여 3차 까지만의 결과로 근사적 초월 함수 sin(x)를 구해본다면
와 같다, 즉 차수가 커질 수록 초월함수 sin(x) 에 가까워지는 것이고 차수가 작을 수록 sin(x) 와
오차가 좀 더 있는 sin(x) 를 구할 수 있다는 것.
: sin(x) 를 맥럴린으로 구할때 차수가 짝수인 것들은 계수가 0 이다
-> sin 을 미분하면 cos 이걸 다시 미분하면 -sin 이걸 미분하면 -cos 상황이 cos->sin->cos->sin 반복...
이며 맥럴린 방식은 ∝ = 0 일때의 방식임으로 sin(0) = 0 이 되기때문
즉 홀 수 차수 인 항상들 계산해 나가면 된다.
다음은 cos(x) 에 대한 맥럴린 급수의 풀이이고 sin 을 풀때와 반대로 짝 수차 항들을 계산, 더해주면 되겠다
cos(x) 로의 근사..
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닮음비라는 것은 두 도형이 닮음일 때, 거기서 대응하는 변의 길이의 비를 말하는 것입니다.
예를 들면, 세 변의 길이가 각각 5cm, 4cm, 3cm인 삼각형과 10cm, 8cm, 6cm인 삼각형이 있다면
그 둘은 닮음이고(SSS닮음), 그 때의 닮음비는 1:2라고 하는 거죠.
그래서 닮은 비가 1:2 라는 것은 하나의 정사각형의 한변이 1 이라면 2배의 변을 갖은 정사각형과의 비는
1인 정사각형 : 2인 정사각형
->1:2
3D 또는 2D 에서 Scale 을 떠올리면된다.
그리고 이때 알 수 있는 것은 넓이의 비가 m^2 : n^2 이라는 것
정사각형 닮은 비가 1:2 라면 넓이의 비는 1^2 : 2^2 = 1 : 4
http://www.bemath.co.kr/m/dic/m2/2-084.html
참고 : 닮은도형, 닮음(평면도형), 닮음(입체도형), 닮음비(평면도형), 닮음비(입체도형), 제곱, 닮은도형의 부피의 비
만약 닮은 비가 m : n 이라면! (스케일된 도형이라면)
부피의 비는 m^3 : n^3 이 된다
http://www.bemath.co.kr/m/dic/m2/2-085.html
참고 : 닮은도형, 닮음(평면도형), 닮음(입체도형), 닮음비(평면도형), 닮음비(입체도형), 세제곱, 닮은도형의 넓이의 비
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등비수열(等比數列)은 각 항이 그 앞 항과. 일정한 비를 가지는 수열을 말한다. 그리고, 이 일정한 비를 공비(共比)라고 한다.
첫항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.
ex)
∞
∑ ( -1/3 )^n
n=1
은 위 조건식에 맞춰 n=1 일때가 첫항 a 가 된다 즉
a=(-1/3)^1 = -1/3
ar=(-1/3)^2 = 1/9
임으로 공비는
ar=(-1/3)^2 = 1/9
r=((-1/3)^2)/a = (1/9)/a
r=((-1/3)^2)/(-1/3) = (1/9)/(-1/3)
r=(1/9)/(-1/3) = (1/9)/(-1/3)
r=-3/9 = -3/9
r=-1/3 가 된다.
급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.
등비수열의 예 [편집]
첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.
첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.
첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.
첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.
등비수열은 n ≥ 1에 대해다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.
이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.
등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가
등비수열은(공비가 -1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 되는 관계를 가지고 있다.
0이 아닌 세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, b를 a와 c의 등비중항이라 한다.
따라서 세 수 a, b, c에 대하여, b가 a와 c의 등비중항이라면
또 b2 = ac에서 이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.
a1부터 an까지 더한 합인 등비급수 Sn은 다음과 같이 구할 수 있다.
여기에서 r의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.
무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 합으로 다음과 같이 정리된다
lim n->∞ a(1-r^n)/(1-r)
= lim n->∞ a/(1-r) - ar^n/(1-r)
임으로 |r| < 1 이면 ar^n 은 0 으로 수렴하고 - ar^n/(1-r) 또한 0 으로 수렴하게 되어 남는 ㅓㅅ은
lim n->∞ a/(1-r) 이 된다, 즉 이 값으로 수렴하게 된다 (|r| < 1 일때)
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절대값과 그래프 중 |Y| = f(x) 의 경우... (0) | 2012.11.02 |