수학 (Mathematics)

그린 함수 2012.11.03
편미분 방정식 2012.11.03
상미분 방정식 2012.11.03
미분 방정식을 하는 이유 2012.11.03
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일반적인 판정법 2012.11.03
근판정법 증명 2012.11.03
비판정법 증명 2012.11.03

그린 함수

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수학에서 그린 함수(Green's function)는 미분방정식 을 풀기 위해 사용하는 함수로, 물리학, 공학의 전반에 걸쳐 응용되고 있으며, 특히 물리의 양자장 이론에서 자주 쓰인다. 이 함수는 1830년에 이 방법을 개발한 영국의 수학자 조지 그린 의 이름을 따 명명되었다.

수학 들머리

[편집]정의와 응용

선형 미분 연산자 $L=L(x)$ 와 함수 $f(x)$ 가 정의되어 있으며,

$L u(x) = f(x) \mbox{ (1)}$

을 만족하는 $u(x)$ 를 찾으라는 문제가 주어졌다고 하자. $f(x)=0$ 일 때 해는 제차 상미분 방정식이므로, 비교적 구하기 간단하지만, $f(x)$ 가 조금이라도 복잡해지면 비제차 상미분 방정식이므로 풀기가 어려워진다. 만일, 아래와 같은 성질을 가진 함수 $G(x,s)$ 를 찾을 수 있다고 하면,

$L G(x,s) = \delta(x-s) \mbox{ (2)}$

(단, (2)에서 $\delta$ 는 디랙 델타 함수이다.) 디랙 델타 함수의 성질을 이용해 해를 쓸 수 있다. 해는 다음과 같다.

$u(x) = \int G(x,s) f(s) ds \mbox{ (3)}$

참고 문헌

Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

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편미분 방정식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

(편미분방정식에서 넘어옴)

편미분 방정식(偏微分方程式, partial differential equation)은 수학에서 여러 개의 독립 변수로 구성된 함수와 그 함수의 편미분으로 연관된 방정식이다. 각각의 변수들의 상관관계를 고려하지 않고 변화량을 보고 싶을 때 이용할 수 있으며, 상미분 방정식에 비해 응용범위가 훨씬 크다. 소리나 열의 전파 과정, 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 수많은 역학계에 관련된 예가 많다.

수학 들머리

[편집]편미분 방정식의 예

참고 문헌

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》, 8판, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2
Andrei D. Polyanin, William E. Schiesser, Alexei I. Zhurov. Partial differential equation. 《Scholarpedia》 3 (10): 4605.doi:10.4249/scholarpedia.4605.
에릭 웨이스타인, MathWorld - Partial Differential Equation

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상미분 방정식

2012. 11. 3. 12:07

상미분 방정식

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(상미분방정식에서 넘어옴)

상미분 방정식(常微分方程式, ordinary differential equation, ODE)은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 가리킨다.

예를 들어, 뉴턴의 제2 운동법칙은 상미분 방정식으로 나타낼 수 있는데, 어떤 시간 $t$ 에 대하여 거리가 $x(t)$ , 힘의 크기가 $F$ 인 경우 운동법칙을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t))$

상미분 방정식은 여러 분야에서 이용된다. 아이작 뉴턴, 라이프니츠, 베르누이 일가, 야코포 리카티(Jacopo Riccati), 알렉시스 클레로(Alexis Clairaut),달랑베르(Jean le Rond d'Alembert), 레온하르트 오일러 등 여러 수학자들이 미분방정식 분야의 발전에 기여했다.

상미분 방정식이 선형인 경우는 해석적인 방법으로 풀 수 있는 반면, 비선형인 경우에는 일반적인 해를 구하는 것이 힘들거나 불가능하다. 이러한 경우 근사적인 해를 구하는 접근법도 연구되고 있다.

편미분 방정식은 여러 변수에 대한 함수를 편미분하는 형식을 취하고 있으며, 이는 상미분 방정식과는 구별된다.

[편집]정의

변수 $x$ 에 대한 함수 $y(x)$ 에 대해, $x$ , $y$ , y의 도함수로 구성된 어떤 방정식이

$F(x, y(x), y'(x), \cdots, y^{(n-1)}(x)) = y^{(n)}(x)$

와 같은 형태로 표현될 수 있는 경우( $y^{(k)}$ 는 y의 k차 도함수), 이 방정식을 n차 상미분 방정식이라고 정의한다.

만약 방정식이

$F(x,y(x),y'(x),y''(x),...,y^{(n-1)}(x))=0$

의 모양으로 표현된다면 이를 내재적 형태(implicit form)라고 한다. 이에 반해 첫 번째 식의 경우는 명시적 형태(explicit form)라고 한다.

상미분 방정식이 y 도함수의 선형 결합인 경우, 즉

$y^{(n)} = \sum_{i=1}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)$

의 꼴로 표현할 수 있는 경우 이 상미분 방정식은 선형이라고 정의한다.

여기서 a_i(x)와 r(x)는, 변수 x에 대한 연속함수이다. 함수 r(x) 는 초항(source term)이라 부르며, 만약 r(x)=0 이라면 이 선형 미분방정식은 동차 선형 미분방정식(Homogeneous linear differential equation)이라고 한다.

[편집]선형 상미분 방정식

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[편집]제차 선형 상미분 방정식

[편집]1계 제차 선형 상미분 방정식

$y'+p\left( x \right)y=0$

와 같은 1계 제차 선형 상미분 방정식은 변수분리를 통해

$\frac{dy}{y}=-p\left( x \right)dx$

로 나타낼 수 있고, 적분을 통해 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$\ln \left| y \right|=-\int_{{}}^{{}}{p\left( x \right)dx+c*}$

따라서 아래의 식으로 손쉽게 1계 제차 선형 상미분 방정식의 해를 구할 수 있다.

$y\left( x \right)=ce^{-\int_{{}}^{{}}{p\left( x \right)dx}}$ , ( $y\ne 0$ 이면, $c=\pm e^{c*}$ )

이때, $c=0$ 이면 자명한 해 $y(x)=0$ 를 얻는다.

[편집]2계 제차 선형 상미분 방정식

2계 선형 상미분방정식은 역학, 파동, 열전도 등에서 많이 이용된다. 다음 식으로 표현되는 2계 제차 선형 상미분 방정식은

$y''+ay'+by=0$

은 다음과 같은 특성방정식(characteristic equation; 보조방정식)을 이용해 특성을 알아내고, 그 해를 구할 수 있다.

$\lambda ^{2}+a\lambda +b=0$

특성방정식의 각각의 경우에 대한 일반해 및 설명은 아래 표와 같다.

case	근	기저	일반해
$a^{2}-4b>0$	서로 다른 실근 $\lambda _{1},\lambda _{2}$	$e^{\lambda _{1}x},e^{\lambda _{2}x}$	$y=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x}$
$a^{2}-4b=0$	실이중근 $\lambda =-\frac{1}{2}a$	$e^{-ax/2},xe^{-ax/2}$	$y=\left( c_{1}+c_{2}x \right)e^{-ax/2}$
$a^{2}-4b<0$	공액복소수 $\begin{align} & \lambda _{1}=-\frac{1}{2}a+i\omega , \\ & \lambda _{2}=-\frac{1}{2}a-i\omega \\ \end{align}$	$\begin{align} & e^{-ax/2}\cos \omega x \\ & e^{-ax/2}\sin \omega x \\ \end{align}$	$y=e^{-ax/2}\left( A\cos \omega x+B\sin \omega x \right)$

[편집]비제차 선형 상미분 방정식

비제차 상미분 방정식은

$y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)$

와 같이 우항의 $r\left( x \right)\ne 0$ 가 '0'이 아닌 경우를 말한다. 비제차 상미분 방정식의 일반해는

$y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)$

와 같은 형태이다.

비제차 상미분 방정식을 풀이하는 방법에는 다음의 방법들이 있다.

[편집]미정계수법

1. 비제차 상미분 방정식의 $r\left( x \right)$ 를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해 $y_{h}\left( x \right)$ 를 구한다.

2. 우항의 $r\left( x \right)$ 를 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해 풀이한다.

[편집]매개변수변환법

[편집]그린 함수방법

[편집]비선형 상미분 방정식

선형이 아닌 상미분 방정식을 비선형(nonlinear) 상미분 방정식이라 부른다. 비선형 상미분 방정식의 해는 선형방정식에 비해 매우 복잡한 편이다.

비선형 상미분 방정식의 예

비선형 상미분 방정식 풀이 방법

[편집]널리 알려진 상미분 방정식

[편집]참고 문헌

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》, 8판, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2
에릭 웨이스타인, MathWorld - 상미분 방정식

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미분 방정식을 하는 이유

2012. 11. 3. 12:06

미분 방정식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

(미분방정식에서 넘어옴)

미분방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 수학적 방정식이다. 미분방정식의 차수는 방정식에 나오는 도함수가 몇 계 도함수까지 나오는지에 따라 결정된다.

미분방정식은 엔지니어링, 물리학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지하고, 유체역학, 천체역학등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에도 사용된다. 따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다. 물체의 운동이 물체의 위치와 시간값의 변화에 따른 속도로 표현되는 고전역학이 그 대표적인 예다. 뉴턴의 운동 법칙은 물체의 미지의 위치를 시간에 대한 함수로 표현하고, 물체의 위치·속도·가속도·그리고 물체에 작용하는 힘 등을 그 함수에 대한 미분방정식으로 나타냄으로써 이 변량들을 역학적으로 표현할 수 있었다. 흔히 운동방정식이라고 부르는 이 미분방정식은 아주 쉽게 풀리는 경우도 있다.

미분방정식을 사용하여 실세계를 표현한 예로는, 중력과 공기저항만 고려하여 공중에서 떨어지는 공의 속도를 결정하는 것이 있다. 땅을 향한 공의 가속도는 중력에 의한 가속도 마이너스 공기저항에 의한 가속도이다. 중력은 일정하다고 치고, 공기저항은 공의 속도에 비례한다고 하자. 이것은 공의 가속도, 즉 공의 속도의 도함수가 공의 속도에 따라 결정된다는 것을 의미한다. 속도를 시간에 대한 함수로 나타내면 이 미분방정식을 풀 수 있다.

수학에서 미분방정식은 여러 가지 다른 관점에서 연구되고 있는데, 대개 그 해―방정식을 만족시키는 함수의 집합―에 대한 연구가 흔하다. 명쾌한 함수의 형태로 해가 구해지는 것은 가장 간단한 미분방정식들 뿐으로, 어떤 미분방정식은 명확한 해를 구하지 않고, 그 특징만 밝혀지는 경우도 있다. 만약 해를 독립적으로 구하는 것이 불가능하다면, 컴퓨터를 이용해 수적 근사값을 구할 수도 있다. 동역학계 이론에서는 미분방정식으로 표현되는 계의 질적 분석을 중요하게 여기는데, 주어진 정확도 안에서 해를 구하기 위한 많은 수치 해석 방법이 개발되고 있다.

미분 방정식의 목표는 다음 세가지 이다.

특정한 상황을 표현하는 미분 방정식을 발견하는 것.
그 미분 방정식의 정확한 해를 찾는 것.
그 찾은 해를 해석하여 미래를 예측하는 것.

미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다. 그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다.

수학 들머리

[편집]미분 방정식의 종류

미분방정식 이론은 잘 발전되어 왔으며, 학습을 위해 방정식의 형태에 따라 그것을 의미있게 분류시키기도 한다.

[편집]상미분방정식과 편미분방정식

상미분 방정식(ODE, Ordinary Differential Equation)

상미분방정식은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분방정식을 말한다. 간단한 형태로 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다.

편미분 방정식

미지 함수의 독립 변수가 둘 이상인 미분 방정식

[편집]선형과 비선형

선형 미분 방정식
비선형 미분 방정식

[편집]미분 방정식의 예

[편집]제차 상미분 방정식

1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.

$\frac{dy}{dx} + f(x) y = 0,$

여기서 $f(x)$ 는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.

$\frac{dy}{y} = -f(x)\, dx$

위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.

$y = A e^{-F(x)}$

여기서

$F(x) = \int f(x)\,dx.$

$A$ 는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)

$f(x)$ 가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다.

[편집]1차 비제차 상미분 방정식

1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.

1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.

$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$

이 방정식을 푸는 방법은 특별한 "적분 인자", $\mu$ 에 달려있다.

$\mu = e^{\int_{}^{} p(x)\, dx}$

일반적인 1차 상미분 방정식의 양변에 $\mu$ 를 곱하자.

$\mu{\frac{dy}{dx}} + \mu{p(x)y} = \mu{q(x)}$

우리가 선택한 특별한 $\mu$ 의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단한 모양으로 변형된다.

$\mu{\frac{dy}{dx}} + y{\frac{d{\mu}}{dx}} = \mu{q(x)}$

미분에 대한 곱의 법칙에 의해 위 식은 다시 다음과 같이 변형된다.

$\frac{d}{dx}{(\mu{y})} = \mu{q(x)}$

양변은 적분하면,

$\mu{y} = \left(\int\mu q(x)\, dx\right) + C$

를 얻고, 마지막으로 $y$ 대해 풀고, $\mu$ 로 양변을 나누면,

$y = \frac{\left(\int\mu q(x)\, dx\right) + C}{\mu}$

를 얻는다. ( $\mu$ 는 x의 함수이므로 더이상 간단히 할 수는 없다.)

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혼합물 { dx/dt = R_in - R_out }

x = x(t)

dx/dt = 어떤것 A가 녹아 있는 혼합물 상태 에서 어떤것 A 가 변하는 속도

R_in = 혼합물에 어떤것 A 가 들어가는 양

R_out = 혼합물에 어떤것 A 가 나오는 양

R_in , R_out 는 어떤 함수 일 수 있다

이 혼합물 식을 미분방정식으로 변환하여 남아 있는 어떤것 A 의 양 등을 알 수 있다

혼합물에 남아 있는 어떤것을 x(t) 로 놓고 풀어나간다

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A 라는 물체를 불에 데위 일반 집안온도(고정되어 있는 온도 Tm) 보다 높을때

A 물체의 온도가 Tm 온도까지 내려가는데 걸리는 시간은?

뉴턴 냉각법칙 이 다음과 같이 정의 되어 있다

뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = k(T-Tm)

T = T(t)

T = 냉각체 온도함수

Tm = 냉각체 주변 온도 ( 불변 )

Tm 상수 값을 설정하고 이것을 변수분리형으로 나눈다음 적분해 미방을 풀면 T(t) = t 에 관한 함수

로 나타나고 집안온도를 연립해 풀어 해가 나올 수 있으면 좋지만 그렇지 않은 경우

대략 근사치로 푼다

아래는 지식인에서 퍼온글

님이 어느 수준에서 냉각법칙을 공부하시는지 몰라 일단 열에 대한 내용부터 씁니다.

모든 물질은 내부에너지를 갖고 있는데, 그 중 물질이 가지고 있는 평균병진운동에너지가 곧 온도입니다.

온도가 높은 물질은 평균병진운동에너지가 크다는 것이죠.

만약 평균병진운동에너지가 큰 물체와 작은 물체, 즉 온도가 높은 물체와 낮은 물체가 맞닿으면, 온도가 높은

물체에서 온도가 낮은 물체로 에너지가 이동됩니다. (에너지가 많은 곳에서 작은 곳으로 갈 순 있지만 에너지가 없는 곳에서 있는 곳으론 갈 수 없잖아요?) 이때의 에너지를 '열'이라고 하죠.

잡설이 길었는데요. 위의 글의 결론은 '온도차'가 나야 열이 전달된다는 것입니다.

이제 냉각을 생각해보죠. 냉각은 에너지를 빼앗기는 것을 뜻합니다. 즉 온도가 높은 물체가 낮은 물체와 닿아서 에너지를 열의 형태로 빼앗기는 거죠.

뉴턴의 냉각 법칙은 이러한 '냉각속도' = '냉각율'에 대한 것입니다. 이냉각율은 온도차에 비례합니다.

예를 들어 북극에 있는 뜨거운 물은 열대림에 있는 뜨거운 물보다 빨리 식겠죠?

주의할 점은 냉각 법칙은 속도에 대한 거라는 겁니다. 뜨거운 물이랑 차가운 물이 있다면 뜨거운 물이 주위환경과 온도차카 더 크므로 냉각율은 더 크지만, 먼저 주위 온도와 같아지진 않습니다.

(육상선수가 결승선에서 50m 떨어진 곳에서 출발하고 초딩이 결승선에서 1m 떨어진 곳에서 출발하면 초딩이 더 빨리 결승선에 도착하겠죠)

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전미분\quad z\quad =\quad xy\cdot dx+(\combi ^{ 2 }{ 2x }+\combi ^{ 2 }{ 3y }-20)dy=0\quad 미분방정식의\quad 해를\quad 구하라\\ \\ 전미분\quad z에서..\\ \\ M\quad =\quad xy\\ N\quad =\quad \combi ^{ 2 }{ 2x }+\combi ^{ 2 }{ 3y }-20\quad \\ \\ 각\quad M,N\quad 을\quad 반대\quad 변수는\quad z를\quad 전미분하여\quad 나온\quad 항들이기\quad 때문에\\ 다시한번\quad 반대\quad 되는\quad 변수로\quad M,N을\quad 편미분\quad 해서\quad 같은\quad 식이\quad 나오면\\ 완전미분방정식이고\quad 그렇지\quad 않으면\quad 적분상수를\quad 계산해서\quad 곱해줘서\\ 완전미방으로\quad 만들어\quad 푼다\\ \to 한번씩\quad 다른\quad 변수로\quad 편미분을\quad 했기\quad 때문에\quad 같은것인지\quad 아닌지\quad 알\quad 수\quad 있다\\ \\ \frac { \partial M }{ \partial y }\quad =\quad \frac { \partial (xy) }{ \partial y }=x\\ \frac { \partial N }{ \partial x }\quad =\quad \frac { \combi ^{ 2 }{ \partial (2x }+\combi ^{ 2 }{ 3y }-20)\quad }{ \partial x }=4x\\ \\ \frac { \partial M }{ \partial y }\quad \neq \quad \frac { \partial N }{ \partial x }\quad 즉\quad \quad x\neq 4x,\quad 임으로\quad 완전미분방정식이\quad 아니다\\ 완전미분방정식을\quad 만들\quad 수\quad 있는\quad 어떤\quad 수\quad 적분인자를\quad 구한다\\ \\ N,M\quad 중\quad 간단한\quad 것으로\quad 적분인자를\quad 구한다\\ 아래\quad 공식은\quad 증명하기\quad 복잡함으로\quad 나중에\quad 알려준다고\quad 하는것\quad 같음\\ \\ 적분인자는\quad x,y\quad 에\quad 따라\quad 구할\quad 수\quad 있는\quad 방법이\quad 있다\\ \combi ^{ \sint p(x)dx }{ e }\\ \combi ^{ \sint p(y)dy }{ e }\\ \\ p(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ N }(\frac { \partial M }{ \partial y }-\frac { \partial N }{ \partial x })\\ p(y)\quad =\quad \frac { 1 }{ M }(\frac { \partial N }{ \partial x }-\frac { \partial M }{ \partial y })\\ \\ 로\quad 구할\quad 수\quad 있다\quad \therefore \\ \\ M이\quad 더\quad 간단함으로\quad p(x)\quad 로\quad 적분인자를\quad 구한다\\ p(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ xy }(4x-x)=\frac { 3x }{ xy }=3\frac { 1 }{ y }\\ \sint \frac { 3 }{ y }dx=3\sint \frac { 1 }{ y }dx=3lny,\quad 이때의\quad 적분상수\quad C는\quad 나중에\quad 약분됨으로\quad 생략\\ \combi ^{ 3lny }{ e }=\combi ^{ \combi ^{ 3 }{ lny } }{ e }=\combi ^{ lne }{ \combi ^{ 3 }{ y } }=\combi ^{ 3 }{ y }\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\

x\combi ^{ 4 }{ y }\cdot dx+(\combi ^{ 2 }{ 2x }\combi ^{ 3 }{ y }+\combi ^{ 5 }{ 3y }-20\combi ^{ 3 }{ y })dy=0\\ 완전\quad 미방이\quad 됐는지\quad 확인해\quad 본다\\ \\ M,N\quad 다시\quad 정의...\\ M=x\combi ^{ 4 }{ y }\\ N=\combi ^{ 2 }{ 2x }\combi ^{ 3 }{ y }+\combi ^{ 5 }{ 3y }-20\combi ^{ 3 }{ y }\\ \\ \frac { \partial M }{ \partial y }=4x\combi ^{ 3 }{ y }\\ \frac { \partial N }{ \partial x }=4x\combi ^{ 3 }{ y }\\ \therefore \\ \frac { \partial M }{ \partial y }=\frac { \partial N }{ \partial x }\quad 이여서\quad 완전미분방정식(=완전DE)\quad 가\quad 성립\\ \\ \\ 전미분\quad z\quad =\quad \quad x\combi ^{ 4 }{ y }\cdot dx+(\combi ^{ 2 }{ 2x }\combi ^{ 3 }{ y }+\combi ^{ 5 }{ 3y }-20\combi ^{ 3 }{ y })dy=0\\ \\ 이\quad 식을\quad 이제\quad 완전미분방정식으로\quad 푼다\\ \\ 간단한\quad x\combi ^{ 4 }{ y }=M\quad 을\quad \sint Mdx\quad 하여\quad 원래의\quad f\quad 를\quad 구한다면\\ f(x,y)=\quad \frac { 1 }{ 2 }\combi ^{ 2 }{ x }\combi ^{ 4 }{ y }+g(y),\quad \quad g(y)\quad 역과정\quad 적분하여\quad 생기는\quad 어떤\quad 함수\\ \\ \quad 이때의\quad f\quad 를\quad 다시\quad y\quad 에\quad 대해\quad 편미분\quad 하여\quad N\quad 을\quad =\quad 우항에\quad 나열하여\\ 항들을\quad 제거\quad 하면\quad g'(y)\quad 를\quad 구할\quad 수\quad 있고\quad 이것을\quad 다시\quad y\quad 에\quad 대하여\quad 적분하면\\ \\ 원래\quad 함수\quad f(x,y)\quad 에서의\quad g(y)\quad 를\quad 구할\quad 수\quad 있다\\ \\ 그리하여\quad 최종\quad x=y\quad 형태의\quad \quad 해를\quad 구할\quad 수\quad 있다\\ \\ \\ \\

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완전미분방정식과 완전 미분방정식으로 바꿀 수 있는 적분인자, 적분상수를 붙이지 않는 이유

2012. 11. 3. 11:59

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적분인자,

주어진 미방식 이 완전 미분방정식이 안될경우 미방식에 적분인자 라는 e^적분된함수 를 곱해

완전미방식이 되면 변수분리형 미분방정식에 의해 미방의 해를 구할 수 있게 해주는 것을

적분 인자라고 하며 적분인자는

p(x,y) = M

q(x,y) = N

이라고 할대

e^∫ g(x) dx

또는

e^∫ g(y) dy

로 써 구할 수 있으며

g(x) = 1/M( ∂M/∂y - ∂M/∂x )

g(y) = 1/N( ∂M/∂y - ∂M/∂x )

로 연산 할 수 있다

e^∫ g(x) dx 로 예를 든다면 ∫ g(x) dx 를 적분한 다음 적분상수 +c 를 굳이 붙이진 않는데

그이유는 완전 미방으로 변경 하기 위해서

e^∫ g(x) dx 를 각 항에 곱하는데 어차피 적분상수는 상수이기 때문에 약분이 가능함으로 귀찮게

적분상수 C 까지 구하지 않는다

e^∫ g(x) dx 의 형태가 e^적분해서 구한거 * e^적분해서나온상수

의 형태로 되기 때문에 지수법칙에 의해 분리하면 e의 지수가 상수 c 가 된다

아래는 어떤 블로그에서 퍼온 글...

post : http://bluerein_.blog.me/80128584511

대학수학에서

앞에서 일변수함수에 대한 미분과 적분을 끝내고 띵가띵가하다보면

이변수함수라는 놈이 '짜잔~!'하고 등장한다. 극한때부터 뭔말인지 알 수 없는 제한조건을 내걸면서(나는 모든방향에서의 극한이 존재해야 극한이 존재한다고 하는 말을 이해 못했었다 ㅠㅠㅠ1) 결국 미분까지 오게된다. 그런데 미분은 의외로 간단(?)하다. 결국에는 x방향으로의 변화율과 y방향으로의 변화율을 구하라는 것이니깡.

근데 이때, 엄청난 것이 나온다.

우리가 눈여겨볼 것은 빨간색 부분이다.

이런 미분방정식이 있다고 하자.

저건 뭔가 심오하다.

변수분리형으로 풀려해도 x랑 y가 좀처럼 떨어지지 않는 경우가 생기게 되는데2

이럴때에는 어떻게 풀어야할까?

저 미분방정식의 해를 f(x,y)=c이라고 가정해보자.3

그리고 전미분을 한다.

파란 부분을 유심히 보자.

어쩐지 저 미분방정식하고 비슷한 꼴이라고 생각된다.

으음! 설마....!!!

이때 알아두어야 할 것은

f의 2계편도함수가 '존재하고 연속'이라면

가 성립한다는 것이다.

그럼 대체 뭐지? 뭐라는거야?

이런거다.

에서 파란색 부분과

를 같은 꼴이라고 본다면

f가 2번 편미분 가능할때

이므로

라는 것이다.

다시 말하자면

p(x,y)dx+q(x,y)dy=0이 어느 함수 f(x,y)=c의 완전미분이라면

가 성립한다.

이제 이에 관한 새로운 방정식이 나올 차례다.

라는 미분 방정식이

를 만족하면 '완전미분방정식'이라고 한다.(줄여서 완전미방)

그럼 해는 어떻게 구할까?

다음과 같이 구한다.

우선 편미분이란 무엇인지 알아보자.

편미분이란 '하나의 변수를 제외한 나머지 변수를 전부 상수취급하여, 하나의 변수에대한 변화율만을 구하는 것' 이라고 할 수 있다.

이것을 설명한 이유는 나중에 나온다.

이제 해를 구하는 본격적인 작업을 해보자.

가 완전 미방이라고 하자. 그리고 그 해를 f(x,y)=c라고 하자. 그러면

가 성립한다. 파란색 부분과 주어진 미방을 같은 꼴이라고 한다면

이다. 이때 위에서 설명했듯이 편미분은 '피미분변수를 제외한 나머지는 모두 상수취급!'이기 때문에 다음이 성립한다.

음??????????? x랑 y에 관한식 p(x,y)를 'x에 관해서만' 적분한다. y는 상수취급한다. 그리고 적분상수대신 'y에 관한 함수' g(y)를 더해준다.(x로 편미분하면 y는 상수취급하므로 g(y)는 x에 대해 '상수'이다.)4

오오 뭔가 나올것 같다. 이번에는 위에서 나타낸 f를 y에 대해 편미분한다.

근데 이는 q(x,y)와 같아야한다. 즉,

g(y)가 구해졌다. 그런데 의문점이 든다.

q(x,y)와 p(x,y)에서 x가 그대로 살아있는데 어떻게 y에만 관계된 함수가 나오냐?

그건..... 신의 뜻이다! (두둥!)

물론 농담이고 완전미방의 조건인

에서 알 수 있듯이, (q의 x차항 차수)-1=(p의 x차항 차수)이다.(초월함수는 차수를 안따지지만 ㄹㄹㄹ 이해를 돕기위해) 위의 g(y)에서 p를 x에대해 한번 적분하므로 결국 q를 y에 대해 적분한 것(x의 차수에는 영향이 없는)에서 그것 p에 관한 적분식을 빼면 'x에 관련된 항'들이 없어질 것이다.

안없어진다고?

그럼 그건 완전미방이 아니다.

잡소리가 길어졌다. 그러면 해는 어떻게 나오는 거지?

위에서 g(y)와 f에 관련된 식을 나타냈으므로 대입하면된다.

의 해는

이다.

아따 해 한번 복잡하게 생겼다.

그럼 근의 공식을 외우나?

내가 보기엔 안외우는게 나을 것 같다.

저런거 외워봤자 머리만 아플거 같다. 완전미분을 이용하는 방정식인 만큼 오히려 과정을 알아두는게 더 이득일지도.... (라고 생각하는 본인...)

예제를 보자.

완전 미방이다. (확인해보라.)

그런데 변수분리이기도 하다. 변수분리는 너무 허졉한거 같으니 완전미방으로 풀어보자.

에서 다시 다음과 같은 계산을 한다.

구한 f를 다시 y에 대해 편미분한다.

따라서 g'(y)=0이므로 g(y)는 상수함수이다. 이걸 다시

못믿겟으면 변수분리로도 풀어보자.

변수분리로 풀어도 해는 같다.

완전미방의 포쓰는 대단하다.

왜냐하면 완전미방이 아닌 이상한 미분방정식을 '적분인자'라는 놈을 통해서 완전미방으로 만들 수 있기 때문이다!

같은 블로그에 있는 적분인자 구하기

저번에 완전미분방정식을 하면서 마지막에 '적분인자 ㅋㅋㅋ' 라고 했다.

적분인자가 뭘까. 다음을 보자.

이런 미분방정식이 있다. 그런데 이 자체로는 완전미방이 아니다.

만약 양변에 y를 곱하면,

이는 완전미방이다.

이렇게 완전미방이 아닌 미분방정식에 '무언가'를 곱해서 완전미방으로 만들 수 있는 때가 있다.

그때 그 '무언가'를 적분인자(또는 적분인수)라고 한다. 우왕!

어떤 미방에 대하여 적분인수는 한가지가 아니다. 즉, 여러가지 나올 수 있고 경우에따라 공식에 넣어서 구할 수도 있다. 하지만 대부분은 직감적으로 찾는다. (?)

그럼 이 해를 구하면 맨처음 미방의 해가 나올까?

나온다.

그 이유를 이제부터 따지기 시작할 것이다.

따지고 뭐고 해보면 은근 간단하다.

어떤 미방

이 완전미방이 아니고 양 옆에 0이 아닌 r(x,y)를 곱했을 때 완전미방이 된다고 하자.

그러면

가 된다. 공리에 의해 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0이거나 r(x,y)=0이어야한다.

그런데 r(x,y)를 0이 아니라고 했으니 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0이다. 즉, 이렇게 만들어진 완전미방을 푸는 것이나 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0를 푸는 것이나 같은 해를 갖는다는 것이다.

그럼 적분인자는 어떻게 찾을까?

위에서 직감이라고 했다.

초월함수가 없는 경우에는

을 곱해서 완전미방이 되도록 m과 n값을 정해주는 경우가 있다. (이 경우 아래 요약글 1을 보도록 하자.)

-아니면?

직감이다. 찍자.

-정말 없는 거냐?

있긴 있다. 그런데 미방이 '어느 조건을 만족할 경우'에만 성립한다. 이에 대해서는 요약글 2를 보자.

적분인자의 설명은 대충 이걸로 끝낸다.

푸는 법은 완전미방을 보면 되므로.

> 접기

여기 이런 미방이 있다.

우왕 이게 뭐얔!!!!

사실 변수분리형이지만 귀찮게 적분인자 써서 완전미방으로 풀어보고자 한다.

일단 양변에

를 곱하고 완전미방의 마스터 편미분식(모르겟으면 완전미방 편을 다시한번 보자!)을 써본다.

dx앞에 있는 식을 y로 편미분한 식과 dy앞에 있는 식을 x로 편미분 한 것이 같아야 완전미방이 된다. 즉,

n=-1, m=-1이면 위의 방정식을 만족한다.

즉, 이 미분방정식의 적분인자는

이다.

이걸 곱하면 완전미분방정식 (이라기보다는 변수분리형이지만 쨋든 완전미방도 만족한다.)

마땅한 예가 제대로 기억이 안나서 못들겠으나

여튼 저렇게 하는 것이다!

> 접기

다음의 두가지 경우가 있다.

이 경우에 적분인자는 다음과 같다.

왠지 저 조건을 외우기 귀찮아진다.

그럴땐 직감을 믿자 으잌....

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변수분리형 미분방정식이란?

2012. 11. 3. 11:58

상미분 방정식( ordinary differential equation)은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 가리킨다.

y=x+1

독립변수=x, 종속변수=y

[ 정의 ]

1계 미분방정식의 형태가 dy/dx = g(x)h(y) 꼴 일때를

변수분리형 미분방정식 이라 한다

g(x)h(y) : 각각 x, y 의 함수

꼴 일 때

변수분리형 미분방정식이라 한다.

상미분방정식의 일종인 변수분리형 방정식

$g(y)y'=f\left( x \right)$ => 식에서 y'(or y)와,x(or f(x)) 를 좌,우변으로

각각 분리 시킨다

위 식은 아래와 같이 대수적 조작을 통해 변환할 수 있다.

$g\left( y \right)dy=f\left( x \right)dx$ => 이렇게 y(or dy),따로 x(or dx) 분리

f(x)를 x에 대하여 풀이

위의 식을 변수분리형방정식이라 하고, 양변을 적분하면 값을 손쉽게 구할 수 있다.

$\int_{{}}^{{}}{g\left( y \right)dy=\int_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx+c}}$

이렇게 분리한후 양변을 적분한 다음

y=x 의 꼴로 풀면 이것이 상미분 방정식의 해가 된다

http://cafe.naver.com/mathematicians.cafe?iframe_url=/ArticleRead.nhn%3Farticleid=19&

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라플라스변환 - 심플공식정리

2012. 11. 3. 10:30

http://tj1429.blog.me/50110235161

오늘은 미분방정식 내용 중에서 라플라스 변환에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

쉽게 정리를 하려고 노력 중이니까
이해가 잘 안되거나 내용이 부족한 부분이 있으면 댓글 꽝 날려주세요^^

라플라스 변환이란?

라플라스 변환이란 미분방정식을 풀기 위해서 라플라스가 고안한 방법이에요.

라플라스 변환은 지금까지 정리한 미분방정식의 해법과는 달리 적분을 이용해서 미분방정식 또는 적분방정식의 해를 구할 수 있는 방법이에요. 이 방법은 풀기 까다로운 미적분방정식의 해를 풀기 쉬운 대수방정식으로 고쳐 해를 구할 수 있다는 데 큰 주목을 받았어요. 이후 수학, 물리학, 광학, 전기전자공학, 제어공학, 신호해석 및 확률이론에서 나타나는 응용 문제를 해결할 수 있는 도구로 발전되었고 미분방정식의 이론적인 연구에도 많은 공헌을 했지요.

라플라스 변환은 아래와 같이 할 수 있어요.

그러면 라플라스 변환에 대해서 한번 자세히 알아보자구요.

[라플라스 변환 강좌 - 첫번째] 라플라스 변환의 기본 공식들! (click!)

라플라스 변환의 기본 공식들에 대해서 알아보자구요

기본변환		응용변환
함수	라플라스변환	함수	라플라스변환

이상으로 라플라스 변환에 대한 정리를 마칠게요^^

[출처] [미분방정식] 라플라스 변환 쉽게 이해하기|작성자 v하트뿅뿅v

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적분공식, 멱급수

2012. 11. 3. 10:29

http://blog.naver.com/vectorist?Redirect=Log&logNo=100017146444

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http://www.toez2dj.net/zeroboard/zboard.php?id=c_qna&no=20292

이런 임의의 region이 있다고 가정합시다. 그렇다면 저 region은

범위 안에 존재하게 되겠죠!

그렇다면 저 region에 대한 dA를 구하기 위해 dr과 dθ로 나누어 줍니다.

저 그림에서 왼쪽에 따로 끄집어낸 조그만 조각을 주목해 주세요. 저 조각의 면적은 ΔA입니다.
안쪽 arc의 반지름은 r_i, 바깥쪽 arc의 반지름은 r_o이며 Δr = r_o - r_i입니다.
원의 arc length공식에 의해(l = rθ), 안쪽 arc의 길이는

, 바깥쪽 arc의 길이는

이 됩니다.

이때 lim_dθ→0을 취하면 조각의 면적을 dA라고 할 수 있고, 이때 dθ<<1이므로

이 됩니다.
또한 dθ<<1이므로 조각을 직사각형으로 근사할 수 있습니다.
따라서 직사각형의 면적을 구하는 식에 의해 dA는 다음과 같은 값을 갖습니다.

따라서 이중적분을 극좌표로 변형할 때 다음과 같이 r이 붙게 되죠!!
(dxdy = dA = rdrdθ)

출처: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIPolarCoords.aspx 를 번역했습니다.

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2012. 11. 3. 10:29

적분표

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

적분(積分)은 미적분학(calculus)의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 간단하지 않기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 매우 유용하게 사용된다.

식에 나오는 $C$ 는 적분 상수를 나타낸다.

[편집]일반적인 적분규칙

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!$

$\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C$

$\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C$

[편집]유리함수

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1$

$\int x^{-1}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C$

[편집]무리함수

$\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C$

$\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C$

$\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C$

[편집]로그함수

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C$

[편집]지수함수

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[편집]삼각함수

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sin^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx - \sin mx \cos mx)} + C$

$\int \cos^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx + \sin mx \cos mx)} + C$

$\int \sin^n x \, dx = {-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \cos^n x \, dx = {\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \sec^n x \, dx = {\frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \csc^n x \, dx = {\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{-(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \, dx} + C$

[편집]쌍곡선함수

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

[편집]정적분

어떤 함수의 적분은 초등 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

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2012. 11. 3. 10:29

[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분

송정헌2011-09-13 19:44:26주소복사

조회 605 스크랩 1

미분의 기본 공식

이 문단에선 라그랑주의 표기법이 사용되었다.

$f$ 와 $g$ 를 미분 가능한 함수라 하면

(선형성)

$\left({cf}\right)' = cf'$ (

c

는 상수)

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

$\left({f - g}\right)' = f' - g'$

(곱의 법칙)

$\left({fg}\right)' = f'g + fg'$

(연쇄 법칙)

$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

[편집]확장된 미분의 기본 공식

조금 더 넓게 다음까지도 기본 공식으로 취급하기도 한다.

(역수 법칙)

$\left( \frac{1}f \right)'= -\frac{f'}{f^2}$

(몫의 법칙)

$\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}$ (단, $g \ne 0$ )

(역함수 법칙)

f (g (y)) = y

라 하면

$g' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}$

[편집]단순한 함수의 미분

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1}$

${d \over dx} \sqrt{x} = {1 \over 2 \sqrt{x}}$

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = -{1 \over x^2}$

[편집]지수함수와 로그 함수의 미분

${d \over dx} a^{f(x)} = { a^{f(x)} f'(x) \ln a },\qquad a > 0$

${d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0$

${d \over dx} e^x = e^x$

${d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1$

${d \over dx} \ln x = {1 \over x}$

[편집]삼각함수의 미분

${d \over dx} \sin x = \cos x$

${d \over dx} \cos x = -\sin x$

${d \over dx} \tan x = {1 \over \cos^2 x} = \sec^2 x$

${d \over dx} \csc x = - {1 \over \tan x \sin x} = -\cot x \csc x$

${d \over dx} \sec x = \tan x \sec x$

${d \over dx} \cot x = - {1 \over \sin^2 x} = -\csc^2 x$

${d \over dx} \sin^{-1} x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \cos^{-1} x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \tan^{-1} x = { 1 \over 1 + x^2}$

${d \over dx} \csc^{-1} x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \sec^{-1} x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \cot^{-1} x = {-1 \over 1 + x^2}$

[편집]쌍곡선 함수의 미분

${d \over dx} \sinh x = \cosh x$

${d \over dx} \cosh x = \sinh x$

${d \over dx} \tanh x = \mbox{sech}^2\,x$

${d \over dx} \,\mbox{csch}\,x = -\,\mbox{coth}\,x\,\mbox{csch}\,x$

${d \over dx} \,\mbox{sech}\,x = -\tanh x\,\mbox{sech}\,x$

${d \over dx} \,\mbox{coth}\,x = -\,\mbox{csch}^2\,x$

${d \over dx} \sinh^{-1} x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$

${d \over dx} \cosh^{-1} x = {1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \tanh^{-1} x = { 1 \over 1 - x^2}$

${d \over dx} \mbox{csch}^{-1}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$

${d \over dx} \mbox{sech}^{-1}\,x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \mbox{coth}^{-1}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$

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치환적분, 단조함수, 일대일대응함수 이어야만 하는가?

2012. 11. 3. 10:28

결론은 아니다( 상관없이 된다 )

[ 각 함수들의 구간에서 또는 함수끼리의 포함 관계에서 연속이 보장되어야 한다는 것이 포인트 ]

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=136853309

먼저 치환적분의 원리를 알아야겠죠. 그러면 치환적분을 적용할 수 있기 위한 조건을 찾을 수 있을 겁니다.

인 함수 F를 생각해 봅시다.

튀어나온 조건: F(x)는 연속이고 미분 가능해야 하며 f(x)는 연속이어야 한다.

만일 함수 F를 t에 관하여 미분을 하면(단, x=g(t))

튀어나온 조건: g(t)는 연속이고 미분 가능해야 한다.

그리고 g: t→x에서 함수 g의 치역, 즉 g(t)의 범위가 함수 f의 정의역, 즉 x의 범위 안에 포함되어야 한다.

첫 번째 식에서 양 변을 x에 관하여 적분을 하면 가 됩니다.

두 번째 식에서 양 변을 t에 관하여 적분하면.

따라서 치환적분 식을 쓸 수 있습니다.

한편으로 정적분은 부정적분에 t대신 실수를 대입해서 계산한 결과이기 때문에, 예를들어 위끝과 아래끝이 a와 b이면 둘 다 함수 g의 정의역 안에 들어가야 합니다. 그리고 t의 구간 [a, b]안에서의 함숫값 g(t)가 모두 x의 범위 안에 들어가야 합니다.

한편 t=a일 때 g(t)=g(a)이고, t=b일 때 g(t)=g(b)이므로 정적분에 관한 식은 다음과 같습니다.

이제 다시 본론으로 돌아가죠.. 서론이 길어졌네요.

▷부정적분: f(x)가 모든 정의역에서 연속이고, g(t)는 연속이면서 미분 가능해야 하며, g(t)의 치역이 함수 f의 정의역에 포함되어야 한다.

▷정적분: g(t)가 구간 [a, b]에서 연속이연서 미분 가능해야 하고 g(t)의 치역이 함수 f의 정의역 안에 들어가야 하며 그 치역에 해당하는 구간에서 함수 f가 연속이어야 한다.

그런데 서론에서 따지는 과정에서 "일대일 함수"에 관하여 논한 적 없습니다.

실제로 함수를 치환할 때 꼭 일대일 함수일 필요는 없습니다. 책에 그렇게 나와있는건 아마도 오해의 소지가 있을 수 있어서 그런거 아닐까요? 제 개인적인 생각이지만.

그 오해의 소지라는게 다음과 같은게 아닐까 싶습니다.

예를들어 다음 정적분은 두말할 것 없이 반지름의 길이가 1인 반원의 넓이이므로 (π/2)입니다.

그런데 만일 일대일 함수라는 조건이 빠지면 다음과 같이 계산할 수도 있습니다.

이 식을 이용하여 계산을 하면,

처음에 저도 이것때문에 일대일함수라는 조건이 들어간다고 생각을 했는데, 알고보니까 아니더군요. 제가 예전에 봤던 책에서 나온 건데 실수가 있습니다.

결국 일대일 함수가 아니어도 결과는 맞습니다. 이때 t가 (-π/2)부터 (5/2)π까지 변할 때 g(t)는 일대일 함수가 아니거든요.

결론: 일대일 함수가 아니어도 치환적분을 계산할 수 있습니다. 자세한 걸 알고 싶으시면 추가질문 하셔도 좋습니다.

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2012. 11. 3. 10:28

absolute value 절대값 = abs

about 약, 대략 , ≒

adjacent angle 인접각

algebra 대수

answer 정답, 대답하다

approximation 근사값

arc 호

arithmetic 산술

associative law 결합법칙

axis 축

bisect 이등분하다

calculus 미적분학 , (differential calculus 미분) , (integral calculus 적분)

cancellation 약분

chord 현

circumference 원주

clockwise 시계방향 <=> counter clockwise 반시계방향

coefficient 계수

combination 조합, 결합

compare 비교하다

compass 컴퍼스

complementary angle 여각

complex number 복소수

constant 상수

consecutive 연속적인

coordinate 좌표

corresponding angle 동위각

counter clockwise 반시계방향

counter example 반례

cube 정육면체

cubic 입방의 , 3차의

curve 곡선

decagon 10각형

decimal 소수 ,( prime number 소수) , ( decimal number 십진수)

decimal point 소수점

definition 정의

degree ~차, 차수, ~도

demonstration 증명

denominator 분모(= divisor) , (numerator 분자)

denote 표시하다

develop 전개하다

diagonal 대각선

diameter 지름

difference 차

differential calculus 미분 , (integral calculus 적분)

dimension 차원 ,(quadrant 사분면)

distributive law 분배법칙 , ( factoring 인수분해 )

divide 나누다

dividend 피제수

division 나눗셈

domain 정의역

equation 방정식

equiangular 등각의

equidistance 등거리

equilateral triangle 정삼각형

equivalent 동치, 동등

even number 짝수

exponent 지수

expression! 식

factor 인수

factoring 인수분해

finite 유한 ( <=> infinite 무한 )

formula 공식

fraction 분수 ,(improper fraction 가분수) , (proper fraction 진분수)

frustum 각추대

function 함수

geometry 기하학, 도형

greater than ~보다 큰 (= more than), (less than ~보다 작은 (= fewer than))

greatest common factor 최대공약수

group 군

height 높이 (= altitude)

hexagon 육각형

horizontal 가로의

hyperbola 쌍곡선

hypotenuse 빗변

identical equation 항등식

identity 항등원

imaginary number 허수

improper fraction 가분수

indirect proof 간접 증명법 (귀납법)

inequality 부등식

infinite 무한

inscribe 내접시키다

integer number 정수

integral calculus 적분

intersection 교점

inverse 역

involve 거듭제곱하다 ,(raise 제곱하다) , (square 제곱의, 정사각형)

interest 이율 , 이자

irrational number 무리수 (<-> rational number 유리수)

isosceles 이등변의

isosceles triangle 이등변 삼각형

isosceles trapezoid 이등변 사다리꼴

leg 변

length 가로 , 길이

less than ~보다 작은 (= fewer than)

leteral area 겉넓이 , (= Surface width)

letter 문자

like term 동류항

linear 1차의 , 직선의

linear equation 1차 방정식

line graph 선 그래프

lowest term 기약분수

manipulation 조작

mathematics 수학

mathematician 수학자

measure 측정하다

measurement 측정

midpoint 중점

million 백만

minuend 피감수

mixed number 대분수

monomial 단항식

multiplication 곱셈

multiply 곱하다

natural number 자연수

negative 음의

negative number 음수

notation 표시법

number line 수직선 , ( perpendicular 수직 , ⊥ ) , (right angle 직각)

numerical 수의

numerator 분자

obtuse angle 둔각

obtuse triangle 둔각 삼각형

octagon 8각형

odd number 홀수 ( <-> even number 짝수)

order 위수, 차수 , 순서

ordered pair 순서쌍

origin 원점

operation 계산 (사칙연산 +, -, ×,÷)

parabola 포물선

parallel 평행

parallel line 평행선

parallelepiped 평행 육면체

parallelogram 평행사변형

parenthesis 괄호 , ( )

pentagon 5각형

perpendicular 수직 , ⊥

perpendicular line 수직선 ,(=vertical line 수직선)

perimeter 둘레의 길이

plane 평면 , (quadrant 사분면)

plane geometry 평면 기하학

polygon 다각형

polynomial 다항식

positive 양의 (<-> negative 음의)

positive number 양수

power 멱(승 으로 나타내라), 거듭제곱 , (raise 제곱하다) ,(square 제곱의, 정사각형) , (involve 거듭제곱하다)

prime number 소수

prism 삼각기둥

probability 확률

problem 문제

product 곱

proof 증명하다

proper fraction 진분수

property 공식 , 성질

proportion 비례식

protractor 각도기

pyramid 사각뿔

quadrant 사분면

quadratic 2차방정식, 2차의

quadrilateral 사각형

quadrillion 천조 ( 1000000000000000 )

quantity 양

quotient 몫 , (remainder 나머지)

radius 반지름

raise 제곱하다 , (square 제곱의, 정사각형)

range 공역

rate 비례, 비율 ( = ratio)

ray 화살표

real number 실수

reciprocal 역의, 역수

rectangle 직사각형

rectangular box 직육면체

reduce 약분하다

reflex angle 우각 - 우각 : 270도 이상~360도 미만인 각

remainder 나머지

regular polygon 정다각형

revolution 회전, 주기

rhombus 마름모

right angle 직각

right triangle 직각 삼각형

root 근, 해

round off 반올림하다

ruler 자

scalene triangle 부등변 삼각형 ,(부등변 : 길이가 같지 않은 변)

secant 할선 : 할선 - 원주상의 2점을 연결한 선분을 그 원의 현이라한다. 원 또는 곡선과 두 개 이상의 점에서 만나 그 원이나 곡선을 자르는 직선을 할선이라합니다

sector 부채꼴

segment 선분

semicircle 반원

set 집합

set theory 집합론

similar 닮음

simplify 간단히 하다

size 크기

slash 사선

slope 기울기

solid geometry 입체 기하학

solution 해법 , 풀이

solve 풀다

sphere 구

square 제곱의, 정사각형

statement 명제

statistics 통계

straight angle 평각 ( 180 도 인각)

straight line 직선

subset 부분집합

subtract 빼다

subtraction 뺄셈

supplementary angle 보각 ( 30 도의 보각은 150 )

surface area 표면적 , 겉넓이

symbol 기호

tangent 접선, 탄젠트

tenths 소수 첫째자리

term 항

theorem 정리

therefore 따라서, 그러므로,

thousandths 소수 셋째자리

trapezoid 사다리꼴

trigonometric ratio 삼각비

trillion 1조

trinomial 3항식

taylor series 테일러 급수

union 합집합

unit 단위

unknown (n)미지수 , (a)알려지지 않은

value 값

variable 변수

vertex 정점, 절정, 꼭지점

vertical angle 맞꼭지각

vertical line 수직선

volume 부피, 체적

way 방법

whole number 0 을 포함한 자연수

x-axis x축

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부분분수

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대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수계수의 다항식들은 유클리드 영역(Euclidean domain)이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다.

[편집]예

더 많은 예가 필요하면 en:Partial fraction#Some_examples 문서를 참고하십시오.

부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.

[편집]가분수를 대분수로 변형

분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학생의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수

$\frac{f(x)}{g(x)}$

가 주어졌는데, 분모의 차수가 높아서 $f (x) = g (x) Q (x) + R (x)$ 와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.

$Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}$

다항식의 나눗셈에 의해 당연히 $R (x)$ 는 $g (x)$ 보다 차수가 낮다.

[편집]분자의 차수가 낮은 경우

분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다.

$\frac{f(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2) \cdots (a_n x+b_n)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1} + \frac{A_2}{a_2 x+b_2} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+b_n}$

여기서 $A 1,...., A n$ 는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자.

$\frac{x+3}{x^2-3x-40}$

위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 $(x - 8)(x + 5)$ 로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다.

${x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}.$

여기서 $A, B$ 는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 $A = 11 / 13, B = 2 / 13$ 임을 확인할 수 있다.

[편집]유용한 공식

고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.

$\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$

좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. $B - A$ 가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.

$\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)$

[편집]분모의 인수분해 되지 않는 다항식

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.

$\frac{ax^2 + bx + c}{(dx + e)(fx^2 + gx + h)} = \frac{A_1}{dx + e} + \frac{A_2 x + A_3}{fx^2 + gx + h}$

예를 들어 다음과 같다.

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}$

이 경우 인수분해 공식에 의해 분자가 $x 3 - 8 = (x - 2)(x 2 + 2 x + 4)$ 와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}.$

위와 같이 변형된다. 여기서 $A, B, C$ 도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로,

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}.$

위와 같은 등식이 성립하게 된다.

[편집]분모의 거듭제곱된 항의 포함

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,

${p(x) \over (x+2)(x+3)^5}$

와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.

${A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}.$

이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.

${p(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}$

그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.

${A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5},$

[편집]응용

부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.

[편집]계산하기 어려운 값

가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

$= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

$= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}$

[편집]적분하기 어려운 함수

다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.

$\int \frac{2}{x^2 - 1} dx$

그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.

$\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \log |x - 1| - \log |x + 1| + C$

물론 $C$ 는 적분상수(Constant of integration)이다.

[편집]무한급수의 일반항

다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.

$\frac{2-x}{(1-x)^2} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$

이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.

$\frac{2-x}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2}$

이 때, 다음 등식을 이용한다.

$\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum (n+1)x^n$

그리하여 다음을 얻는다.

$\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} = \sum x^n + \sum (n+1)x^n = \sum (n+2)x^n$

[편집]역 라플라스 변환

역 라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.^[1]

$\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t} ;\; y(0) = 1, y'(0) = 0$

양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.

$s^2 Y(s) - s - 3[sY(s) - 1] + 2Y(s) = \frac{1}{s-3}$

그리하여 이를 $Y (s)$ 에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.

$\begin{align} Y(s) &= \frac{1}{(s-3)(s^2 -3s +2)} + \frac{s-3}{s^2 -3s +2}\\ & = \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} + \frac{s-3}{(s-1)(s-2)} \end{align}$

그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.

$\begin{align} Y(s) & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} + \frac{2}{s-1} - \frac{1}{s-2}\\ & = \frac{5}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{5}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} \end{align}$

그리하여 해는 다음과 같이 된다.

$y(t) = \frac{5}{2}e^t - 2e^{2t} + \frac{1}{2}e^{3t}$

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2012. 11. 3. 10:27

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(tan^-1(x))' = 1/(1+x^2)

∫1/(1+x^2) dx = tan^-1(x) + C

∫1/(a^2+x^2) dx = 1/a tan^-1(x/a)

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오일러공식

2012. 11. 3. 10:26

원본은 위키백과이고 중간에 약간 식을 추가..

오일러의 공식

오일러의 공식은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러의 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 다음이 성립한다.

$e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x$

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, $i$ 는 제곱하여 -1이 되는( $i 2 = - 1$ ) 허수단위, $sin,cos$ 은삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

$x$ 에 $π$ 를 대입하여, $e i π + 1 = 0$ 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.

역사

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 증명하였다.

$\ln(\cos x + i\sin x) \,=\, ix$

지금과 같은 모양의 오일러의 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 대수학 원론(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.

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이 줄친 사이부분만 추가..

$e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x$

x <= pi/2

90도에 의하여 cos(pi/2) = 0 , sin(pi/2) = 1

e^i(pi/2) = 0 + i*1

i = e^i*pi/2

i^i = (e^i*pi/2)^i = e^i*(pi/2)i = e^i*i*(pi/2)= e^-(pi/2) -> 실수가 된다

증명

[편집]테일러 급수를 이용한 방법

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

$\begin{array}{rll} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n!}} \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n} \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ \end{array}$

이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos z + i\sin z \end{align}$

가 된다.

[편집]미분 계산을 이용한 방법

$f(x) = e^{-ix}(\cos x + i\sin x) \cdots (1)$ 라면,

$\frac {d}{dx} f(x) = -ie^{-ix}(\cos x + i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x + i\cos x) = e^{-ix}(-i \cos x + \sin x -\sin x + i\cos x) =0$

$\therefore f(x)=C$ (단,

C

는 상수)

(1)에 $x = 0$ 을 대입하면,

f (0) = 1

$\therefore C=1$

e - i x (cos x + i sin x) = 1

e i x = (cos x + i sin x)

Q.E.D.

[편집]미적분을 이용한 방법

다음과 같은 복소수 $z$ 를 생각하자:

$z=\cos x + i\sin x \,$

양변을 $x$ 에 대해 미분하면:

$\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x$

$i 2 = - 1$ 이므로:

$\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz$

양변을 적분하면:

$\begin{align} \frac{1}{z}\,\frac{dz}{dx}&= i \\ \int\frac{1}{z}\,dz&=\int i\,dx \\ \ln z&=ix + C \end{align}$

(여기에서 $C$ 는 적분 상수이다.)

이제 $C = 0$ 이라는 것을 증명한다. $x = 0$ 일 경우를 계산해보면

$\begin{align} \ln z &= C \\ z &= \cos x + i\sin x = \cos 0 + i \sin 0 = 1 \end{align}$

따라서

$\begin{align} \ln 1 &= C \\ C &= 0 \end{align}$

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

$\begin{align} \ln z &= ix \\ z &= e^{ix} \\ e^{ix} &= \cos x + i\sin x \end{align}$

Q.E.D.

[편집]미분방정식을 이용한 방법

함수 $g (x)$ 를 다음과 같이 정의한다.

g (x) = e i x

허수단위 $i$ 는 상수이므로 $g (x)$ 의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.

$\begin{align} g'(x) &= i e^{ix} \\ g''(x) &= i^2 e^{ix} = -e^{ix} \end{align}$

이로부터

$g''(x) = -g(x) \$ 또는

$g''(x) + g(x) = 0 \$ 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,

일차 독립인 두 해가 발생한다.

$\begin{align} g_1(x) &= \cos x \\ g_2(x) &= \sin x \end{align}$

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

$\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x)\\ &= A \cos x + B \sin x\\ g'(x) &=-A \sin x + B \cos x \end{align}$

(

A

와

B

는 상수)

그리고 여기에 함수 $g (x)$ 의 초기 조건

$\begin{align} g(0) &= e^{i0} &= 1 \\ g'(0) &= i e^{i0} &= i \end{align}$ 을 대입하면,

$\begin{align} g(0) &= {\color{White}-}A \cos 0 + B \sin 0 &= A \\ g'(0) &= -A \sin 0 + B \cos 0 &= B \end{align}$

곧,

$\begin{align} g(0) &= A &= 1 \\ g'(0) &= B &= i \end{align}$

이므로

$g(x) \,=\, e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 이다.

Q.E.D.

[편집]cis 함수

cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러의 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의된다.

$\operatorname{cis}(\theta) = e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$

이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용된다.

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http://mathjk.tistory.com/776

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출처 : emath

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벡터 외적 기본공식

2012. 11. 3. 10:24

어느사이트에서 퍼옴..

벡터 외적

벡터의 외적의 정의입니다.

벡터 a에서 b방향으로 오른손을 감았을때 엄지손가락의 방향이 외적의 방향입니다. 내적은 스칼라값으로 나타나지만 외적은 다시 벡터의 형태로 나타난다는 것을 알아두어야합니다.

오른손으로 감아쥐는 방향이 중요하기 때문에 벡터의 외적은 교환법칙이 성립하지 않습니다. 물론 외적끼리의 결합법칙도 성립하지 않습니다.

각 단위벡터들 끼리의 외적을 보여주고 있습니다. i->j->k의 순서로 흐른다는 것을 알면됩니다.

그래서 위 과정을 따라가면 두 벡터의 외적을 구하는 공식을 알 수 있습니다.

위에 나와 있지만, 외적의 결과가 0이면 두 벡터는 평행합니다.

스칼라 삼중적

어떤 세 벡터에서 두 벡터의 외적후 나머지 한 벡터와 내적을 취하는 것을 스칼라 삼중적이라고 합니다.

스칼라 삼중적은 평행육면체(직육면체 포함)의 부피를 의미하기도 합니다.

참고자료:
07 Vector 04.pdf

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고유값, 고유벡터

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고유값

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 선형 변환을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수직 축은 그대로 수직 축으로 남기 때문에 붉은색 화살표는 방향이 변하지 않지만 푸른색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 붉은색 화살표는 이 변환의 고유벡터가 되고 푸른색 화살표는 고유벡터가 아니다. 또한 빨간색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 고유값은 1이다.

선형대수학에서 고유벡터(eigenvector, 독일어: Eigenvektor)는 어떤 선형 변환이 일어난 후에도 그 방향이 변하지 않는 영벡터가 아닌 벡터를 가리킨다. 또한 변환 후에 고유벡터의 크기가 변하는 비율을 그 벡터의 고유값(eigenvalue, 독일어: Eigenwert, 표준어: 고윳값)이라고 한다. 또한 고유공간(eigenspace, 독일어: Eigenraum)은 같은 고유값을 갖는 고유벡터들의 집합이다. 선형 변환은 대개 고유벡터와 그 고유값만으로 완전히 설명할 수 있다.

고유벡터와 고유값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형 대수학, 함수 해석, 그리고 여러가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.

고유벡터(eigenvector)와 고유값(eigenvalue)의 "eigen"이라는 독일어를 이와 같은 의미로 쓴 것은 수학자 힐베르트가 처음이었다. (그러나 수학 외의 분야에서 헬름홀츠가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) 독일어 "eigen"은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.

[편집]정의

어떤 선형 변환의 고유벡터는 변환 후에도 변하지 않거나 그 크기만이 변하고 방향은 일정한 벡터를 가리킨다.
어떤 고유벡터의 고유값은 변환 전과 후의 고유벡터의 크기 비율이다.
고유공간은 같은 고유값을 갖는 고유벡터들과 영벡터들로 이루어지는 공간이다.
주고유벡터(principal eigenvector)는 가장 큰 고유값을 갖는 고유벡터이다.
고유값의 기하중복도(geometric multiplicity)는 고유값에 의해 정의된 고유공간의 차원이다.
유한 차원의 벡터 공간에 대해 선형 변환의 스펙트럼은 그 고유값들의 집합이다.

예를 들어, 삼차원 회전변환의 고유벡터는 그 회전축 상에 놓여 있다. 회전한 후에도 회전축의 크기는 변하지 않으므로 그 고유벡터의 고유값은 1이고, 그에 해당하는 고유공간은 회전축에 평행한 모든 벡터로 이루어진다. 이 고유공간은 1차원 공간이므로 기하중복도는 1이고, 고유값이 1뿐이므로 실수인 스펙트럼의 집합은 원소가 1 하나뿐인 집합이다.

[편집]예제

지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 모든 화살표는 자전축을 향하는 화살표를 제외하고 함께 회전한다. 그러므로 지구가 한시간동안 자전한 결과를 하나의 변환으로 볼 때 지구의 자전축에 평행한 벡터가 고유벡터이다. 또한 자전축이 커지거나 작아지지 않았으므로 그 고유값은 1이다.

다른 예로는 얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 두 배 늘린 경우를 들 수 있다. 이때 가운데 점으로부터 종이의 모든 점을 향한 벡터들이 모두 고유벡터가 된다. 또한 벡터들의 길이가 모두 두배가 되었으므로 고유벡터들의 고유값은 2이다. 이 경우 고유공간은 모든 고유벡터들의 집합이 될 것이다.

[편집]고유값 방정식

다음 방정식이 참이면 $\mathbf v_\lambda$ 는 고유벡터이고 $λ$ 는 그에 해당하는 고유값이다.

$T(\mathbf{v}_\lambda)=\lambda\,\mathbf{v}_\lambda$

이때 $T(\mathbf v_\lambda)$ 는 $\mathbf v_\lambda$ 에 변환 $T$ 를 행해 얻어진 벡터이다.

$T$ 가 선형 변환이라고 가정하자. (즉, 모든 스칼라 $a, b$ 와 벡터 $\mathbf v, \mathbf w$ 에 대해 $T(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=aT(\mathbf{v})+bT(\mathbf{w})$ 이다. 그러면 $T$ 와 $\mathbf v$ 는 행렬 $A T$ 와 열벡터 $\mathbf v_\lambda$ 로 표현할 수 있다. 그러면 위의 고유값 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$A_T\,v_\lambda=\lambda\,v_\lambda$

이 방정식에서 $λ$ 와 $\mathbf v_\lambda$ 를 미지수로 놓아 연립방정식을 풀면 고유값과 고유벡터를 얻을 수 있다.

그러나 고유값 방정식을 항상 행렬 형태로 쓸 수 있는 것은 아니다. 예를 들어 위에서 든 밧줄의 예와 같이 벡터 공간의 차원이 무한하다면 그것을 행렬 형태로 쓰는 것은 불가능하다. 이런 경우에는 고유값 방정식을 미분방정식의 형태로 쓸 수 있다. $T$ 를 미분 기호로 놓으면 이 경우 고유벡터는 고유함수라 불린다. 미분은 다음과 같은 성질에 의해 일종의 선형 변환이다.

$\displaystyle\frac{d}{dt}(af+bg) = a \frac{df}{dt} + b \frac{dg}{dt}$

( $f (t)$ 와 $g (t)$ 는 미분가능한 함수이고 $a$ 와 $b$ 는 상수이다.)

$t$ 에 대해 미분하면 고유함수 $h (t)$ 는 고유값 방정식을 만족한다.

$\displaystyle\frac{dh}{dt} = \lambda h$

이때 $λ$ 는 고유함수에 해당하는 고유값이다. 만약 $λ = 0$ 이면 이 함수는 상수함수이다.

고유값 방정식의 해는 $g (t) = exp(λ t)$ , 즉 지수함수이다. $λ$ 는 임의의 복소수일 수 있다.

[편집]

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테일러 정리:

테일러 정리란 테일러급수를 전개 해 나가면서 무한한 전개를 유한개로 만드는 즉 n 에 대한 부분 그 이상을

하나의 식으로 표현해 더해줌으로써 테일러급수를 유한개의 식으로 표현한 것이다

- 테일러 급수에서 x 대신에 b 로 바꿔 치기 한 후 n 번째 이후 나머지를 하나로 만들어 버리는 것

- 즉 급수의 값 자체를 완벽히 계산 할 순 없고 근사값 정도로 계산을 할 수 있으며 나머지들을 하나로 정리한

항에 대한 범위를 정해줄 수 있는 정도이다

아래 그림에서 x1 으로 인하여 마지막 항의 값이 하나로 정리되는 인수인데 그 값을 정확히 잡아내기가

썩 수월하진 않을것이다.

1.기억해야할 급수

이항정리 url:

http://web3.c2.cyworld.com/myhompy/board/retrieveBoard.php?home_id=a0619041&lmenuSeq=204317&smenuSeq=473302&postSeq=6073354&view=&menu=smenu&isMaster=Master

2.초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들( sin, cos, e^x 에 대한것 필히 기억! )

아래부터는 첨부내용

http://blog.naver.com/mindo1103/90103327556

－매끈한 함수(Smooth Function)－

함수 가 무한 번 미분이 가능할때

함수 를 매끈한 함수라고 한다.

함수 f(x)가 매끈한 함수일때

f(x)를 가지고 멱급수 전개를 해보겠습니다.

위 식에 x＝a 를 대입하면

식의 양변을 미분하면

한번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면

식의 양변을 한번 더 미분하면

두번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면

식의 양변을 한번 더 미분하면

세번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면

.....

규칙성에 의해 n번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면 임을 알수 있습니다.

따라서 입니다.

－정리 1－

함수 가 매끈한 함수이고

이렇게 표현 가능하다면

이다.

위 정리에서 나온 을 대입해서 얻은 급수를 테일러 급수라고 합니다.

테일러 급수에서 특별히 a＝0 인 경우에는 매클로린 급수라고 합니다.

－테일러 급수(Taylor Series)－

함수 가 매끈한 함수일때

위 급수를 테일러 급수(Taylor Series) 라고 한다.

테일러 급수에서 a＝0 인 아래의 급수를 매클로린 급수(Maclaurin Series) 라고 한다.

출처 위키

주요한 매클로린 급수의 예

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\!\forall x$

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \quad\!\forall x$
$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \quad\!\forall x$
$\ln (1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\quad\mbox{ for }-1<x \le 1$

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부분합 Sn

2012. 11. 3. 10:19

임의의 무한급수에서 첫째항부터 제n항까지의 합

S_n = a₁+a₂+a₃+…+a_n
을 이 무한급수의 제n부분합이라 한다. 무한급수의 수렴·발산은 부분합을 이루는 수열 { S_n }의 수렴·발산에 따라 정의된다.

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절대수렴과 조건수렴

2012. 11. 3. 10:19

http://blog.naver.com/mindo1103/90103262597

절대수렴과 조건수렴은 다음을 말합니다.

－절대수렴과 조건수렴－

이 수렴하면 은 절대수렴(Absolutely Convergence)

은 발산하고 이 수렴하면 은 조건수렴(Conditionally Convergence)

한다고 한다.

예를 들면

의 경우 이 p급수 판정법에 의해 수렴하므로 절대수렴한다고 하고

은 교대급수 판정법에 의해 수렴하지만

은 p급수 판정법에 의해 발산하므로 조건수렴 한다고 합니다.

절대수렴하는 급수에 대해 다음의 정리가 성립합니다.

－정리 1－

이 수렴하면 도 수렴한다.

(증명)

모든 자연수 n에 대해 이므로

이 수렴하므로 비교판정법에 의해 은 수렴한다.

따라서 수렴하는 급수의 성질에 의해

은 수렴한다.

정리 1을 이용하면 아래의 따름정리를 얻을수 있습니다.

－따름정리 1－

이라고 하자.

이 때, 이 수렴하면 도 수렴한다.

(증명)

이므로 이다.

따라서 이므로

정리 1에 의해 이 수렴하면 도 수렴한다.

ex1) 급수 의 수렴/발산 을 판정하시오.

(풀이)

이라 하면 이고

p급수 판정법에 의해 은 수렴하므로

비교판정법에 의해 은 수렴한다.

따라서 은 수렴한다.

[출처] 절대수렴과 조건수렴|작성자 네냐플

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일반적인 판정법

2012. 11. 3. 10:19

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3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

1. 비판정법

일반적인 형태일때

급수 시그마 an 에서 an 에 대하여 절대값을 씌워서 판정법을 생각 하면 좀 더 수월하다

배웠던 판정법에 대하여 모두 유사하게 가능하다

출처 : emath

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2012. 11. 3. 10:18

http://cafe.naver.com/mathclub.cafe?iframe_url=/ArticleRead.nhn%3Farticleid=23912&

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[편집]편미분 방정식의 예

참고 문헌

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상미분 방정식

목차

[편집]정의

[편집]선형 상미분 방정식

[편집]제차 선형 상미분 방정식

[편집]1계 제차 선형 상미분 방정식

[편집]2계 제차 선형 상미분 방정식

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[편집]미정계수법

[편집]매개변수변환법

[편집]그린 함수방법

[편집]비선형 상미분 방정식

[편집]널리 알려진 상미분 방정식

[편집]참고 문헌

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[편집]미분 방정식의 종류

[편집]상미분방정식과 편미분방정식

[편집]선형과 비선형

[편집]미분 방정식의 예

[편집]제차 상미분 방정식

[편집]1차 비제차 상미분 방정식

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적분표

목차

[편집]일반적인 적분규칙

[편집]유리함수

[편집]무리함수

[편집]로그함수

[편집]지수함수

[편집]삼각함수

[편집]쌍곡선함수

[편집]정적분

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[미분공식] 미분의 기본, 확장,단순한 함수의, 지수함수와 로그 함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수의 미분

미분의 기본 공식

[편집]확장된 미분의 기본 공식

[편집]단순한 함수의 미분

[편집]지수함수와 로그 함수의 미분

[편집]삼각함수의 미분

[편집]쌍곡선 함수의 미분

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부분분수

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[편집]예

[편집]가분수를 대분수로 변형

[편집]분자의 차수가 낮은 경우

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[편집]분모의 인수분해 되지 않는 다항식

[편집]분모의 거듭제곱된 항의 포함

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