4차함수의 그래프

사차 방정식이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

와 같다. 여기에서 는 각각 의 계수라고 한다. 는 상수항이라고 부른다.

[편집]역사

페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.

[편집]해법

이 방정식에서 양변을 의 최고차항인 로 나눈 다음  라고 두면  꼴로 정리할 수 있다.

 에서 양변에 나중에 결정될 적절한 값 를 취해서  을 더하면

.

이 된다. 이 우변이 완전제곱식이 되면, 사차방정식은 두 개의 이차방정식으로 분해된다. 그러므로 우변의 이차식은 판별식

의 값이 0이 되어야 한다. 이것은 에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 의 값을 알아낸다. 그리하여 주어진 사차방정식은

의 형태가 된다. 따라서 두 이차방정식  을 풀어서 네 개의 해를 구한다.

[편집]특수한 경우

[편집]복이차방정식

사차 방정식 중 짝수 차수만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다. 으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

[편집]상반방정식

계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 상반방정식(Symmetric equations)이라고 한다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다.

이 경우 양변을 으로 나누어 를 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.

좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)

의 경우 으로 치환해주면 된다.

[편집]근과 계수의 관계

 근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

사차방정식 의 네 근을 라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.

3차함수의 그래프

삼차 방정식이란, 최고차항의 차수가 3인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은 다음과 같다.

여기에서 는 각각 의 계수라고 한다. 는 상수항이다.

역사

[편집]

고대 바빌로니아에서는, 수표를 이용해 3차 방정식의 근을 어느 정도의 근사치로서 구할 수 있었다.

또한 고대 그리스에서는 3대 작도 문제중 1개인 입방 배적 문제로 알려지고 있었다. 키오스의 히포크라테스에 의해서 ,  로부터

p : x = x : y = y : q

되는 수 x, y 을 요구한다고 하는 비의 문제인 입방 배적 문제로 알려져 있다.

메나이크모스는 히포크라테스의 아이디어로 부터 원추 곡선을 생각해 내어 입방 배적 문제를 원추곡선에 의한 작도에 의해서 풀어내었다. 메나이크모스는 이 업적으로 인하여 원추 곡선의 발견자라고 알려져 있다. 입방 배적 문제는 x³ = 2 p³ (p > 0) 의 형태의 3차 방정식을 푸는 것과 같고 메나이크모스에 의한 방법은, 3차 방정식의 기하학적 해법 중 1개로 생각 할 수 있어서 원추 곡선의 표를 계산해 두면 3차 방정식의 근의 근사치도 알 수 있게 된다. 그러나 일반적으로 원추 곡선은 플라톤의 작도 아래에서도 작도할 수 있다. 곡선은 아니기 때문에 원추 곡선에 의한 기하학적 해법은 입방 배적 문제의 해법으로 보이지는 않는다.

이러한 원추 곡선의 연구는 아르키메데스나 이븐 알 하이탐 등을 거쳐, 셀주크 제국 시대 페르시아의 오마르 하이얌에 의해 확장되어 여러가지 형태를 취한 3차방정식의 근이 원추 곡선 끼리의 교점으로서

삼차방정식의 대수적 해법은 16세기 무렵에 볼로냐 대학의 시피오 델 페로가 발견한 것으로 여겨지고 있다.^{[출처 필요]}

x³ + a₁ x = a₀ (a₁ 및 a₀ 은 음수)

이런 형태의 공식이다. 당시에는 음수는 인정되지 않았기 때문에 계수는 아주 한정되어 있었다.

이 방정식 자체는 특수한 형태이지만, 일반적인 3차 방정식은 이 형태로 변형할 수 있기 때문에, 본질적으로는 3차 방정식은 델 페로가 풀었다고 해도 과언은 아니다. 또한 이 방정식의 경우는 계수의 부호의 제약으로부터 환원 불능이 되지 않는다.

델 페로는 이 해법을 공개하지 않고, 제자 몇 명에게만 알려준 뒤 1526년에 죽었다. 그리고 그 제자 중의 한 명인 안토니아 마리아 피올(Antonio Maria Fior)은 이 방법을 이용하여 당시에 성행했던 금전을 건 계산 승부에서 계속 이겼다.

3차 방정식의 해답이 있다고 하는 소문을 바탕으로 타르탈리아(Tartaglia)는 독자적인 힘인지는 몰라도

x³ + a₂ x² = a₀ (a₂ 및 a₀ 는 정수）

의 형태의 3차 방정식을 푸는 것에 성공한 뒤 델·페로의 3차 방정식의 해법도 알아냈다. 타르타리아가 3차 방정식을 풀었다는 소문을 들은 피올은 소문을 믿지 않고 타르타리아에게 계산 승부에서 패배시켜 자신의 명성을 올리려고 하였지만, 델·페로의 3차 방정식의 해법 밖에 몰랐기 때문에 피올은 타르타리아와의 승부에서 지게 된다.

타르탈리아가 3차 방정식의 대수적 해법을 알고 있다고 듣게된 카르다노는 타르탈리아에게 간절히 부탁을 하여 3차 방정식의 해법을 알아냈다. 카르다노는 제자인 로도비코 페라리와 얻은, 일반적인 사차 방정식의 대수적 해법과 아울러, 3차 방정식의 대수적 해법을 출판하고 싶다고 생각했지만, 타르탈리아에게 해법을 비밀에 붙인다고 맹세했기 때문에 출판할 수는 없었다.

거기서, 일찌기 델 페로가 3차방정식의 대수적 해법을 얻었다고 하는 소문을 믿고 페라리와 볼로냐에 가서, 델 페로의 양자인 안니바레 델라 나베를 만나 델 페로의 유고를 보고 그것을 읽은 카르다노는 타르탈리아가 3차방정식을 푼 최초의 사람이 아닌 것을 알았으므로, 타르탈리아와의 약속을 무효화 시켜 1545년에 《아르스 마그나》(Ars Magna)를 출판해, 여러가지 형태의 3차 방정식의 해법을 공표했다.

이에, 3차 방정식의 해법은 “카르다노의 방법”으로도 불리게 되었다. 이 일은 타르탈리아를 격노시켜 논쟁으로 발전했지만, 카르다노는 《아르스 마그나》에서 델 페로와 타르탈리아의 공적에 대해 칭찬하고 있어, 3차 방정식의 해법이 카르다노 자신의 독자적인 방법이라고 속인 것은 아니다. 또한 타르탈리아로부터 해의 도출 방법까지는 묻지 않고 다양한 형태의 3차 방정식에 대한 해를 나타낸 일은 카르다노 자신의 업적이다.

[편집]개요

일반적으로, 일변수의 3차 방정식은

의 형태로 표현된다.현대에서의 3차 방정식의 해법이라고 하면, 주로 대수적 해법의 일을 의미한다.

고대 바빌로니아에서 이미 대수적으로 풀려 있었다고 생각되고 있다. 2차 방정식과 달라, 3차 방정식이 대수적으로 풀린 것은 16세기가 되고 나서이다. 11세기 무렵 원추 곡선에 의한 작도에 의해서 3차 방정식의 근을 기하학적으로 나타냈다 오마르 하이얌도, 3차 방정식을 대수적으로 풀 수 없다고 생각하고 있었다.

3차 방정식의 대수적 해법은 갈루아 이론으로 도달하는 대수방정식론의 시작이며 카르다노의 저서 「아르스 마그나」에 의해서 3차 방정식과 4차 방정식의 대수적 해법을 공표했다. 1545년은 이 공표로 인하여 현대 수학자들에게 수학 시작의 해로 여겨지고 있다.

아직 음수가 수학자들에게 별로 받아 들여지지 않았던 시대이며 모든 계수가 정수이다고 하여 다루어졌기 때문에 예를 들면,

의 2개의 3차 방정식은, 모두 2 다음의 항이 없는 3차 방정식이지만, 다른 형태의 방정식으로 여겨졌다.

이와 같이, 음수조차 기피되던 시대에, 3차 방정식의 대수적 해법은 허수를 가져왔다. 3차 방정식의 근이 모두 정수인 경우에 한해서도, 대수적 해법을 고집하는 한 허수를 피하고는 통과할 수 없는 것이다. 허수에 대한 불안은 19세기에 오귀스탱 루이 코시 나 카를 프리드리히 가우스가 활약하게 될 때까지 계속 되었다.

또, 3차 방정식과 4차 방정식의 대수적 해법의 발견을 바탕으로 수학자들은 5차 이상의 일반의 대수방정식의 대수적 해법을 추구했다. 최종적으로, 이 대수적 해법의 존재는 아벨-르피니의 정리에 의해서 부정되지만, 갈루아 이론으로서 결과로 군이나 체 등의, 기본적인 대수적 구조의 개념을 낳았다.

[편집]근과 계수와의 관계

의 세 근을 라 하면 다음과 같은 관계가 성립한다.

[편집]카르다노의 해법

일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져있다

≠

을  로 나누고

의 형태로 만든다 다만 

에 의해서 변수 변환을 실시하면

와 같이 2차항이 사라진 방정식을 얻을 수 있다. 보기 쉽게 일차의 계수를 p, 정수항을 q로 하여서

이라고 쓴다. 한층 더

라고 두면

여기서

가 된다.  ,  을 찾으면 거기에서  의 값이 구해진다 이 두개의 식으로 부터  을 소거하게 되면

이 식은 u³ 에 관하여 보게된다면 2차 방정식이므로 공식으로부터

 와  은 대칭이므로 이 두개의 해의 한쪽을  에 있으면 다른 한쪽은  이 된다

각각의 세제곱근의 합으로서

이 구해진다 이 해법이 발견된 당시에는 아직 복소수가 알려지지 않았기 때문에 이 방법으로 해를 찾아내었으나, 이후 복소수에 관한 연구가 진행되어 :x³ = a 의 해가 ω 를 1 의 세제곱근으로서

의 3개가 있는것이 알려지게 되었고 u 의 세제곱근을 취할 때에도 마찬가지로 3개의 경우를 생각하게 되어서 각각 대응하는 v 를 요구하는 것으로

해로서 알려지게 되었다

또한

x³ + y³ + z³ − 3 x y z

= (x + y + z) (x² + y² + z² − z x − x y − y z)

= (x + y + z)(x + ω y + ω² z)(x + ω² y + ω z)

인수분해로도 카르다노의 방법을 설명 할 수 있다

y³ + z³ = q

−3 y z = p

와 두어두면 p, q 로부터 y, z 을 요구하는 것으로

x³ + p x + q

= (x + y + z)(x + ω y + ω² z)(x + ω² y + ω z)

이렇게 되는 3차 방정식을 인수분해로 계산해낼 수 있다. 이 방법은 카르디노의 방법과 같다.

[편집]환원 불능의 경우

카르다노의 공식을 이용하면

x³ + p x + q = 0

이런 3차 방정식은

이 때의 음수의 제곱근이 나타난다. 이것은 이 방정식의 판별식

D = − (4 p³ + 27 q²) > 0

와 같은 조건이며 3개가 다른 실근을 가지게 되는 조건이다. 실근 밖에 없는 데도 여기에 관련 되지 않고서는 카르다노의 공식에서는 음수의 제곱근을 경유할 필요가 있었다. 카르다노는 음수의 제곱근을 계산에 이용하는 것은 있었지만 그러한 경우는 불가능 하고 도움이 되지 않는 것이라고 생각하고 있었다

라파엘 본베리(Rafael Bombelli)는 이 경우를 자세하게 연구해 1572년에 출판한 「대수학」(Algebra)에 적었다. 형식적인 계산이긴 하지만 당시에는 아직 알려지지 않았다 이 계산은 허수의 계산과 같았다. 본베리는

x³ = 15 x + 4

이런 공식에 x = 4 를 해로 가지는 방정식에 예를 주었다 이 방정식을 카르다노의 공식에서 계산해 보면

이 되지만 본베리는 이 우변은 오늘날의 공역의 복소수화 라고 생각해 음수의 제곱근 연산 규칙을 준 다음

로부터 b = 1 을 요구하여 원 방정식이 x = 4 를 해로 가지는 것을 설명했다. 일반적으로는

로부터 a, b 의 두개의 값을 요구하지 않으면 안되지만 이것을 요구하기 위해서는 다른 3차방정식이 나타나기 위해 카르다노는 이 경우를 환원불능(casus irreducibilis)이라고 불렀다. 이 환원 불능의 경우를 회피하기 위해서 여러가지 노력이 이루어졌지만 실은 허수를 피해서 실수의 거듭제곱근과 사칙연산을 유한하게 사용하는 것으로는 해를 찾아내는 것은 불가능 하기 때문에 모두 헛수고로 끝났다.

이차함수 의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표인 과 는 이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식(Quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

와 같고, 여기서 는 변수, 와 는 각각 의 계수라고 하며, 는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 (실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 i로 표기한다.)이다.)를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이 때의 근을 중근이라고 한다.

[편집]근의 공식

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

, 단, , , 는 실수이고 가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 , 는

이다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

• 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
• 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

[편집]근의 공식의 유도

에서, 는 이 아니므로 양변을 로 나눌 수 있다.

그런 다음, 상수항을 우변으로 이항하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

좌변을 과 같은 모양으로 만들면, 이므로 가 된다. 양변에 를 더해주면,

가 얻어진다. 여기에서 이므로, 좌변은 으로 인수분해된다. 양변을 정리하면

가 얻어지고, 제곱근을 취하면

가 얻어진다.

[편집]짝수 공식

이차 방정식에서 일차항의 계수 가 짝수인 경우  를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

[편집]근과 계수의 관계

 근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

[편집]근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명

의 두 근 는 각각

이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

[편집]이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명

의 두 근을 각각 라고 정의하고

을 근으로 갖는 이차방정식을 이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

먼저 두 번째 이차방정식인 의 계수를 나누고 전개해주면

 - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인  또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 의 계수 로 나눠주면

 - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

일차 방정식 그래프의 예시

일차 방정식(Linear equation) 또는 선형 방정식은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다.

일차 방정식은 변수가 한 개 이상일 수도 있다. 일차식은 수학 전반에 걸쳐 다양한 방법과 형태로 등장한다. 선형 방정식은 일반적으로 풀기 쉽다. 자연을 모델링하는 많은 비선형 방정식(non-linear equations)은 풀기 어려우므로 이를 근사하기 위해 선형 방정식을 이용하는 경우가 많다.

[편집]변수가 두 개인 일차 방정식

일차 방정식은 일차 함수와 밀접한 연관이 있다. 두 개의 변수를 가진 일차 방정식은 실질적으로 일차 함수가 된다. 또한 이것은 좌표평면에서 직선이 되므로 직선의 기하학적 성질과 연관이 있으므로 직선의 방정식이라고도 부른다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.

동류항 정리를 한 이후에는 각 변수들은 다른 변수들과의 곱으로 나타내면 안되고, 각 변수도 1 이외의 다른 지수를 가져서는 안 된다. 예를 들어 와 같은 항들이 있어서는 안 되며, 이러한 항들은 비선형항이 된다.

[편집]좌표평면 위에 그리기

좌표평면은 기하학적 정보와 대수적 정보 사이의 변환을 제공해주는 도구이므로, 직선을 결정짓는 기하학적인 정보를 활용하여 직선을 표현하는 방정식을 만드는 다양한 방법이 중학 교과과정에 잘 나와있다.

[편집]일반적 형태

직선의 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

여기서 와 는 동시에 영이 되면 안 된다.

[편집]y 절편과 기울기가 주어진 경우

기울기(gradiant) 과 y 절편(y-intercept) 가 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

[편집]한 점과 기울기가 주어진 경우

기울기(gradient) 과 한 점 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

[편집]두 점이 주어진 경우

서로 다른 두 점 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

이 때, 이라면 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.

[편집]두 절편이 주어진 경우

x 절편 와 y 절편 가 주어진 경우 직선의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 와 는 모두 영이 아니어야 한다. 이 경우는 일반적인 직선의 방정식 형태에서 을 대입한 형태와 같다.

[편집]매개변수 형태

직선위의 모든 점은 모든 실수 값에 대응된다. 그러므로 실수범위에서 변하는 하나의 변수로서 직선을 표현하는 것이 가능하다.

위와 같이 연립 방정식을 이용하여 매개변수 형태(Parametric form)로 표현할 수도 있다. 물론 는 모두 고정된 상수값이고, 의 값이 변하면서 그에 상응하는 값이 변화한다. 이 경우 기울기는 가 되고, x 절편은 , y 절편은 가 된다.

[편집]극좌표 형태

직교 좌표와 극좌표는 모두 평면위의 점을 표현하는 방법이다. 따라서 직선을 극좌표형식(Polar Form)으로 표현할 수도 있다.

이때 은 기울기가 되고 는 y 절편이 된다. 가 영이 되면 안 된다.

[편집]두 개 이상의 변수를 가진 일차 방정식

 이 부분의 본문은 일차연립방정식입니다.

일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. 일반적으로 개의 변수를 가지고 있다면 다음과 같이 표현된다.

여기서 은 상수이고 은 변수가 된다. 이러한 방정식은  차원 유클리드 공간에서  차원 초평면(hyperplane)을 이루게 된다.