출처 : 어느 과학 사이트에서..;

• 파스칼의 삼각형 Pascal's triangle
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(a+b)을 전개하면, n=0일 때 (a+b)=1, n=1일 때 (a+b)=a+b, n=2일 때 (a+b)=a+2ab+b, …가 된다.

이들 전개한 식의 계수를 다음과 같이 삼각형으로 늘어놓은 것을 파스칼의 삼각형이라 한다.

파스칼의 삼각형에서 양끝의 1을 제외한 각 수는 오른쪽 위의 수와 왼쪽 위의 수의 합으로 되어 있다.

이 사실은 2항 계수의 성질 =+(1rn-1)에 의해 확인할 수 있다.

http://blog.naver.com/dhhansh?Redirect=Log&logNo=100064531529

강의 끝부분에 특수각에 해당하는 세타에 대한 삼각함수의 값을 효과적으로 뽑아낼 수 있는

방법이 쉽고 유용하게 나와있다.

출처 모름

수2 최대 최소의 정리에서

re: 최대 최소의 정리에서

고2 수2 최대 최소의 정리에서

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

라는 데요

꼭 폐구간에서만 최대값과 최솟값을 가지나요??개구간에서는 못가지나요?

개구간에서도 최대, 최솟값을 가질 수 있습니다.

하지만 단조증가 또는 감소의 함수의 그래프를 생각하면 구간의 양끝값이 최대, 최솟값이 됩니다.

따라서 폐구간일 때는 무조건 적으로 최대 최솟값이 존재한다는 뜻입니다.

 

예를 들면 그림과 같습니다.

왼쪽의 그림은 개구간이지만 최대 최솟값이 존재하는 경우 오른쪽 그림의 경우는 개구간에서

단조 증가하는 함수의 경우는 구간의 양끝값이 최대, 최소값이기 때문에

개구간에서는 최대, 최소의 정리가 반드시 성립하지 않습니다.

 

 

또 상수함수에서는 최대값과 최솟값이 똑같은데 그것도 최대값과 최솟값이라고 하나요ㅜㅜ?

맞습니다.

최대, 최솟값은 같을 수 있습니다.

출처 : 위키

사함수+단사함수 인 함수

전사함수(위로의 함수) : 치역과 공역이 같은 함수

역함수의 조건은 전사함수 이어야 한다

전단사함수

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전단사함수

수학에서 전단사함수(全單射函數, bijection)는 집합 X에서 Y로의 함수 f 중에서 모든 y에 대해 f(x)=y를 만족하는 x가 하나만 있는 함수를 말한다. 일대일 대응이라고도 한다.

같이 보기 [편집]

• 전사함수
• 단사함수(일대일 함수)
• 동형사상

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=104433759&qb=bG58eHwg66+467aE&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0&pid=gRoGYdoi5UdssvIiKldsss--255959&sid=TUo4t5EbSk0AADl8F-c

ln|x| 미분하면  왜 1/|x| 가 아닌 1/x죠?

첫번째 질문          1/|x| 라고 써도 되나요?

두번째 질문         왜 1/x라고 써도 무방하나요?

답변

미분소

요점은,  같은 식에 대한 부정적분후 나오는 상수들은 적분상수 C 로 취급한다.

http://kin.naver.com/open100/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=1299975&qb=67aA7KCV7KCB67aEIOyDgeyImOywqOydtA==&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0&pid=gRDhiloi5TGsstAaa7dsss--094274&sid=TUlXpXIeSU0AAGEKnLM

부정적분 : 적분상수의 역습 - " 제목만 거창하게 잡아보았습니다 ^^"

- 적분상수의 차이가 부정적분의 결과를 다르게 가져올 수 있으나, 사실 같은 것 이다

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

예전부터 생각하고 있던 것이었는데 몇시간전에 지식인에 같은 내용의 질문을 하는 분이 계셔서

(사실 다른분께 선수당해서 답변을 달지 못했습니다 ㅠㅠㅠㅠ)

오픈백과에 올려봅니다..

이 내용이 생소하신 분들이면 유익한 정보가 되었으면하고,

이미 아시는 분들을 다시한번 확인하는 기회가 되었으면 합니다

감사합니다

http://blog.naver.com/kor31/80013538918

f(x)/g(x) 일때

f'(x)/g'(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)/g^2(x)

f'(x)        f'(x)g(x)  -   f(x)g'(x)

-----  =  ---------------------

g'(x)                 g^2(x)

http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC

먼저 정리를 하자면 0/0, ∞/∞ 꼴에서 로피탈의 정리 사용이 가능한데

에서 g(x)≠0 이어야 하고 f', g' 후에도 f'(x)/g'(x) 에 극한값이 존재 해야 한다

그러나 한번 미분 후 0/0, ∞/∞ 꼴이 반복된다면 이러한 꼴이 나타나지 않을때까지

계속 반복을 해주어 극한값을 찾아낸다

로피탈의 정리(l'Hôpital's rule, 또는 l'Hospital's rule)은 해석학 및 미적분학에서 사용되는 함수의 극한에 관한 정리의 하나이다. 함수의 도함수를 사용하여, 부정형(不定形)의 극한값을 계산하는 데 이용된다.

이 정리의 이름은 17세기에 활동하였던 프랑스의 수학자이자 후작인 기욤 드 로피탈(Guillaume de l'Hôpital)의 이름에서 유래되었다. 로피탈은 그의 저서인 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes)에서 이 정리를 소개하였다.

이 정리는 베르누이의 규칙(Bernoulli's rule)이라는 이름으로 불리기도 한다.^[1]

확장된 실수 상의 구간 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능한 함수 f(x) , g(x)가 있다. 라 하고, 이때 아래의 함수 f , g 의 c로의 극한의 값이 0이거나

모두 발산하고

아래의 극한

의 값 A가 확장된 실수상에서 존재하면, 아래의 극한값은 A와 같다.

예제 [편집]

 좀 더 기술적인 계산에 대해서는 en:L'Hôpital's rule#Examples 문서를 참고하십시오.

예를 들어, 의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

극한 존재의 필요성 [편집]

다음 극한이 존재한다는 조건이 필수적이다.

미분된 함수의 극한이 존재하지 않을 경우 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어, 일 경우,

의 값은 존재하지 않지만, 다음 극한은 존재한다.

복소함수에의 적용 불가

함수의 극한

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미적분학
기본 정리 함수의 극한 연속함수 다항식의 미적분 롤의 정리 평균값 정리 텐서 미적분학 [보이기]미분 [보이기]적분 [보이기]벡터 미적분학
v • d • e • h

x에 대한 함수 f(x)에서, x가 어떤 값 a에 한없이 가까워지면 f(x)도 어떤 값 c에 한없이 가까워질 때 f(x)가 c에 수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,

가 된다. 예를 들어, f(x)가 일 때 1, x < 0일 때 0을 가지는 함수라면 , 이 된다.

0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

목차 [숨기기] 1 발산 2 수학적 정의 3 성질 4 참조 5 바깥 고리

//

발산 [편집]

극한이 존재하지 않는 경우를 발산한다고 한다. 이때 함수값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다.

예를 들어, 의 경우 x가 0에 가까워질 때 f(x)는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다.

수학적 정의 [편집]

함수의 극한은 일반적으로 엡실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의한다.

모든 양의 실수 ε에 대해, 어떠한 실수 δ가 존재하여 0 < | x − p | < δ일 때 항상 | f(x) − c | < ε가 성립하면, 이때의 극한값은

로 정의한다.

좌극한과 우극한도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 δ에 대한 조건이 0 < | x − p | < δ대신, 좌극한의 경우 0 < p − x < δ, 우극한의 경우 0 < x − p < δ가 된다.

===

가 양의 무한대로 커질 때 는 에 가까워진다.

x가 어떠한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 극한값을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 ε에 대해, 어떠한 실수 S가 존재하여 x > S(양의 무한대) 또는 x < S(음의 무한대)일 때 항상 | f(x) − c | < ε가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.

• 양의 무한대: 
• 음의 무한대: 

성질 [편집]

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 지닌다.

 일 때 :

1. 
2. 
3.  (k는 상수)
4. 
5.  (단, )

http://blog.naver.com/dhhansh/100067531431

핵심부분 캡쳐

y = ( 1 + 1/x ) 의 x 제곱 이란 함수 많이 봤던 함수지 ?

이차 함수

이차 함수(Quadratic function)는 함수의 최고차항의 차수가 2인 함수를 말한다. 이차 함수의 일반형은 다음과 같다.

또한 다음과 같은 형태를 이차 함수의 표준형이라 한다.

 (단, )

x절편을 보다 쉽게 알아보기 위해서 다음과 같은 형태를 사용하기도 한다.

 (단, )

그래프 [편집]

이차 함수y = ax² + bx + c의 그래프는 포물선 형태이다.

최고차항 [편집]

이차 함수의 개형은 최고차항 a의 부호에 따라 다음과 같이 나눠진다.

• a>0 일 때 아래로 볼록 (위로 오목)
• a<0 일 때 위로 볼록 (아래로 오목)

판별식 [편집]

 이차 방정식#근의 공식 문서를 참고하십시오.

이차 방정식 ax² + bx + c = 0의 해는 이차 함수y = ax² + bx + c의 x절편이다. 따라서, 판별식 의 값에 따라 x절편의 개수를 구할 수 있다.

• D>0 일 때, 이차함수는 x축과 두 점에서 만난다.
• D=0 일 때, 이차함수는 x축과 한 점에서 만나고, 접한다고 표현한다.
• D<0 일 때, 이차함수는 x축과 만나지 않는다.

y절편 [편집]

이차 함수y = ax² + bx + c에서 x에 0을 대입하면 y=c가 된다. 따라서 이차 함수의 y절편의 좌표는 (0,c) 이다.

축 [편집]

이차함수y = a(x − p)² + q에서 x = p + h와 x = p − h 를 각각 대입하면 y = ah² + q로 값이 같다. 따라서, 이차함수는 직선에 대해 대칭이고, 이 직선을 축이라고 한다. 이차함수의 일반형에서 축의 방정식은 다음과 같다.

이차함수의 두 x절편을 알 때, 다음과 같이 구할 수 있다.

꼭짓점 [편집]

이차함수와 축의 방정식의 교점을 꼭지점이라 하고 이차함수는 최고차항a의 부호에 따라 꼭지점에서 최대값 혹은 최소값을 갖는다.

• 아래로 볼록(a>0)일 때, 이차함수는 꼭짓점에서 최소값을 갖는다.
• 위로 볼록(a<0)일 때, 이차함수는 꼭짓점에서 최대값을 갖는다.

이차함수가 표준형과 일반형으로 주어졌을 경우 각각의 꼭짓점의 좌표는 다음과 같다.

• 표준형으로 주어졌을 경우

• 일반형으로 주어졌을 경우

그래프의 꼭짓점과 X절편으로 이루어진 삼각형 [편집]

이차함수 y = a(x − p)² + q에서 꼭짓점을 A, x절편들을 각각 B, C라고 할 때, △ABC의 넓이 ×q 가 성립한다.

http://blog.naver.com/undergrd/140041306107

꼭지점의 좌표가 (h, k)이고, 대칭축이 x = h(수직) 인 포물선의 방정식은

y = a( x - h )² + k

a가 양수 이면, 위쪽으로 열린 모양 ( ∪ )

a가 음수 이면, 아래쪽으로 열린 모양 ( ∩ )

꼭지점의 좌표가 (h, k)이고, 대칭축이 y = k(수평) 인 포물선의 방정식은

x = a( y - k )² + h

a가 양수 이면, 오른쪽으로 열린 모양 ( ⊂ )

a가 음수 이면, 왼쪽으로 열린 모양 ( ⊃ )

공통 : a가 0에 가까워질수록 포물선은 더 넓게 퍼진다.

출처 :

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=56893270&qb=7ZWo7IiYIOyXre2VqOyImCDsl63siJg=&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0&pid=gRikisoi5TCssbJx6VZsss--215121&sid=TUYp9jYnRk0AABcsBhQ

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=110403&docId=103969769&qb=7ZWo7IiY7J2YIOygnOqzsQ==&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0&pid=gRiOXwoi5Uhssa89L5Vsss--362262&sid=TUYp9jYnRk0AABcsBhQ

일반함수일때는

역함수는 f^-1(x) 이렇게 쓰고 역수는 f(x)^-1 이렇게 쓰기때문에

구별이 가도..

삼각함수 있때는 원래

Sin^n(x)이렇게 쓰잖아요.. 그럼 역함수 와 그냥 역수 일때 구별할수 없을것

같은데 예를 들면

1/Sin(x) 과 사인의 역함수와 어덯게 구별하나요..

삼각함수의 역함수는 sin-¹(x)  라고 쓰구요.

삼각함수의 역수는 (sin(x))-¹ 라고 써요.

ex)

http://www.mathteacher.pe.kr/mt_02/mt08_05.htm

5. 합성함수와 그 성질 　 함수 f : X → Y, g : Z → W 에 대하여 f(X)⊂Z 이 성립하면 X 에서 W 로의 함수가 정의된다. 이 때의 함수를 f와 g의 합성함수라고 하고 기호 gof 라고 나타낸다. 합성함수의 성질    ㉠ gof≠fog    ㉡ ho(gof)=(hog)of=hogof Problem 8-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다. f(x)=3x-2, g(x)=x2+1일 때 다음을 구하시오. (1) (gof)(x)      (2) (fog)(x) (답) (1) (gof)(x)=9x2-12x+5  (2) (fog)(x)=3x2+1　 (1) (gof)(x)=g(f(x))={g(x)}2+1=(3x-2)2+1=9x2-12x+5 (2) (fog)(x)=f(g(x))=3g(x)-2=3(x2+1)-2=3x2+1 f(x)=2x+1, g(x)=x-3 일 때 foh=g 를 만족하는 함수 h 를 구하시오. (답) h(x)=x-2 fog=h 이므로 모든 x 에 대하여 (foh)(x)=g(x) (foh)(x)=f(h(x))=2h(x)+1이므로 2h(x)+1=x-3 에서 h(x)=x-2 f()=3x+2일 때 f()를 구하시오. (답) -4x+1　 f()=3x+2 ...① 에서 =X 라고 하면 x=2X-1 ①에 대입하면 f(X)=3(2X-1)+2=6X-1 ∴ f()=6()-1=2(1-2x)-1=-4x+1 f : R → R, f(x)=ax (a≠0)일 때 함수 fof 가 항등함수 I 가 되도록 a 를 정하시오. (답) a=±1 (fof)(x)=f(f(x))=af(x)=a2x 항등함수 I 는 모든 x 에 대하여I(x)=x 이므로 a2x=x 에서 a2=1 ∴ a=±1

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∑ 의 뜻과 기본성질

1. ∑ 의 뜻 → a1 + a2 + a3 + … + an =  ☞ a1, a2, a3, …, an ⇔ ak (k = 1, 2, 3,  …, n) 2. ∑ 의 기본성질 1) = cn (단, c는 상수)→= c+c+c+…+c = cn 2)= c→=ca1+ca2+ … +can = c(a1+a2+ …+an) = c 3)

Problem 3-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 2 + 5 + 8 + … + 41 을 ∑ 기호를 써서 나타내시오.
   (답) 

   1) 2, 5, 8, … , 41 은 첫째 항이 2, 공차가 3 인 등차수열 → k 째 항은 2+(k-1)×3 = 3k-1
   2) 3k-1 = 41 → 3k = 42 ⇔ k = 14   ∴ 2 + 5 + 8 + … + 41 =

   ☞ 첫째 항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 k 째 항 → a+(k-1)d

   
   
   
2. 3²+ 5²+7²+ … + 19² 을 ∑ 기호를 써서 나타내시오.
   (답) 

   1) 3, 5, 7, … , 19 는 첫째 항이 3, 공차가 2 인 등차수열 → k 째 항은 3+(k-1)×2 = 2k+1
   2) 2k+1 = 19 → k = 9     ∴ 3²+ 5²+7²+ … + 19² = 

   ☞ 수열의 합을 ∑ 꼴로 나타내려면 … → k 째 항을 먼저 구합니다. ^^

   
   
   
3. = 30, = 50 일 때, 의 값을 구하시오.
   (답) -80

   =2-3+1·10 = 2·30 - 3·50 + 10 = -80^^

   ☞ ∑ 의 세 가지 기본성질

   1)= cn (c 는 상수)   2) = c 3) 

4. 등차, 등비수열의 합을 구하는 공식을 써서 의 값을 구하시오.
   (답) 2171

   1) = = (2¹+2²+2³+…+2¹⁰)+3(1+2+3+…+10)-40
   2) 2¹+2²+2³+…+2¹⁰ = 2(2¹⁰-1)/(2-1) = 2¹¹-2 = 2046 ← 등비수열의 합 S_n = a(rⁿ-1)/(r-1)
   3) 1+2+3+…+10 = (10/2)(1+10) = 55 ← 등차수열의 합 S_n = (n/2)(a+l)
   4) 준식 = 2046+165-40 = 2171 ^^

   = a¹+a²+a³+…+aⁿ = a(aⁿ-1)/(a-1) → 첫째 항이 a, 공비가 a 인 등비수열의 합

목록으로

∑ 의 기본공식, 자연수 거듭제곱의 합

1. = 1+2+3+ … + n = n(n+1) ← 첫째 항이 1, 공차가 1 인 등차수열의 합 2. = 12+22+32+ … +n2 = n(n+1)(2n+1) → 자연수 제곱의 합 3. = 13+23+33+ … +n3 = {n(n+1)}2 → 자연수 세제곱의 합 2) 의 증명 → 항등식 3k2+3k+1 = (k+1)3-k3  을 이용 3) 의 증명 → 항등식 4k3+6k2+4k+1 = (k+1)4-k4 을 이용

Problem 3-2 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 를 계산하시오.
   (답) 1255

   

   ☞ ∑ 의 세 가지 기본성질

   1)= cn (c 는 상수)   2) = c 3) 

2. 를 계산하시오.　
   (답) n(n+1)(n+2)(n+3)

   

   ☞ 

3. 를 계산하시오.
   (답) n⁴+n²-2n+3

   

   ☞ = (a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n)-(a₁+a₂+a₃+…+a_n-1) = a_n

4. m+n = 12, mn = 8 일 때, 를 계산하시오.　
   (답) 56

   

   ☞ 

   
   

http://www.mathteacher.pe.kr/

동영상강의 : http://brand.pandora.tv/my.sagye/40757419

음수의 제곱근의 성질  : http://blog.naver.com/ksbs1957/120122189661

http://ch.gomtv.com/2468/23279/182601/117

닮음비라는 것은 두 도형이 닮음일 때, 거기서 대응하는 변의 길이의 비를 말하는 것입니다.

예를 들면, 세 변의 길이가 각각 5cm, 4cm, 3cm인 삼각형과 10cm, 8cm, 6cm인 삼각형이 있다면

그 둘은 닮음이고(SSS닮음), 그 때의 닮음비는 1:2라고 하는 거죠.

그래서 닮은 비가 1:2 라는 것은   하나의 정사각형의 한변이 1 이라면 2배의 변을 갖은 정사각형과의 비는

1인 정사각형 : 2인 정사각형

->1:2

3D 또는 2D 에서 Scale 을 떠올리면된다.

그리고 이때 알 수 있는 것은 넓이의 비가 m^2 : n^2 이라는 것

정사각형 닮은 비가 1:2 라면 넓이의 비는 1^2 : 2^2  = 1 : 4

http://www.bemath.co.kr/m/dic/m2/2-084.html

참고 : 닮은도형, 닮음(평면도형), 닮음(입체도형), 닮음비(평면도형), 닮음비(입체도형), 제곱, 닮은도형의 부피의 비
 

만약 닮은 비가 m : n 이라면!   (스케일된 도형이라면)

부피의 비는 m^3 : n^3 이 된다

http://www.bemath.co.kr/m/dic/m2/2-085.html

참고 : 닮은도형, 닮음(평면도형), 닮음(입체도형), 닮음비(평면도형), 닮음비(입체도형), 세제곱, 닮은도형의 넓이의 비

등비수열(等比數列)은 각 항이 그 앞 항과. 일정한 비를 가지는 수열을 말한다. 그리고, 이 일정한 비를 공비(共比)라고 한다.

첫항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

ex) 

∞

∑ ( -1/3 )^n

n=1

은 위 조건식에 맞춰 n=1 일때가 첫항 a 가 된다 즉

a=(-1/3)^1 = -1/3

ar=(-1/3)^2 = 1/9

임으로 공비는

ar=(-1/3)^2 = 1/9

r=((-1/3)^2)/a = (1/9)/a

r=((-1/3)^2)/(-1/3) = (1/9)/(-1/3)

r=(1/9)/(-1/3) = (1/9)/(-1/3)

r=-3/9 = -3/9

r=-1/3 가 된다.

급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

등비수열의 예 [편집]

첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ...

첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.

729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...

첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.

3, -3, 3,-3, 3, -3, 3 ...

기본적 성질 [편집]

첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.

등비수열은 n ≥ 1에 대해다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가

• 양수이면, 모든 항은 첫항과 같은 부호를 가진다.
• 음수이면, 계속 부호가 번갈아 가며 나타난다.
• 1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.
• 1이면, 모든 항의 값이 같아진다.
• -1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
• -1이면, 모든 항의 절대값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다.
• -1보다 작으면, 음의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.

등비수열은(공비가 -1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 되는 관계를 가지고 있다.

등비중항 [편집]

0이 아닌 세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, b를 a와 c의 등비중항이라 한다.

따라서 세 수 a, b, c에 대하여, b가 a와 c의 등비중항이라면

 즉, b² = ac가 성립한다.

또 b² = ac에서 이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

등비수열의 합 [편집]

a₁부터 a_n까지 더한 합인 등비급수 S_n은 다음과 같이 구할 수 있다.

여기에서 r의 값이 1이 아니라면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

무한등비급수 [편집]

무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 합으로 다음과 같이 정리된다

 단 |r| < 1 일 때)

lim n->∞ a(1-r^n)/(1-r)

= lim n->∞ a/(1-r) - ar^n/(1-r)

임으로 |r| < 1 이면 ar^n 은 0 으로 수렴하고 - ar^n/(1-r) 또한  0 으로 수렴하게 되어 남는 ㅓㅅ은

lim n->∞ a/(1-r) 이 된다, 즉 이 값으로 수렴하게 된다 (|r| < 1 일때)