∑ 의 기본공식&성질, 자연수 거듭제곱의 합, 이중 시그마

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∑ 의 뜻과 기본성질

1. ∑ 의 뜻 → a1 + a2 + a3 + … + an =  ☞ a1, a2, a3, …, an ⇔ ak (k = 1, 2, 3,  …, n) 2. ∑ 의 기본성질 1) = cn (단, c는 상수)→= c+c+c+…+c = cn 2)= c→=ca1+ca2+ … +can = c(a1+a2+ …+an) = c 3)

Problem 3-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 2 + 5 + 8 + … + 41 을 ∑ 기호를 써서 나타내시오.
   (답) 

   1) 2, 5, 8, … , 41 은 첫째 항이 2, 공차가 3 인 등차수열 → k 째 항은 2+(k-1)×3 = 3k-1
   2) 3k-1 = 41 → 3k = 42 ⇔ k = 14   ∴ 2 + 5 + 8 + … + 41 =

   ☞ 첫째 항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 k 째 항 → a+(k-1)d

   
   
   
2. 3²+ 5²+7²+ … + 19² 을 ∑ 기호를 써서 나타내시오.
   (답) 

   1) 3, 5, 7, … , 19 는 첫째 항이 3, 공차가 2 인 등차수열 → k 째 항은 3+(k-1)×2 = 2k+1
   2) 2k+1 = 19 → k = 9     ∴ 3²+ 5²+7²+ … + 19² = 

   ☞ 수열의 합을 ∑ 꼴로 나타내려면 … → k 째 항을 먼저 구합니다. ^^

   
   
   
3. = 30, = 50 일 때, 의 값을 구하시오.
   (답) -80

   =2-3+1·10 = 2·30 - 3·50 + 10 = -80^^

   ☞ ∑ 의 세 가지 기본성질

   1)= cn (c 는 상수)   2) = c 3) 

4. 등차, 등비수열의 합을 구하는 공식을 써서 의 값을 구하시오.
   (답) 2171

   1) = = (2¹+2²+2³+…+2¹⁰)+3(1+2+3+…+10)-40
   2) 2¹+2²+2³+…+2¹⁰ = 2(2¹⁰-1)/(2-1) = 2¹¹-2 = 2046 ← 등비수열의 합 S_n = a(rⁿ-1)/(r-1)
   3) 1+2+3+…+10 = (10/2)(1+10) = 55 ← 등차수열의 합 S_n = (n/2)(a+l)
   4) 준식 = 2046+165-40 = 2171 ^^

   = a¹+a²+a³+…+aⁿ = a(aⁿ-1)/(a-1) → 첫째 항이 a, 공비가 a 인 등비수열의 합

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∑ 의 기본공식, 자연수 거듭제곱의 합

1. = 1+2+3+ … + n = n(n+1) ← 첫째 항이 1, 공차가 1 인 등차수열의 합 2. = 12+22+32+ … +n2 = n(n+1)(2n+1) → 자연수 제곱의 합 3. = 13+23+33+ … +n3 = {n(n+1)}2 → 자연수 세제곱의 합 2) 의 증명 → 항등식 3k2+3k+1 = (k+1)3-k3  을 이용 3) 의 증명 → 항등식 4k3+6k2+4k+1 = (k+1)4-k4 을 이용

Problem 3-2 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 를 계산하시오.
   (답) 1255

   

   ☞ ∑ 의 세 가지 기본성질

   1)= cn (c 는 상수)   2) = c 3) 

2. 를 계산하시오.　
   (답) n(n+1)(n+2)(n+3)

   

   ☞ 

3. 를 계산하시오.
   (답) n⁴+n²-2n+3

   

   ☞ = (a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n)-(a₁+a₂+a₃+…+a_n-1) = a_n

4. m+n = 12, mn = 8 일 때, 를 계산하시오.　
   (답) 56

   

   ☞