일차함수, 일차 방정식,직선의 방정식

2012. 11. 2. 20:57

일차 함수

일차 함수 그래프의 예시

일차 함수(一次函數)는 최고차항의 차수가 1인 함수를 뜻한다. 모든 일차 함수는 $f (x) = a x + b$ (단, a, b는 상수)의 꼴로 나타낼 수 있으며, $a$ 를 기울기라 한다.

특징

일차 함수 $f (x) = a x + b$ 는 다음과 같은 특징을 갖는다.

일대일 대응이다.

도함수가 $f'(x) = a$ , 즉 상수함수이다.

b=0일 경우, 즉, $f (x) = a x$ 일 경우 정비례라 한다.

일차함수의 그래프는 직선으로 나타난다.

직선의 방정식 [편집]

y축과 평행하지 않은 직선은 일차식

y = a x + b

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $a$ 를 직선의 기울기라고 한다.

일반적인 직선의 방정식은 $a x + b y + c = 0$ 으로 나타낼 수 있으며, y축과 평행한 직선까지 나타낼 수 있다.

여러가지 직선의 방정식 [편집]

x축의 방정식은 $y = 0$

y축의 방정식은 $x = 0$

x축에 평행한 직선의 방정식은 $y = k$ (단, k≠0)

y축에 평행한 직선의 방정식은 $x = k$ (단, k≠0)

$(x 1, y 1)$ 을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 $y - y 1 = m (x - x 1)$

$(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2)$ 을 지나는 직선의 방정식은 $y-y_1 =\frac{y_2 -y_1 }{x_2 -x_1 }(x-x_1 )$

x절편이 $α$ , y절편이 $β$ 인 직선의 방정식은 $\frac{x}{\alpha} +\frac{y}{\beta} =1$

이차 곡선의 접선의 방정식 [편집]

원 $x 2 + y 2 = r 2$ 위의 점 $(x 1, y 1)$ 에서의 접선의 방정식은 $x 1 x + y 1 y = r 2$

원 $x 2 + y 2 = r 2$ 의 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y=mx \pm r \sqrt {m^2 +1}$

한 그래프의 특징 [편집]

직선은 $y = a x + b$ 는 다음과 같은 특징을 갖는다.

x절편은 $\textstyle x = -\frac{b}{a}$ , y절편은 $b$ 이다.

$a \not= 0$ 일 때, x축과 한 점에서 만난다.

두 그래프의 특징 [편집]

일차 함수 $y = a x + b$ , $y = a' x + b'$ 의 그래프는 다음과 같은 특징을 갖는다.

$a = a'$ , $b = b'$ 일 때 두 그래프는 일치한다.

$a = a'$ , $b \not= b'$ 일 때 두 그래프는 평행하다.

$a a' = - 1$ 일 때 두 그래프는 수직이다.

변수가 두 개인 일차 방정식 [편집]

일차 방정식은 일차 함수와 밀접한 연관이 있다. 두 개의 변수를 가진 일차 방정식은 실질적으로 일차 함수가 된다. 또한 이것은 좌표평면에서 직선이 되므로 직선의 기하학적 성질과 연관이 있으므로 직선의 방정식이라고도 부른다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.

y = m x + b

동류항 정리를 한 이후에는 각 변수들은 다른 변수들과의 곱으로 나타내면 안되고, 각 변수도 1 이외의 다른 지수를 가져서는 안 된다. 예를 들어 $x y, x 2, y 1 / 3,sin(x)$ 와 같은 항들이 있어서는 안 되며, 이러한 항들은 비선형항이 된다.

좌표평면 위에 그리기 [편집]

좌표평면은 기하학적 정보와 대수적 정보 사이의 변환을 제공해주는 도구이므로, 직선을 결정짓는 기하학적인 정보를 활용하여 직선을 표현하는 방정식을 만드는 다양한 방법이 중학 교과과정에 잘 나와있다.

일반적 형태 [편집]

직선의 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

A x + B y + C = 0

여기서 $A$ 와 $B$ 는 동시에 영이 되면 안 된다.

y 절편과 기울기가 주어진 경우 [편집]

기울기(gradiant) $m$ 과 y 절편(y-intercept) $b$ 가 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

y = m x + b

한 점과 기울기가 주어진 경우 [편집]

기울기(gradiant) $m$ 과 한 점 $(x 1, y 1)$ 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

y - y 1 = m (x - x 1)

두 점이 주어진 경우 [편집]

서로 다른 두 점 $(x 1, y 1),(x 2, y 2)$ 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

(x 2 - x 1)(y - y 1) = (y 2 - y 1)(x - x 1)

이 때, $x_2 \ne x_1$ 이라면 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.

$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1 )$

두 절편이 주어진 경우 [편집]

x 절편 $a$ 와 y 절편 $b$ 가 주어진 경우 직선의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 모두 영이 아니어야 한다. 이 경우는 일반적인 직선의 방정식 형태에서 $A = 1 / a, B = 1 / b, C = 1$ 을 대입한 형태와 같다.

매개변수 형태 [편집]

직선위의 모든 점은 모든 실수 값에 대응된다. 그러므로 실수범위에서 변하는 하나의 변수로서 직선을 표현하는 것이 가능하다.

$x = T t + U, \; y = V t + W$

위와 같이 연립 방정식을 이용하여 매개변수 형태(Parametric form)로 표현할 수도 있다. 물론 $T, U, V, W$ 는 모두 고정된 상수값이고, $t$ 의 값이 변하면서 그에 상응하는 $x, y$ 값이 변화한다. 이 경우 기울기는 $\frac{V}{T}$ 가 되고, x 절편은 $\frac{V U - W T}{V}$ , y 절편은 $\frac{W T - V U}{T}$ 가 된다.

극좌표 형태 [편집]

직교 좌표와 극좌표는 모두 평면위의 점을 표현하는 방법이다. 따라서 직선을 극좌표형식(Polar Form)으로 표현할 수도 있다.

$r=\frac{mr\cos\theta+b}{\sin\theta}$

이때 $m$ 은 기울기가 되고 $b$ 는 y 절편이 된다. $θ$ 가 영이 되면 안 된다.

두 개 이상의 변수를 가진 일차 방정식 [편집]

이 부분의 본문은 일차연립방정식입니다.

일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. 일반적으로 $n$ 개의 변수를 가지고 있다면 다음과 같이 표현된다.

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.$

여기서 $a 1,.... a n$ 은 상수이고 $x 1,.... x n$ 은 변수가 된다. 이러한 방정식은 $n$ 차원 유클리드 공간에서 $n - 1$ 차원 초평면(hyperplane)을 이루게 된다.

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