#1 고등수학_ 간단한 개념 : 닫혀있다

 

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‘닫혀있다’의 개념

 

고등학교 수학을 올라가면 자주듣는 수학용어중에는 닫혀있다라는 말이 있다. 우리가 일반적으로 쓰는 닫혀있다와 어떤 차이가 있는 것 일까.

우선 사전상의 의미를 보자. 닫혀있다의 표제어인 닫히다를 봐야 할 것이다.

 

닫-히다[발음 : 다치다] (동사)

활용 : 닫히어[닫히어/닫히여](닫혀), 닫히니

1 . ‘닫다2(1. 열린 문짝, 뚜껑, 서랍 따위를 도로 제자리로 가게 하여 막다)’의 피동사.

ž   성문이 닫혀 있다.

ž   열어 놓은 문이 바람에 닫혔다.

ž   병뚜껑이 너무 꼭 닫혀서 열 수가 없다.

2 . ‘닫다2(3. 하루의 영업을 마치다)’의 피동사.

ž   지금 시간이면 은행 문이 닫혔을 겁니다.

3 . ‘닫다2(4. 굳게 다물다)’의 피동사.

ž   무언가 생각을 하는지 그의 입이 굳게 닫혔다.

ž   뒷실댁이 바락바락 내질러도 뒷실 어른의 한번 닫힌 입은 조개처럼 다시는 열릴 줄을 모른다. 출처 : 김춘복, 쌈짓골

ž   한바탕 와글거린 후 처음보다 더 무겁게 말문이 닫힌다. 다시는 아무도 입을 열지 않는다. 출처 : 최인훈, 광장

 

출처 : 네이버 국어사전

 

1, 2, 3번의 뜻이 있는데 엄밀히 말해, 수학의 닫히다와는 조금 거리가 있다. 사전상의 의미들은 close의 의미를 지니고 있다. 하지만 수학에서는 closure(폐쇠) 의 의미에 가깝다고 하겠다.

 

닫혀있다의 예를 보도록 하자.

              i.         자연수는 덧셈과 곱셈에 관하여 닫혀있다.

             ii.         자연수는 뺄셈과 나눗셈에 관하여 닫혀있지 않다.

            iii.         정수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 관하여 닫혀있다.

            iv.         정수는 나눗셈에 관하여 닫혀있지 않다.

눈치가 빠른 사람이면 이쯤되면 어림짐작 할 수도 있다. 집합으로 설명하기 전에 우선… 예를 기준으로 상식적인 이야기를 해보자

i.              자연수는 덧셈과 곱셈에 관하여 닫혀있다.

자연수와 자연수를 더하면 어떻게 될까. 자연수인 아무 수나 대입해서 한번 풀어보자.

2 + 1 = 3

3 + 4 = 7

이렇게 당연히 자연수가 나온다.

 

곱셈도 보자.

2 x 1 = 2

3 x 4 = 12

마찬가지로 당연히 자연수가 나온다.

이것이 닫혀있다 인데. 일단 두번째 예도 한번 해석을 해보자.

ii.             자연수는 뺄셈과 나눗셈에 관하여 닫혀있지 않다

첫번째처럼 대입해서 한번 보도록 하자. 우선 뺄셈.

2 – 1 = 1

3 – 4 = -1

첫번째 대입에는 자연수 였지만, 두번째 대입에는 음수가 나왔다. 뺄셈의 결과에는 반드시 자연수가 나오지는 않는다는 결론.

 

나눗셈도 보자.

2 ÷ 1 = 2

3 ÷ 4 = 0.75

첫번째 대입에는 2가 자연수 였지만, 두번째는 0.75이므로 자연수가 아니다.

 

다른 예들을 보기 전에, 일반적일 결론을 내려보자.

A라는 집합이 있다고 해보자. 집합이 있으면 그에 따른 원소도 있다. 원소들 끼리 B라는 행동을 한다. 그 결과가 A의 집합의 원소로 된다면, 그 때 ‘닫혀있다’ 라고 할 수 있다.

이 말을 그림으로 설명한 것이 [그림1] 이다.

 

                                                                 [그림 1]

 

 

간단히 말해, 어떤 집합끼리 무언가를 해서 해당 집합이 나오면 닫혀있다라고 보면된다.

이 닫혀있다라는 개념은 증명할 때 반드시 나오는 언어이므로, 충분히 인지하는 것이 중요할 것이다.

 

나머지 두 예는 여러분들이 한번 생각해 보도록 하자 :)

 

그럼 안녕~