간단한 개념 #3 - 연립방정식의 가감법과 등호의 관계

Feedback : smile.k06@gmail.com

 

오랜만에 쓰는 포스팅 입니다. 흐흐.

그간 멘탈이 나가기도 한적도 있었고, 바쁘기도 했었다는 핑계로 살짝 밑밥을 깔아 두고… 생각나는 수학 주제가 있을 때마다 쓸 주제들을 나열하고는 있었는데, 정리가 안되서 사실 올리지 못했습니다. (약간의 완벽주의가…)

어쨌거나 오늘의 주제는 연립방정식의 가감법과 등호의 관계 입니다.

시작!

 

 

 

이번 포스팅의 내용은, 과거 필자가 연립방정식을 처음 공부할 때 느꼈던 궁금증에서 시작하였다.

우리가 중2과정에서 처음 배우는 연립방정식은, 아주 익숙한 주제중에 하나기도 하다.

사실 고등학교 수1에서 배우는 함수와 직선의 방정식 으로 설명하면 좀더 완벽하게 설명 할 수 있겠지만, 일단은 중학교 과정안에서 어떻게든 해보려고 한다.

우선 예제를 보자.

 

 

 

[예1] 연립방정식의 기본 문제

 

[예1] 을 보면 습관적으로 가장 먼저 하고 싶은 일이 무엇일까.

맞다. 위의 식에서 밑의 식을 빼고 싶겠지.. 크크.

그걸 우리는 흔히 말해 가감법 이라고 알고 있다.

 

사실 연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수를 줄이는 것이다.

여러 문자가 있으면 하나의 식으로 해결이 안되므로(사실 해결이 안되는 것은 아니지만, 유한한 개수의 답으로 정해지지 않는다 가 정확한 표현이다.) 여러 식을 이용해 미지수의 개수를 줄이는 것이다.

그 방법중에 하나는 대입법이고, 또 하나는 가감법이라고 알고 있을 것이다.

 

[예제1]을 한번 풀어보도록 하자.

  

[풀이1] 연립방정식의 기본 문제

 

2x가 같으니까 두식을 빼주면 y = 2 만 남게되고,

두 식중에 어떠한 한 식에다 y = 2를 대입하면 쉽게 나머지 x 를 구할 수가 있게 된다.

 

여기까지개 대략적인 가감법에 대한 이야기 인데…

 

자 여기서 질문.

어째서 위의 식에서 밑에 식을 뺄 수 있을까. 혹은 더할 수 있을까.

누구 마음대로 식을 더하거나 뺀 것일까.

 

중학교 과정의 연립방정식 전에는 식을 뺀다는 개념이 없어서, 처음 가감법을 배우게 되면 통상 ‘아 그냥 이렇게 풀면 되는구나’ 하고 넘어가기 마련이다.

 

필자의 생각으로는 수학을 공부할 때는 항상 궁금증을 가지는 것이 유리한데,

왜냐면 그 궁금증이 증명을 이끌어 낼 수 있기 때문이다.

증명은 지금까지 가지고 있는 공리를 이용해서 새로운 공리를 만들어 내는 과정이므로, 자연스레 수학의 폭이 넓어 지게 해준다.

 

어쨌거나 질문으로 돌아가보면…

어째서 식을 뺄 수 있는가.

그것은 등호의 성질에서 찾아보면 쉽게 알 수 있다.

 

이전 포스팅에서 등호의 성질에 관한 포스팅을 했었는데..

이하와 같다.

 

 

1.     양 변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.

a = b 이면, a + c = b + c

2.     양 변에 같은 수를 빼주어도 등식은 성립한다.

a = b 이면, a - c = b - c

3.     양 변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.

a = b 이면, a x c = b x c

4.     양 변에 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

a = b 이면, a ÷ c = a ÷ c ( c ≠ 0)

[예2] 등호의 성질

 

등호의 성질의 1번과 2번을 보자.

양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립하고 마찬가지로 양변에 같은 수를 빼더라도 등식은 성립한다.

여기서 다시 풀이 1의 중간과정을 보도록 하자

 

 

[풀이1-1]

 

①의 좌변(2x + 3)에는 ②의 좌변(2x – 2y)을 빼주었고,

①의 우변(5)에는 ②의 우변(5)을 빼주었다.

 

그런데 잘 생각해보자.

2x + 2y = 3 이다.

다시말해, 2x + 2y 를 다르게 표현하면 3 으로 표현할 수 있다라는 이야기다.

2x + 2y가 아닌 3을 양변에 빼준 것과 같다라는 이야기다.

 

즉, ①의 좌변에는 ②의 좌변을 빼주었고,

①의 우변에는 ②의 우변을 빼주었던 이 행위는.

①의 양 변에 3을 빼준 것과 같다.

 

정리하면,

연립방정식의 가감법은 등호의 성질 중 양변에 같은수를 더하거나 빼주어도 등호는 성립한다라는 성질을 이용한 것에 불과하다.

라는 것이다.

 

대부분의 풀이 방법들은 어떠한 과정을 통해 생겨났다는 점을 생각해보면,

즐겁게 할 수 있을것이다.

 

그럼 안녕~

 

Feedback : smile.k06@gmail.com