이차 방정식

2012. 11. 2. 21:13

이차 방정식

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이차함수 $y = x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ 의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표인 $x = -1$ 과 $x = 2$ 는 $x^2 - x - 2 = 0$ 이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식(Quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. $x$ 에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

$ax^2 + bx + c = 0 , \quad a \ne 0$

와 같고, 여기서 $x$ 는 변수, $a$ 와 $b$ 는 각각 $x^2 , x$ 의 계수라고 하며, $c$ 는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 (실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 i로 표기한다.)이다.)를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이 때의 근을 중근이라고 한다.

[편집]근의 공식

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

$ax^2 + bx + c = 0$ , 단, $a$ , $b$ , $c$ 는 실수이고 $a$ 가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 $x_1$ , $x_2$ 는

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$ 이다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 $D = b^2 - 4ac$ 를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

[편집]근의 공식의 유도

$ax^2+bx+c=0$ 에서, $a$ 는 $0$ 이 아니므로 양변을 $a$ 로 나눌 수 있다.

$\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0$

그런 다음, 상수항을 우변으로 이항하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

$\textstyle x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

좌변을 $x^2+2xy+y^2$ 과 같은 모양으로 만들면, $\scriptstyle \frac{b}{a}x = 2xy$ 이므로 $\scriptstyle y = \frac{b}{2a}$ 가 된다. 양변에 $y^2$ 를 더해주면,

$\textstyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$

가 얻어진다. 여기에서 $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$ 이므로, 좌변은 $\scriptstyle \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ 으로 인수분해된다. 양변을 정리하면

$\textstyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

가 얻어지고, 제곱근을 취하면

$\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

가 얻어진다.

[편집]짝수 공식

이차 방정식에서 일차항의 계수 $b$ 가 짝수인 경우 $\scriptstyle b' = \frac{b}{2}$ 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

$x = \frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a}$

[편집]근과 계수의 관계

근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

[편집]근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명

$ax^2+bx+c=0$ 의 두 근 $\alpha, \beta$ 는 각각

$\alpha=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$

$\beta=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$ 이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

$\alpha + \beta = \frac {-b-b+\sqrt {b^2-4ac\ }-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$

$\alpha + \beta = \frac {-2b}{2a}$

$\therefore \alpha + \beta =-\frac {b}{a}$

$\alpha \beta =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2}$

$\alpha \beta =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2}$

$\alpha \beta =\frac {4ac}{4a^2}$

$\therefore \alpha \beta =\frac {c}{a}$

$\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }+b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right|$

$\left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {2\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right|$

$\therefore \left| \alpha - \beta \right| = \frac {\sqrt{b^2-4ac\ }}{\left| a \right|}$

[편집]이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명

$ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 각각 $\alpha, \beta$ 라고 정의하고

$\alpha, \beta$ 을 근으로 갖는 이차방정식을 $(x-\alpha)(x-\beta)=0$ 이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 $k$ 를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

$ax^2+bx+c=0 \iff a(x-\alpha)(x-\beta)=0$

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

먼저 두 번째 이차방정식인 $a(x- \alpha)(x- \beta)=0$ 의 계수를 나누고 전개해주면

$x^2+(- \alpha - \beta)x+\alpha \beta$ - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 $ax^2+bx+c=0$ 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 $ax^2$ 의 계수 $a$ 로 나눠주면

$x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$ - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

$-\alpha - \beta=\frac {b}{a}, -(\alpha + \beta)=\frac {b}{a}$

$\therefore \alpha + \beta = -\frac {b}{a}$

$\therefore \alpha \beta = \frac {c}{a}$

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