비선형 미분방정식 [기초]

2012. 11. 3. 12:25

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비선형 미분방정식 [기초] written by 3DMP

비선형 미분방정식

1. 종속변수가 없는 경우

2. 독립변수가 없는 경우

n계수 = y를 기준으로 미분한 y' or y^(n) 의 가장높은 n에 대한 n 계 를 말하며

y^(4)=0 =>4계 미분방정식

이에대한 내용과 미분방정식에 대한 내용 [참고 : 미분방정식이란? ]

ex)

$\\ y^{''}=2x(y^{'})^2\\$ => 2계 미분방정식 but 2계 선형 미분방정식은 아니다

선형미분방정식이 아닌 것을 풀려면 우선 치환을 한 후 적분하여 차수가 낮아지는

성질을 이용하여 y 를 구해야 한다

그런데..

변수분리법이 1계 미분방정식이 범위내에서 정의 되어 있다는 정의가 있음으로

이를 이용하여 풀어나갈 수 있다

[참고 : 변수 분리형 미분방정식]

아래처럼 u 로 치환을 적용한 후

$\\ y^{''}=2x(y^{'})^2, \\ def \ u=y^{'}\rightarrow \frac{du}{dx}=y^{''}\\ \\ \frac{du}{dx}=2xu^{2}$

이것으로 x,u 를 각각 우,좌 변으로 나누어 변수분리법을 활용한다

$\\ \int u^{-2} \ du=\int 2x \ dx\\ -u^{-1}=x^{2}+C\\ \frac{1}{y^{'}}=x^{2}+C\\ -y^{'}=\frac{1}{x^{2}+C}\\ y^{'}=\frac{-1}{x^{2}+C}\\$

이때

적분상수 C 를 x^2 과 같이 제곱의 수로 본다면 어떤수의^2 = C 라면 다음과 같은

공식을 적용 할 수 있다

$\\ 1.\ (tan^{-1}x)^{'}=\frac{1}{1+x^{2}}\\ 2.\int \frac{1}{1+x^{2}}dx=tan^{-1}x+C\\ 3.\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx= \frac{1}{a}tan^{-1}( \frac{x}{a})$

3번 공식을 활용 하면..

$\\ y^{'}= \frac{-1}{x^{2}+C}\\ y=- \frac{1}{ \sqrt{c}}\tan^{-1}( \frac{x}{ \sqrt{c}}) +C^{'}\\ C^{'} is not \ C$

으로 y 를 구할 수 있다

독립변수 x 가 없는 경우

아래의 경우는 2계 미분방정식 이며 선형 미방이 아님으로 동일하게

치환을 활용한 변수분리형 미방을 활용하여 구한다

$\\ yy^{''}=(y^{''})^{2}\\ u=y^{'} \rightarrow \frac{du}{dy}=\frac{d}{dy}(y^{'})\\ \frac{d}{dy}(y^{'})= \frac{d}{dx}(y^{'}) \frac{dx}{dy}=y^{''} \frac{1}{u} \ \ \ ,\ \ \ \ \frac{1}{u}=\frac{1}{y^{'}}= \frac{dx}{dy} \\$

dy'/dy 를 연산할때 y 는 x 의 함수 임으로 x 로 미분 하고

분모의 dx 와 분자의 dx 가 약분되어 사라지는 것이 연산의 성질 이지만

여기서 dx/dy 값을 찾아보자면 그것이 위처럼 dx/dy=1/u 라는 것을 알 수 있다

$\\ \therefore \frac{du}{dy}=y^{''} \frac{1}{u} \\ y^{''} = u \frac{du}{dy} \\ \\ \\ \ assign \ ( \ y^{''} = u \frac{du}{dy} \ ) \ to \ yy^{''}=(y^{'})^{2}\\ \therefore y(\ u \frac{du}{dy} \ ) = u^{2}\\$

치환을 통하여 y,u 로 식을 구성한 후

변수분리법으로 y 값을 구한다

$\\ y( \frac{du}{dy}) = u\\ \int \frac{1}{u}du\ = \int \frac{1}{y}dy\\ \ln|u|=\ln|y|+C_{1}=\ln|y|+\ln \ e^{C_{1}}=\ln e^{C_{1}}|y| \\ \\ delete \ln \\ \\ \therefore u = \pm e^{ C_{1} }y \\ def \ u= \pm e^{ C_{1} }y = C_{2}y\\ \\ y^{'}=C_{2}y \rightarrow \frac{dy}{dx}=C_{2}y \\ \int \frac{1}{y} dy= \int C_{2}dx \\ \ln|y|=C_{2}x+C_{3} \\ \\ \therefore |y|=e^{C_{2}x+C_{3}}\\ y= \pm e^{C_{2}x+C_{3}} \\ def \ e^{C_{3}} = C_{4} \\ y=C_{4}e^{C_{3}}$

상수적인 부분을 간단하계 치환하여 표현한다

이 풀이 과정에서는 y 를 구할때

u 에 대한 적분과 y 에 대한 적분을 한번씩 수행

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