1. 복소수와 쿼터니온 그리고 회전

** [강좌] Quaternion **
copyrightⓒ 김성완(kaswan) [1999년 6월 24일]

1. 복소수와 쿼터니온 그리고 회전쿼터니온과 3차원 회전의 연관성을 이해하려면 우선 쿼터니온의 할아버지인 복소수와 2차원 회전의 연관성을 먼저 살펴 보아야 합니다.

복소수(Complex number)야 여러분들이 이미 고등학교 수학에서 배웠으니 잘 아실 테고..

임의의 복소수 C = X + i*Y ( i² = -1 ) 가 있을때.. 
실수 성분 X와 허수 성분 Y를 각각 2차원 평면 좌표계의 x축 좌표와 y축 좌표로 대응시키면 임의의 실수를 수직선상에 표시할 수 있듯이 임의의 복소수를 2차원 평면상에 표시할 수 있지요. 
이런 평면을 복소평면이라고 한다는 것도 배웠을 겁니다.
이때 x축을 실수축, y축을 허수축이라고 하지요.

그럼 복소수와 2차원 회전의 연관성을 알아보지요.
복소평면상의 원점에서 1의 거리에 있는 모든 복소수들을 찍으면 반지름이 1인 단위원이 되죠.
실수축을 기준으로 반시계방향으로 잰 각도를 'θ'라고 하면 복소평면의 단위원상에 있는 복소수들은 R = cosθ + i*sinθ 로 나타낼 수 있습니다.

자! 이제 임의의 복소수 C와 단위원을 나타내는 복소수 R을 서로 곱해봅시다. 
복소수를 곱하는 법은 다들 아시죠? 
(기억이 안나시면 고등학교 수학책 한번 들춰보세요!) 
곱한 결과로 나온 복소수를 C'이라고하면

C' ＝ C*R
　 ＝ X*cosθ － Y*sinθ + i*( X*sinθ + Y*cosθ )

이걸 각 성분 별로 적어보면

X' ＝ X*cosθ - Y*sinθ 
Y' ＝ X*sinθ + Y*cosθ

그런데 이건 2차원 평면에서의 회전공식이랑 똑 같네요.
우리는 그냥 복소수끼리 곱하기만 한 건데.. 
결과는 2차원 행백터( x, y )에다 2차원 회전행렬을 곱한 거랑 똑같군요.

　　　　　　　　 　 　 |　cosθ　 sinθ　|
　( x', y' ) = ( x , y ) * l　　 　　　　　 　 l
　　　　 　 　 　　　　| -sinθ 　 cosθ　|

복소평면상에서의 의미를 살펴보면 임의의 복소수 C를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전시킨 복소수가 바로 C' 이라는 것이죠.

여기서 우리가 알아낸 사실은 복소수의 곱이 의외로 2차원 회전과 연관되어있다는 겁니다. 
그러면 복소수의 확장인 쿼터니온도 뭔가 회전과 관련성이 있을 것이라고 짐작할 수 있겠죠.

▶ 2. Quaternion의 유래와 Angular displacement