변수변환법(매개 변수 변환법)

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작성자 : 송정헌

강의를 보고 분명 나중에 까먹을것 같아 정리한 것인데 

수식기로 써내려가다보니 오타가 있을 수 있음음로 만약  오타 발견 후 댓글 달아주시면 수정하겠습니다

아래 식중 미분방정식을 f(x) 라고 쓴건 모두 f(y) 임..

변수 변환법

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f(x) 에 y_c 를 대입해 0 이 나왔다는 것은 동차DE(동차미분방정식)의 해와 같다고 할 수 있음으로 이것을 f(x) 가 0 이 되는 해를 동차 미분 방정식의 일반해로 놓을 수 있다

차수에 따라 독립해들의 개수가 증가한다  

1차=y_1(해의 개수 1개) , 2차 =y_1, y_2 , ... , 

n차 = y_1 , y_2 , ....  y_n

 

 

 

즉 이 y_p 가 유도되어 졌다는 것은 y_p = u_1*y_1 로 부터 구해질 수 있다는 것임으로 u_1 의 식을 구할 수 있다면 

해를 구할 수 있다는 것!!

차수에 따른 u_n -> n개의 함수를 구해야 한다

 

 

y_1u_1' + y_2u_2' =0 으로 두는 이유는..   f(x) 에 

y_p', y_p''(y_1u_1' + y_2u_2' =0  을 적용하지 않고 그냥 두번 미분한 식) 을 대입하여 정리하면

d[y_1u_1' + y_2u_2']/dx + p(x)[y_1u_1' + y_2u_2'] + y_1'u_1' + y_2'u_2' 

로 f(x) 가 풀이 되는데 특수해 y_p 를 대입한 f(x) 가 나온다는 것은 특수해는

수 많은 해 중에 하나를 구해내면 나머지 계수, 함수등을 연립하는 등으로 

풀어낼 수 있기 때문에 먼저 식을 간단 하게 하기 위하여 

다시말해 해를 하나 뽑아낸다는 가정으로 

d[y_1u_1' + y_2u_2']/dx + p(x)[y_1u_1' + y_2u_2'] 을 

y_1u_1' + y_2u_2' = 0 으로 가정한다 

그래서 특수해 y_p 에 해당하는 하나의 해는 

f(x) = y_1'u_1' + y_2'u_2'  로써 추론해 갈 수 있다

2차 = y_1'u_1' + y_2'u_2'  

3차 = y_1''u_1' + y_2''u_2' + y_3'''u_3'

n 차

y_1^(n-1번미분)u_1' + y_2^(n-1번미분)u_2' + ...... +    y_n^(n-1번미분) u_n'

 

[오타 수정 : y_1' + py' + Qy_1 => y_1' + py_1' + Qy_1]

 

[오타 수정 : y_1' + py' + Qy_1 => y_1' + py_1' + Qy_1]

 

 

 

끝~!!

참고 자료

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보다보면 다음의 것들이 궁금할 수 있기에 주소를 포스팅해놓는다

크래머 공식(연립방정식 해를 구하는 행렬식)

http://web3.c2.cyworld.com/myhompy/board/retrieveBoard.php?home_id=a0619041&lmenuSeq=204317&smenuSeq=257257&postSeq=6651428&referrer=http%3A%2F%2Fweb3.c2.cyworld.com%2Fmyhompy%2Fmain.php%3Fhome_id%3Da0619041%26referrer%3Dhttp%253A%252F%252Fcyhome.cyworld.com%252F%253Fhome_id%253Da0619041

론스키 행렬식(= 결과 값이 0 이 아니면 1차 독립이다 )

http://web3.c2.cyworld.com/myhompy/board/retrieveBoard.php?home_id=a0619041&lmenuSeq=204317&smenuSeq=564534&pageNo=1&postSeq=6555657&view=bbs&menu=smenu