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       1.2.3 동차비분방정식   1.2.4 완전미분방정식








 

 

1.2.3 동차비분방정식

 

      동차미분방정식을 정의하기에 앞서 우선 동차함수에 대하여 살펴보자.

 

정의 2.3.1   임의의  에 대하여  가 성립할 때  를  차동차함수(homogeneous function)라 한다.

       

동차함수란 각 항의 차수의 합이 같음을 의미한다.

 

예제 2.3.1   다음의 주어진 함수가 동차함수인지 아닌지를 판별하라.

(1)    

(2)    

(3)    

풀이

(1)    

                   

                   

                   

   는 3차 동차함수이다.

(2)   

                  

                  

그러므로  는 의 차수가 1 이므로 동차함수가 될 수 없다.

(3)    

                   

                   

                   

    는 1차 동차함수이다.

 

      미분방정식

(2.4)                                

에서  와 가 같은 차수의 동차함수일 때 (2.4)를 동차미분방정식 (homogeneous differential equation)

이라 한다.

    동차미분방정식은 치환에 의하여 항상 변수분리형 미분방정식으로 변형된다.

    치환  혹은  를 이용하여 미분방정식 (2.4)는 변수분리형 미분방정식으로 변형될 수 있다.

여기서 와  는 각각 에 의존하는 새로운 종속변수이다.

    만일 치환 를 적용하여 양변을  에 대하여 미분하면

                                 

미분방정식 (2.4)는

                                 

으로 된다. 이  차 동차함수이면

                                 

이므로 다음과 같이 변수분리형 미분방정식으로 변형된다.

                                   

      치환  를 실시하면

                                    

을 얻게된다.

     여기서 소개된 두 가지 치환중에서 어떤 것을 선택해야 하는가 하는 기준은  다음과 같이 설정해 볼 수 있다.

 에 비하여  식이 더 복잡하면  치환을 사용하는 것이 일반적으로 보다 간단한 식을 얻을 수 있다.

역으로  에 비하여  식이 더 복잡하면  치환을 적용하는 것이 바람직하다.

    그러나 한가지 치환을 실시했을때 적분불가능한 식을 얻게 되면 다른 치환으로 시도해 볼 수 있다.

 

예제 2.3.2     을 풀어라.

풀이   이 2차동차함수이므로 치환  를 실시하면

                                        

변수분리형 미분방정식으로 변형하면

                                        

을 얻는다. 위의 식을  에 대하여 각각 적분하면

                                        

를 얻게 된다.

 

예제 2.3.3    을 풀어라.

풀이    가 3차동차함수이며  이   보다 간단하므로 치환   를 적용하면                                                   

                                         

을 얻게 된다. 위 식을 변수분리하여 적분하면

                                            

를 얻는다.

 

                                                      연습문제 1.2.3

1. 다음 함수들이 동차함수인지 아닌지를 판단하라. 동차함수이면 차수를 결정하라.

(1)                                                              (답: 동차함수, 차수=4)  

(2)                                                                     (답: 비동차함수)

(3)                                                                   (답: 동차함수, 차수=0)

(4)                                                                            (답: 비동차함수)

(5)                                                            (답: 동차함수, 차수=0)

(6)                                                              (답: 동차함수, 차수=-2)

2. 다음 동차방정식을 적당한 치환에 의하여 해를 구하라.

(1)                                                              (답:  )

(2)                                       (답:  )

(3)                                                         (답:  )

(4)                                                       (답:  )

3. 다음 초기치 문제의 해를 구하라.

(1)                      (답:  )

(2)                          (답:  )

(3)                         (답:  )

4. 동차방정식 는 치환 에 의하여 변수분리형미분방정식으로

변환시켜보라.

5. 동차방정식  는  로  변형될 수 있음을 보여라.

 

 







1.2.4 완전미분방정식

      공간의 영역  에서 정의된  의 편도함수  가 연속일 때,   의 전미분은

(2.5)                                                       

로 정의되어진다.

     만약  가 어떤 영역  에서 이면 식 (2.5)로 부터

                                                               

가 된다.

    이로부터 주어진 방정식

(2.6)                                                

가    을 만족하는  가 존재한다면 방정식 (2.6)의 해는 가 될것이다.                                                              

정의 2.4.1   어떤 함수  에 대하여

                                                  

가 성립되면 미분방정식  를 완전미분방정식(exact differential equation)이라 한다.

 

  그러면 우리는 아래의 두 가지 문제를 생각해 볼 수 있다.

(1)  가 완전미분방정식인가?

     (즉  를 만족하는  가 존재하는가?)

(2) 만약 주어진 방정식이 완전미분방정식이라면  를 어떻게 구할 것인가?

            

   다음 정리에서 물음 (1)에 대한 해답을 찾아보기로 하자.

 

정리 2.4.1    가 영역 에서 연속인 1계 편도함수를

가진다고 가정했을 때,   이 완전미분방정식이 될 필요충분조건은

                                                         

증명     

(i)  가 완전미분방정식이면

                                             

를 만족하는 가 존재한다.

그러므로 영역  에서   가 성립된다.

                                            

여기서  인 것은 함수  이 연속인 1계 편도함수를 가지므로 가능하다.

(ii)   가 완전미분방정식이 되기 위해서는  

                                             

를 만족하는  가 존재하여야 한다. 즉,

                                                 

를 만족하여야 하므로 우선,  의 양변을  에 대하여 적분하면   

                                               

를 얻게 된다. 즉

(2.7)                                        

를 얻게 된다. 여기서  는  에 대하여 적분하였을 때 적분상수이다.

위 식을  에 대하여 편미분을 취하면

                                              

(2.8)                                     

우변의 식   는

                         

                                                                 

이므로   와 무관한   만의 함수이다.

그러므로  를   에 관하여 적분하여  를 구할 수 있다.

 

    위의 증명 (ii)는   가 완전미분방정식일때 방정식의 해  를

풀이하는 과정을 함께 보여주고 있다.  위의 증명에서는  에서 시작하였지만   

를 이용하여  를 구하여도 같은 결과를 얻을 수 있을 것이다. 이 과정에서 식 (2.7), (2.8)은

(2.9)                                             

(2.10)                                             

로 각각 대치될 수 있을 것이다.

 

예제 2.4.1   가 완전미분방정식임을 보이고

그 해를 구하라.

풀이

                                                 

이므로 정리 2.4.1에 의하여 주어진 미분방정식은 완전미분방정식이다.

 보다  가 더 간단하므로

                                                          

라 두자.  정리 2.4.1 (ii)의 과정을 따르면

                                                          

를 얻는다.

                                       

를 얻는다. 따라서 해집합은

                                                              

 

예제 2.4.2   다음 초기치 문제를 풀어라.

                                                

풀이

                                                  

이므로 주어진 미분방정식은 완전미분방정식이다.

                                                  

이므로 적당한   에 대하여

                                                 

를 만족한다.

                                       

이 성립해야 하므로

                                                         

                                             

따라서 미분방정식의 해집합은

                                                   

 을 위 식에 대입하면

                                                      

따라서 주어진 초기치 문제의 해는

                                                     

 

                                                                연습문제 1.2.4

1. 다음 미분방정식이 완전미분방정식인지를 판단하고 완전미분방정식일 경우 그 해를 구하라.

(1)                                             

 (답:  )

(2)                                                         

 (답:  )

(3)                                                   

 (답:  )

(4)                              

 (답:  )

(5)                                                 

 (답:  )

2. 다음 초기치문제의 해를 구하라.

(1)                           

 (답:  )

(2)             

 (답:  )

(3)  

 (답:  )

(4)  

 (답:  )

3. 다음 미분방정식이 완전미분방정식이 될 수 있도록 미지수  를 정하라.

(1)                       (답:  )

(2)                     (답:  )

(3)        (답:  )

4. 다음 미분방정식이 완전미분방정식이 될 수 있도록  를  결정하라.

                                             
 (답:     단,  는 임의의  에 대한 함수)

5. 다음 미분방정식이 완전미분방정식이 될 수 있도록  를  결정하라.

                                            

 (답:  단,   는 임의의   에 대한 함수)

 


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