고차 방정식의 해 구하기 (뉴튼 - 랩슨법, Newton-Rahpson

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일반적으로 5차 이상의 방정식의 일반적인 해를 구할 수 없다는 사실은 잘 알려져 있다. 하지만 컴퓨터로 종종 5차 이상의 방정식의 해를 구할 필요가 생기게 된다. 이 때, 사람들은 뉴턴(Issac Newton) 과 랩슨(Joseph Raphson) 이 개발한 뉴턴-랩슨 법, 또는 그냥 뉴턴 법이라 알려진 방법을 이용하면 해의 근사치를 쉽게 구할 수 있다. 뉴튼 랩슨법은 상당히 단순함에도 불구하고 다항식의 해에 '매우 빠르게' 근접할 수 있다. 대부분의 경우 4 ~ 5회 정도 시행하게 된다면 10-⁴정도의 오차 내로 해를 구할 수 있게 된다. 
 

  어떤 함수 ƒ : [a, b] → R 가 구간 [a, b] 에서 미분 가능하다고 하자. (이 때, 이 함수의 해가 구간 [a,b] 안에 있다고 가정하자) 그렇다면 해로 추정되는 값x_n 을 생각할 수 있다. 따라서 x_n 에서의 접선을 구해서 그 접선의 x 절편x_n+1 을 구한다면 그 점은 x_n 보다 좀더 해에 근접하여 있을 것이다. (위 그림에 잘 나타나어 있다) 마찬가지 방법으로 위 작업을 계속 시행해 나간다면 결과적으로 위 함수 f 의 해 x 에 수렴하게 될 것이다. 
(이 사실은 여기에 보면 잘 나타나 있다)

  위 작업을 수식으로 표현한다면 아래와 같다.

  

  이 때, f'(x) 는 f(x) 의 1계 도함수 이다. 위 식을 다시 정리한다면

  가 된다.

  초기에 x₀ 를 어떻게 잡을 지는 큰 상관이 없다. 되도록 해에 근접한 값 일수록 해에 빠르게 가까워 지지만 구간 [a,b] 내 에서 어떠한 값을 잡아도 해를 구하는데 에는 큰 문자게 없다. 이 때 한 가지 주의해야 할 점은 ƒ'(x₀) ≠ 0 가 되게 잡아야 한다. 

  자, 그럼 위 뉴튼 랩슨 법을 실제로 적용 시켜 보자. 

  우리는 위 단순한 이차 방정식의 x 값을 뉴튼 랩슨법으로 구해보는 연습을 해 볼것이다. 일단, 위 방정식의 해 x 는 아래 함수의 해 라고 말할 수 있다.

  또한, 간단한 미분을 통해 위 함수 f 의 도함수 f' 를 구할 수 있다. 

  이 때, 위 f(x) 는 모든 실수에 대해 미분 가능하므로 굳이 구간을 따질 필요가 없다. 따라서, 초기의 값 x₀ 를 10 이라 하고 계산해 보자. 

  결과적으로 우리는 5 회만 계산했는데도 불구하고 위 방정식의 해를 소수점 7 번째 자리 까지 얻을 수 있었다. 보통 컴퓨터는 오차 이하 범위 까지 계산 한 후 계산을 중지한다. 

  뉴튼 랩슨 법은 다항 함수에 대해서만 적용되는 것이 아니라 다항 함수가 아니여도 조건들을 만족한다면 똑같은 방법으로 해를 구할 수 있다. 이번에는 cos x = x³ 의 해를 구해 보도록 하자. 이는 아래 함수의 해 이다.

  우리는 cos x 의 범위가 -1 부터 1 사이라는 것을 알고, 위 함수가 그 구간 내에서 미분 가능하다는 사실을 알고 있다. 또한 x > 1 이라면 x³ > 1 임을 알기 때문에  -1 < x < 1 이여야 하는 사실도 안다. 따라서 초기 값 x₀ = 0.5 로 설정하자. 위 함수의 도함수를 구하면

가 된다. 이 때 마찬가지 방법으로 뉴튼 랩슨 법을 적용 시킨다면



로 6 회 만에 소수점 13 자리 까지 매우 정확한 해를 구할 수 있게 된다. 

  뉴튼 랩슨 법을 사용시 반드시 주의해야 할 점은 일단 그 함수가 미분 가능한 것인지 판단해야 하며 (다항 함수는 모두 미분 가능하다),  시작점에서 값이 0 이 되지 않는지 꼭 체크해 주어야 정확한 해를 구할 수 있게 된다. (물론 시작점에서 값이 0 이 된다면 나눗셈 오류가 발생하겠지만..)