원뿔곡선

원문 :  http://hg0303.blog.me/20121664183

 

 

 

원뿔곡선론 (1) : 원뿔곡선의 역사와 의미

원뿔곡선론 (2) : 원뿔곡선은 이차곡선이다 - 논증기하학적 증명

원뿔곡선론 (3) : 원뿔곡선은 이차곡선이다 - 해석기하학적 증명

원뿔곡선론 (4) : 현실적 원뿔곡선

 

 

 

1

원뿔곡선은 쌍직원뿔을 평면으로 잘랐을 때 그 단면으로 나타나는 곡선들을 의미한다.

원뿔의 축과 절단면이 이루는 각을 θ, 원뿔의 반꼭지각을 α라 하면,

0≤θ＜α일 때 쌍곡선(직선쌍), θ＝α 일 때 포물선(직선), α＜θ≤π/2일 때 타원(원, 점)이 된다.

이렇듯 원뿔곡선은 이차함수로 그려지는 이차곡선과 일치한다.

 

 

 

2

이차곡선들은 데카르트에 의해 대수와 기하가 결합되기 전까지는 의미를 갖지 못했다.

대신 포물선은 포물선대로 '직선과 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합' 으로,

타원은 타원대로 '두 점에서 거리의 합이 같은 점들의 집합' 으로,

그리고 쌍곡선은 쌍곡선대로 '두 점에서 거리의 차가 같은 점들의 집합' 으로 정의되어 있었다.

이러한 정의상의 유사성으로 이들은 하나로 묶여 있긴 했지만 이런 '묶음'은 허술한 묶음이었고 수학적인 진리는 찾기 힘들었다.

 

3

이것들을 첫번째로 원뿔곡선으로 이름붙인 사람은 고대 그리스의 메나에크무스인 것으로 알려져 있다.

메나에크무스가 직접 쓴 저서는 전해지지 않지만, 다수의 후대 수학자들의 참고문헌에서 발견되고 있다.

그러나 약간 다른 점은 메나에크무스의 원뿔곡선은 절단면을 모선에 수직으로 둔 채 원뿔의 꼭지각을 변화시켰다는 점이다.

어쨌거나 원뿔곡선에 대해 연구한 것으로 기록된 첫 번째 사람이 되었다.

 

4

이 때부터 포물선과 쌍곡선과 타원은 원뿔곡선이라는 이름으로 단단하게 결합될 수 있었다.

유클리드는 원뿔곡선에 대해 4권의 책을 썼고(모두 유실), 아르키메데스는 '착출법'(삼각형을 이용한 구분구적법)을 이용해 타원과 포물선의 넓이를 계산했다.

 

5

'원뿔곡선에 대한 연구'가 '원뿔곡선론'이 되게 하는 데 가장 큰 역할을 한 사람이 바로 페르가의 아폴로니우스이다.

익숙한가? 아폴로니우스의 원(두 점까지의 거리가 일정 비율인 점들의 집합은 원), 아폴로니우스의 문제(세 원에 동시에 접하는 원들), ...

바로 그 아폴로니우스가 이 아폴로니우스다.

아폴로니우스는 1에서 설명한 바와 같이 모든 원뿔의 모든 절단면에 대해 원뿔곡선이 포물선, 쌍곡선, 타원이라는 것을 밝혔고,

그의 증명은 현대의 기하학으로 볼 때도 고칠게 거의 없을 정도로 참신하고 정확해서 아직까지도 (거의) 그대로 사용되고 있다.

 

6

아폴로니우스는 원뿔곡선론의 책을 8권 썼고, 이는 모두 아라비아에도 전해졌다.

특히 페르시아의 오마르 키얌(오마르 하이얌)은 방정식을 다루는 데에 능해 일찍이 이항정리를 발견하였으며,

또한 원뿔곡선이 포물선, 쌍곡선, 타원이라는 것을 (아라비아식)방정식으로 증명하였다.

 

7

데카르트의 해석기하학 이후 원뿔곡선은 이차곡선이 되어 해석학적으로 연구되기 시작했다.

케플러는 브라헤의 관측결과를 바탕으로 행성의 궤도가 타원이라는 것을 예측하였고, 뉴턴은 만유인력의 법칙을 이용해 수리물리학적으로 이를 증명하였다.

데카르트 또한 원뿔곡선과 이차곡선의 동일성을 자신의 학문을 이용해 새롭게 증명하였다.

 

8

데자르그와 파스칼은 사영기하학을 이용해 원뿔곡선에 대한 기하학 정리를 특히 많이 발견했다.

특히 이를 이용하면 원에서 성립하는 것은 (보통) 타원에서도 성립하며, 포물선에서도, 쌍곡선에서도 성립한다는 것을 보일 수 있다.

파스칼의 정리는 원에 내접하는 육각형이 있을 때 세 쌍의 대변의 연장선이 만나는 세 점은 한 직선 위에 있다는 것이다.

여기서 원이 아니라 타원이나 포물선이나 쌍곡선이어도 성립한다는 것을 알 수 있다.