아핀공간과 볼록집합

아핀 공간

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수학에서 아핀공간(affine space)은 유클리드 공간의 아핀기하학적 성질들을 일반화해서 만들어지는 구조이다. 아핀공간에서는 점에서 점을 빼서 벡터를 얻거나 점에 벡터를 더해 다른 점을 얻을 수는 있지만 원점이 없으므로 점과 점을 더할 수는 없다. 1차원 아핀공간은 아핀직선(affine line)이라고 한다.

물리적 공간(상대론 이전의 의미에서)은 아핀공간일 뿐만 아니라 계량구조, 좀 더 구체적으로 말하면 등각구조를 갖고 있다.

[편집]정의

아핀공간은 벡터공간이 정칙적으로 작용하는 집합이다. 즉, 이는 벡터공간의 주동차공간이다.

이를 풀어서 말하면, S가 집합이고 V가 벡터공간이라 하자. 이때 함수

를 생각하고, 그 함수값 Θ(a,b)를 a - b로 적어서 벡터 b에서 벡터 a를 빼는 것으로 보자. 이때 이 함수가 다음의 두 조건을 만족하면 S를 아핀공간이라 한다:

1. S의 임의의 원소 b에 대해 Θ_b: S → V, Θ_b(a) = a - b는 전단사함수이고,

2. S의 임의의 원소 a,b,c에 대해 (a-b) + (b-c) = a-c이다.

 

 

 

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볼록 집합

유클리드 공간에 속하는 집합 A에 대해, 그 안의 임의의 두 점을 골랐을 때 둘을 연결하는 선분이 A에 포함될 경우, A를 볼록 집합(convex set)이라 한다. 예를 들어 속이 찬 공은 볼록 집합이지만, 안쪽에 구멍이 있거나 초승달처럼 오목하게 들어간 부분이 있을 경우 볼록 집합이 아니다.

볼록 집합은 구간 개념의 임의 차원에 대한 일반화로 볼 수 있다. 구간은 1차원에서의 볼록 집합이며, 임의 차원의 볼록 집합을 1차원에 임의 방향으로 투영하더라도 그 상은 구간이 된다.

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볼록 집합.

볼록 집합이 아닌 예.