y와 y의 도함수들에 대해서 1차이면 선형미분방정식, 그렇지 않으면 비선형 미분방정식입니다. 즉, y2, (y')2, y y' 이런 항이 있으면 비선형방정식입니다. 수식으로 써보면 an(x) y(n) (x) + an-1(x) y(n-1) (x) + ......+ a1(x) y' (x) + a0(x) y (x) + b(x) = 0 이런꼴은 n계 선형 상미분방정식이고, 이 외의 꼴은 다 비선형입니다. y' = 5y ; 3y'-sin x = 0은 모두 위의 꼴이므로 선형미분방정식, (y"')² + (y")5 -y'=ex 은 위의 꼴이 아니므로( (y"')², (y")5항이 있으므로) 비선형 미분방정식. 미분 방정식이 뭘까. 미분 방정식은 이런 거다. x에 관한 함수 y가 있다. 그리고 y가 미분가능하다. 예를 들어 다음과 같은 식이 있다고 하자. 일단 방정식이다. 근데 미지수로 y와 y의 도함수들이 와잇다. 우왕 쇼킹해! 여기서 잠시만 설명할 것이 있다. "y의 최고계 도함수를 이 미방의 '계수'라고 한닷!" (두둥) 괜히 오덕티내며 두둥이라닠ㅋㅋㅋㅋ 따라서 예시로 제시한 저 미방을 우리는 '2계 미분방정식이다!' 라고 말할 수 있다. 또 보자. 저 방정식의 y와 y의 도함수들은 전부 1차이다! 우리는 1차함수 y=ax+b를 '선형함수'1라는 말을 쓴다. 선형(linear)라는 말은 곧 1차이다. 따라서 예시로 제시한 저 미방과 같이 y와 y의 도함수들이 전부 1차일때 '선형 미분방정식'이라고 한다. 선형이 아닌 건 비선형이라고 한다. 또 남았다. 저기에 계수로 곱해져있는 a, b, c와 상수항 d는(사실 상수항이 아니지만 일반적인 방정식으로 보면...) 모두 '독립변수에 대한 함수!'이다. 사실은 독립변수가 t라고 하면 a(t), b(t), c(t), d(t)라고 표기해야 맞을 것이다. 근데 귀찮아서 저리써놨다. 여기서 주목할 것은 d(t)이다. d(t)=0이면 '제차 미분방정식'이라고 한다. d(t)!=0이면 '비제차 미분방정식'이라고 한다. (!=는 not equal의 뜻) 이번엔 해에 대해서 알아보자. 해가 딱딱 떨어지는 대수방정식(algebra equation)에 비해서 미분방정식은 다양한 해가 존재할 수 있다! 우선 미분하면 상수항은 없어진다. 따라서 미분방정식의 해를 풀면 사라졌던 상수항(적분상수같은 놈)이 다시 생겨야한다. 이때 '임의의 상수 c를 포함하는 해 y'를 '일반해'라고 한다. 마치 삼각방정식을 보는 듯 하다. 그런데 문제에 따라 초기조건이 주어져서 구하라는 것이 있다. 그건 '초기조건에 만족하는 c를 찾으란 말야!'라는 것이다. 그렇게 하면 c가 어떤 하나의 값으로 확정되어진다. 그런 해 y를 '특수해'라고 한다. 근데 문제는 이게 아니다. 일반해 꼴도 아닌 것이 미방에 대입하면 성립하는 놈이 생긴다!(아마 꼭 생기는 건 아닐것이다.) 이런 시발! 그런 해 y를 '특이해'라고 한다. 예를 들어보자.
http://bluerein_.blog.me/80128459471
이다. (의심가는 사람은 직접 대입해보자<<<<)
참고로 상수 c는 미분방정식의 '계수(order)' 만큼 생긴다. 위의 방정식이 2계 미분방정식이므로 c는 2개가 생겨야한다.
근데
만약에
y(0)=1, y'(0)=-1
이라는 조건이 붙어있다고 하자.
그럼 대입한다. 그럼 c_1=1, c_2=-1이라는 해를 얻어서
y=cosx-sinx라는 '특수해'를 얻는다.
음 특이해는...... ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 저 방정식 만들었을때 y=0이 특이해라고 생각햇는데 풀고보니 특수해임....
여튼! 그런 해가 간혹가다 생김.
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