상미분 방정식

2012. 11. 3. 12:07

상미분 방정식

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상미분 방정식(常微分方程式, ordinary differential equation, ODE)은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 가리킨다.

예를 들어, 뉴턴의 제2 운동법칙은 상미분 방정식으로 나타낼 수 있는데, 어떤 시간 $t$ 에 대하여 거리가 $x(t)$ , 힘의 크기가 $F$ 인 경우 운동법칙을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t))$

상미분 방정식은 여러 분야에서 이용된다. 아이작 뉴턴, 라이프니츠, 베르누이 일가, 야코포 리카티(Jacopo Riccati), 알렉시스 클레로(Alexis Clairaut),달랑베르(Jean le Rond d'Alembert), 레온하르트 오일러 등 여러 수학자들이 미분방정식 분야의 발전에 기여했다.

상미분 방정식이 선형인 경우는 해석적인 방법으로 풀 수 있는 반면, 비선형인 경우에는 일반적인 해를 구하는 것이 힘들거나 불가능하다. 이러한 경우 근사적인 해를 구하는 접근법도 연구되고 있다.

편미분 방정식은 여러 변수에 대한 함수를 편미분하는 형식을 취하고 있으며, 이는 상미분 방정식과는 구별된다.

[편집]정의

변수 $x$ 에 대한 함수 $y(x)$ 에 대해, $x$ , $y$ , y의 도함수로 구성된 어떤 방정식이

$F(x, y(x), y'(x), \cdots, y^{(n-1)}(x)) = y^{(n)}(x)$

와 같은 형태로 표현될 수 있는 경우( $y^{(k)}$ 는 y의 k차 도함수), 이 방정식을 n차 상미분 방정식이라고 정의한다.

만약 방정식이

$F(x,y(x),y'(x),y''(x),...,y^{(n-1)}(x))=0$

의 모양으로 표현된다면 이를 내재적 형태(implicit form)라고 한다. 이에 반해 첫 번째 식의 경우는 명시적 형태(explicit form)라고 한다.

상미분 방정식이 y 도함수의 선형 결합인 경우, 즉

$y^{(n)} = \sum_{i=1}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)$

의 꼴로 표현할 수 있는 경우 이 상미분 방정식은 선형이라고 정의한다.

여기서 a_i(x)와 r(x)는, 변수 x에 대한 연속함수이다. 함수 r(x) 는 초항(source term)이라 부르며, 만약 r(x)=0 이라면 이 선형 미분방정식은 동차 선형 미분방정식(Homogeneous linear differential equation)이라고 한다.

[편집]선형 상미분 방정식

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[편집]제차 선형 상미분 방정식

[편집]1계 제차 선형 상미분 방정식

$y'+p\left( x \right)y=0$

와 같은 1계 제차 선형 상미분 방정식은 변수분리를 통해

$\frac{dy}{y}=-p\left( x \right)dx$

로 나타낼 수 있고, 적분을 통해 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$\ln \left| y \right|=-\int_{{}}^{{}}{p\left( x \right)dx+c*}$

따라서 아래의 식으로 손쉽게 1계 제차 선형 상미분 방정식의 해를 구할 수 있다.

$y\left( x \right)=ce^{-\int_{{}}^{{}}{p\left( x \right)dx}}$ , ( $y\ne 0$ 이면, $c=\pm e^{c*}$ )

이때, $c=0$ 이면 자명한 해 $y(x)=0$ 를 얻는다.

[편집]2계 제차 선형 상미분 방정식

2계 선형 상미분방정식은 역학, 파동, 열전도 등에서 많이 이용된다. 다음 식으로 표현되는 2계 제차 선형 상미분 방정식은

$y''+ay'+by=0$

은 다음과 같은 특성방정식(characteristic equation; 보조방정식)을 이용해 특성을 알아내고, 그 해를 구할 수 있다.

$\lambda ^{2}+a\lambda +b=0$

특성방정식의 각각의 경우에 대한 일반해 및 설명은 아래 표와 같다.

case	근	기저	일반해
$a^{2}-4b>0$	서로 다른 실근 $\lambda _{1},\lambda _{2}$	$e^{\lambda _{1}x},e^{\lambda _{2}x}$	$y=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x}$
$a^{2}-4b=0$	실이중근 $\lambda =-\frac{1}{2}a$	$e^{-ax/2},xe^{-ax/2}$	$y=\left( c_{1}+c_{2}x \right)e^{-ax/2}$
$a^{2}-4b<0$	공액복소수 $\begin{align} & \lambda _{1}=-\frac{1}{2}a+i\omega , \\ & \lambda _{2}=-\frac{1}{2}a-i\omega \\ \end{align}$	$\begin{align} & e^{-ax/2}\cos \omega x \\ & e^{-ax/2}\sin \omega x \\ \end{align}$	$y=e^{-ax/2}\left( A\cos \omega x+B\sin \omega x \right)$

[편집]비제차 선형 상미분 방정식

비제차 상미분 방정식은

$y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)$

와 같이 우항의 $r\left( x \right)\ne 0$ 가 '0'이 아닌 경우를 말한다. 비제차 상미분 방정식의 일반해는

$y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)$

와 같은 형태이다.

비제차 상미분 방정식을 풀이하는 방법에는 다음의 방법들이 있다.

[편집]미정계수법

1. 비제차 상미분 방정식의 $r\left( x \right)$ 를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해 $y_{h}\left( x \right)$ 를 구한다.

2. 우항의 $r\left( x \right)$ 를 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해 풀이한다.

[편집]매개변수변환법

[편집]그린 함수방법

[편집]비선형 상미분 방정식

선형이 아닌 상미분 방정식을 비선형(nonlinear) 상미분 방정식이라 부른다. 비선형 상미분 방정식의 해는 선형방정식에 비해 매우 복잡한 편이다.

비선형 상미분 방정식의 예

비선형 상미분 방정식 풀이 방법

[편집]널리 알려진 상미분 방정식

[편집]참고 문헌

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》, 8판, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2
에릭 웨이스타인, MathWorld - 상미분 방정식

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