치환을 활용한 비동차(비제차) 미분방정식 ( 코시 오일러 미방, 매개변수변환법 )

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

치환을 사용하는 이유는 우변이 만약 lnx 등으로 나간다면 나중에 이 우변의 항을 적분해야 되는 순간이 오게 되는데 그때의 연산량이 엄청 길다

그래서 치환을 활용하여 길게 나갈껏 같은 연산을 간략하게(원래에 상대적으로 비교하여) 함으로써 풀이를 좀 더 용이하게 할 수 있다

 

다음과 같은 비동차(비제차) 미분방정식이 있다고 하자

그런데 x 의 차수와 y 의 미분 횟수가 각 항마다 동일하고 계수가 상수가 아니기 때문에 (좌변이..) 

코시 오일러 미분방정식을 사용할 수 있고

우변이 lnx 로 가기 때문에 나중의 적분을 고려하여 비교적 간략하게 치환을 활용한 

미분방정식 풀이를 이용 할 수 있겠다

정리하자면 코시의 오일러 미방으로 동차 fy)=0 를 만족하는 해 Y_c 를 구한 후 특수해 y_p 를 구해

이 둘을 더해주는 방식으로 풀면 된다, 이때 특수해는 매개변수 변환법을 사용해 구한다

f(y)=g(x)  ( f(y) 가(=) 0 이 아닐때)

그런데 ...

g(x) 가 다항함수, 지수함수, cos,sin 일때는 미분방정식의 특성방정식 을 통하여 

g_zero(x)g(x)=g_zero(x)0 = 0  이 되는 해 t 의 값을 구해 t 를 지수로 같는 e^f(x) 꼴의 함수들을 구해

일반해를 만들 수 있다 또한 어떠한 해와 관련된 힌트가 있다면 해당 개수를 구하는 미정개수법으로 

상수를 구할 수다 

하지만, 현재는 우변이 ln 과 같은 log 가 있기 때문에 특성방정식으로 구할 순 없으며 대신 

매개변수 변환법으로 특수해(y_p) 를 구해야 한다

최종해는 y = y_c + y_p 가 된다

참고 : 코시의 오일러 미분방정식의 일반해의 꼴이 x^m  의 꼴로 나타난다   x^m 이 여러개로 연결되는 형태..

또한 동차 미분방정식  f(y) = 0 의 일반해의 꼴은 x^(D)e^f(x)  의 꼴 이거나 저것과 결합된 cos+sin 형태로

        [D 는 정수집합,  x^(D)e^f(x) 꼴이라는 것은 이것들이 여러개로 결합될 수 있다는 것 + 기호로..]

나타난다 자세한건 동차미분방정식의 증명과정을 참고하면 된다

p.s 위 식의 풀이를 적으려다가.. 풀이가 제법 길기도 하거니와 여기까지 쓰면서 귀차니즘 등으로

      이 이상의 기술을 멈췄는데 만약  댓글로 요청이 있으면 풀이를 수식기를 활용하여 올리겠습니다

---

아래부터는 첨부내용

코시-오일러 방정식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

코시-오일러 방정식(혹은 오일러-코시 방정식: Euler-Cauchy equation)은

x²y'' + axy' + by = 0

와 같은 선형 상미분방정식인데, 주어진 상수 a와 b 그리고 y(x)를 가진다.

y = x^m

이라고 하고, 첫 번째 식에 대입하면,

x²m(m − 1)x^{m − 2} + axmx^{m − 1} + bx^m = 0

이 되고, 일 때 공통인자 x^m을 제거하면,

m² + (a − 1)m + b = 0

이 된다.

여기서 m에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

case	해
서로 다른 두 실근
중근
공액 복소근