적분인자를 이용한 미분 방정식을 완전미분방정식으로 변환하여 해를 구하기

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전미분\quad z\quad =\quad xy\cdot dx+(\combi ^{ 2 }{ 2x }+\combi ^{ 2 }{ 3y }-20)dy=0\quad 미분방정식의\quad 해를\quad 구하라\\ \\ 전미분\quad z에서..\\ \\ M\quad =\quad xy\\ N\quad =\quad \combi ^{ 2 }{ 2x }+\combi ^{ 2 }{ 3y }-20\quad \\ \\ 각\quad M,N\quad 을\quad 반대\quad 변수는\quad z를\quad 전미분하여\quad 나온\quad 항들이기\quad 때문에\\ 다시한번\quad 반대\quad 되는\quad 변수로\quad M,N을\quad 편미분\quad 해서\quad 같은\quad 식이\quad 나오면\\ 완전미분방정식이고\quad 그렇지\quad 않으면\quad 적분상수를\quad 계산해서\quad 곱해줘서\\ 완전미방으로\quad 만들어\quad 푼다\\ \to 한번씩\quad 다른\quad 변수로\quad 편미분을\quad 했기\quad 때문에\quad 같은것인지\quad 아닌지\quad 알\quad 수\quad 있다\\ \\ \frac { \partial M }{ \partial y }\quad =\quad \frac { \partial (xy) }{ \partial y }=x\\ \frac { \partial N }{ \partial x }\quad =\quad \frac { \combi ^{ 2 }{ \partial (2x }+\combi ^{ 2 }{ 3y }-20)\quad  }{ \partial x }=4x\\ \\ \frac { \partial M }{ \partial y }\quad \neq \quad \frac { \partial N }{ \partial x }\quad 즉\quad \quad x\neq 4x,\quad 임으로\quad 완전미분방정식이\quad 아니다\\ 완전미분방정식을\quad 만들\quad 수\quad 있는\quad 어떤\quad 수\quad 적분인자를\quad 구한다\\ \\ N,M\quad 중\quad 간단한\quad 것으로\quad 적분인자를\quad 구한다\\ 아래\quad 공식은\quad 증명하기\quad 복잡함으로\quad 나중에\quad 알려준다고\quad 하는것\quad 같음\\ \\ 적분인자는\quad x,y\quad 에\quad 따라\quad 구할\quad 수\quad 있는\quad 방법이\quad 있다\\ \combi ^{ \sint p(x)dx }{ e }\\ \combi ^{ \sint p(y)dy }{ e }\\ \\ p(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ N }(\frac { \partial M }{ \partial y }-\frac { \partial N }{ \partial x })\\ p(y)\quad =\quad \frac { 1 }{ M }(\frac { \partial N }{ \partial x }-\frac { \partial M }{ \partial y })\\ \\ 로\quad 구할\quad 수\quad 있다\quad \therefore \\ \\ M이\quad 더\quad 간단함으로\quad p(x)\quad 로\quad 적분인자를\quad 구한다\\ p(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ xy }(4x-x)=\frac { 3x }{ xy }=3\frac { 1 }{ y }\\ \sint \frac { 3 }{ y }dx=3\sint \frac { 1 }{ y }dx=3lny,\quad 이때의\quad 적분상수\quad C는\quad 나중에\quad 약분됨으로\quad 생략\\ \combi ^{ 3lny }{ e }=\combi ^{ \combi ^{ 3 }{ lny } }{ e }=\combi ^{ lne }{ \combi ^{ 3 }{ y } }=\combi ^{ 3 }{ y }\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\  

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x\combi ^{ 4 }{ y }\cdot dx+(\combi ^{ 2 }{ 2x }\combi ^{ 3 }{ y }+\combi ^{ 5 }{ 3y }-20\combi ^{ 3 }{ y })dy=0\\ 완전\quad 미방이\quad 됐는지\quad 확인해\quad 본다\\ \\ M,N\quad 다시\quad 정의...\\ M=x\combi ^{ 4 }{ y }\\ N=\combi ^{ 2 }{ 2x }\combi ^{ 3 }{ y }+\combi ^{ 5 }{ 3y }-20\combi ^{ 3 }{ y }\\ \\ \frac { \partial M }{ \partial y }=4x\combi ^{ 3 }{ y }\\ \frac { \partial N }{ \partial x }=4x\combi ^{ 3 }{ y }\\ \therefore \\ \frac { \partial M }{ \partial y }=\frac { \partial N }{ \partial x }\quad 이여서\quad 완전미분방정식(=완전DE)\quad 가\quad 성립\\ \\ \\ 전미분\quad z\quad =\quad \quad x\combi ^{ 4 }{ y }\cdot dx+(\combi ^{ 2 }{ 2x }\combi ^{ 3 }{ y }+\combi ^{ 5 }{ 3y }-20\combi ^{ 3 }{ y })dy=0\\ \\ 이\quad 식을\quad 이제\quad 완전미분방정식으로\quad 푼다\\ \\ 간단한\quad x\combi ^{ 4 }{ y }=M\quad 을\quad \sint Mdx\quad 하여\quad 원래의\quad f\quad 를\quad 구한다면\\ f(x,y)=\quad \frac { 1 }{ 2 }\combi ^{ 2 }{ x }\combi ^{ 4 }{ y }+g(y),\quad \quad g(y)\quad 역과정\quad 적분하여\quad 생기는\quad 어떤\quad 함수\\ \\ \quad 이때의\quad f\quad 를\quad 다시\quad y\quad 에\quad 대해\quad 편미분\quad 하여\quad N\quad 을\quad =\quad 우항에\quad 나열하여\\ 항들을\quad 제거\quad 하면\quad g'(y)\quad 를\quad 구할\quad 수\quad 있고\quad 이것을\quad 다시\quad y\quad 에\quad 대하여\quad 적분하면\\ \\ 원래\quad 함수\quad f(x,y)\quad 에서의\quad g(y)\quad 를\quad 구할\quad 수\quad 있다\\ \\ 그리하여\quad 최종\quad x=y\quad 형태의\quad \quad 해를\quad 구할\quad 수\quad 있다\\ \\ \\ \\