완전미분방정식과 완전 미분방정식으로 바꿀 수 있는 적분인자, 적분상수를 붙이지 않는 이유

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적분인자,

주어진 미방식 이  완전 미분방정식이 안될경우 미방식에 적분인자 라는 e^적분된함수 를 곱해

완전미방식이 되면 변수분리형 미분방정식에 의해 미방의 해를 구할 수 있게 해주는 것을 

적분 인자라고 하며 적분인자는 

p(x,y) = M

q(x,y) = N 

이라고 할대

e^∫ g(x) dx

또는

e^∫ g(y) dy

로 써 구할 수 있으며

g(x) = 1/M( ∂M/∂y - ∂M/∂x )

g(y) = 1/N( ∂M/∂y - ∂M/∂x )

로 연산 할 수 있다

e^∫ g(x) dx 로 예를 든다면 ∫ g(x) dx  를 적분한 다음 적분상수 +c 를 굳이 붙이진 않는데

그이유는 완전 미방으로 변경 하기 위해서

e^∫ g(x) dx  를 각 항에 곱하는데 어차피 적분상수는 상수이기 때문에 약분이 가능함으로 귀찮게

적분상수 C 까지 구하지 않는다

e^∫ g(x) dx 의 형태가 e^적분해서 구한거 * e^적분해서나온상수

의 형태로 되기 때문에 지수법칙에 의해 분리하면  e의 지수가 상수 c 가 된다

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아래는 어떤 블로그에서 퍼온 글... 

post : http://bluerein_.blog.me/80128584511

대학수학에서

앞에서 일변수함수에 대한 미분과 적분을 끝내고 띵가띵가하다보면

이변수함수라는 놈이 '짜잔~!'하고 등장한다. 극한때부터 뭔말인지 알 수 없는 제한조건을 내걸면서(나는 모든방향에서의 극한이 존재해야 극한이 존재한다고 하는 말을 이해 못했었다 ㅠㅠㅠ1) 결국 미분까지 오게된다. 그런데 미분은 의외로 간단(?)하다. 결국에는 x방향으로의 변화율과 y방향으로의 변화율을 구하라는 것이니깡.

근데 이때, 엄청난 것이 나온다.

우리가 눈여겨볼 것은 빨간색 부분이다.

이런 미분방정식이 있다고 하자.

저건 뭔가 심오하다.

변수분리형으로 풀려해도 x랑 y가 좀처럼 떨어지지 않는 경우가 생기게 되는데2

이럴때에는 어떻게 풀어야할까?

저 미분방정식의 해를 f(x,y)=c이라고 가정해보자.3

그리고 전미분을 한다.

파란 부분을 유심히 보자.

어쩐지 저 미분방정식하고 비슷한 꼴이라고 생각된다.

으음! 설마....!!!

이때 알아두어야 할 것은

f의 2계편도함수가 '존재하고 연속'이라면

가 성립한다는 것이다.

그럼 대체 뭐지? 뭐라는거야?

이런거다.

에서 파란색 부분과

를 같은 꼴이라고 본다면

f가 2번 편미분 가능할때

이므로

라는 것이다.

다시 말하자면

p(x,y)dx+q(x,y)dy=0이 어느 함수 f(x,y)=c의 완전미분이라면

가 성립한다.

이제 이에 관한 새로운 방정식이 나올 차례다.

라는 미분 방정식이

를 만족하면 '완전미분방정식'이라고 한다.(줄여서 완전미방)

그럼 해는 어떻게 구할까?

다음과 같이 구한다.

우선 편미분이란 무엇인지 알아보자.

편미분이란 '하나의 변수를 제외한 나머지 변수를 전부 상수취급하여, 하나의 변수에대한 변화율만을 구하는 것' 이라고 할 수 있다.

이것을 설명한 이유는 나중에 나온다.

이제 해를 구하는 본격적인 작업을 해보자.

가 완전 미방이라고 하자. 그리고 그 해를 f(x,y)=c라고 하자. 그러면

가 성립한다. 파란색 부분과 주어진 미방을 같은 꼴이라고 한다면

이다. 이때 위에서 설명했듯이 편미분은 '피미분변수를 제외한 나머지는 모두 상수취급!'이기 때문에 다음이 성립한다.

음??????????? x랑 y에 관한식 p(x,y)를 'x에 관해서만' 적분한다. y는 상수취급한다. 그리고 적분상수대신 'y에 관한 함수' g(y)를 더해준다.(x로 편미분하면 y는 상수취급하므로 g(y)는 x에 대해 '상수'이다.)4

오오 뭔가 나올것 같다. 이번에는 위에서 나타낸 f를 y에 대해 편미분한다.

근데 이는 q(x,y)와 같아야한다. 즉,

g(y)가 구해졌다. 그런데 의문점이 든다.

q(x,y)와 p(x,y)에서 x가 그대로 살아있는데 어떻게 y에만 관계된 함수가 나오냐?

그건..... 신의 뜻이다! (두둥!)

물론 농담이고 완전미방의 조건인

에서 알 수 있듯이, (q의 x차항 차수)-1=(p의 x차항 차수)이다.(초월함수는 차수를 안따지지만 ㄹㄹㄹ 이해를 돕기위해) 위의 g(y)에서 p를 x에대해 한번 적분하므로 결국 q를 y에 대해 적분한 것(x의 차수에는 영향이 없는)에서 그것 p에 관한 적분식을 빼면 'x에 관련된 항'들이 없어질 것이다.

안없어진다고?

그럼 그건 완전미방이 아니다.

잡소리가 길어졌다. 그러면 해는 어떻게 나오는 거지?

위에서 g(y)와 f에 관련된 식을 나타냈으므로 대입하면된다.

의 해는

이다.

아따 해 한번 복잡하게 생겼다.

그럼 근의 공식을 외우나?

내가 보기엔 안외우는게 나을 것 같다.

저런거 외워봤자 머리만 아플거 같다. 완전미분을 이용하는 방정식인 만큼 오히려 과정을 알아두는게 더 이득일지도.... (라고 생각하는 본인...)

예제를 보자.

완전 미방이다. (확인해보라.)

그런데 변수분리이기도 하다. 변수분리는 너무 허졉한거 같으니 완전미방으로 풀어보자.

에서 다시 다음과 같은 계산을 한다.

구한 f를 다시 y에 대해 편미분한다.

따라서 g'(y)=0이므로 g(y)는 상수함수이다. 이걸 다시 

못믿겟으면 변수분리로도 풀어보자.

변수분리로 풀어도 해는 같다.

완전미방의 포쓰는 대단하다.

왜냐하면 완전미방이 아닌 이상한 미분방정식을 '적분인자'라는 놈을 통해서 완전미방으로 만들 수 있기 때문이다!

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같은 블로그에 있는 적분인자 구하기

저번에 완전미분방정식을 하면서 마지막에 '적분인자 ㅋㅋㅋ' 라고 했다.

적분인자가 뭘까. 다음을 보자.

이런 미분방정식이 있다. 그런데 이 자체로는 완전미방이 아니다.

만약 양변에 y를 곱하면,

이는 완전미방이다.

이렇게 완전미방이 아닌 미분방정식에 '무언가'를 곱해서 완전미방으로 만들 수 있는 때가 있다.

그때 그 '무언가'를 적분인자(또는 적분인수)라고 한다. 우왕!

어떤 미방에 대하여 적분인수는 한가지가 아니다. 즉, 여러가지 나올 수 있고 경우에따라 공식에 넣어서 구할 수도 있다. 하지만 대부분은 직감적으로 찾는다. (?)

그럼 이 해를 구하면 맨처음 미방의 해가 나올까?

나온다.

그 이유를 이제부터 따지기 시작할 것이다.

따지고 뭐고 해보면 은근 간단하다.

어떤 미방

이 완전미방이 아니고 양 옆에 0이 아닌 r(x,y)를 곱했을 때 완전미방이 된다고 하자.

그러면

가 된다. 공리에 의해 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0이거나 r(x,y)=0이어야한다.

그런데 r(x,y)를 0이 아니라고 했으니 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0이다. 즉, 이렇게 만들어진 완전미방을 푸는 것이나 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0를 푸는 것이나 같은 해를 갖는다는 것이다.

그럼 적분인자는 어떻게 찾을까?

위에서 직감이라고 했다.

초월함수가 없는 경우에는

을 곱해서 완전미방이 되도록 m과 n값을 정해주는 경우가 있다. (이 경우 아래 요약글 1을 보도록 하자.)

-아니면?

직감이다. 찍자.

-정말 없는 거냐?

있긴 있다. 그런데 미방이 '어느 조건을 만족할 경우'에만 성립한다. 이에 대해서는 요약글 2를 보자.

적분인자의 설명은 대충 이걸로 끝낸다.

푸는 법은 완전미방을 보면 되므로.

> 접기

여기 이런 미방이 있다.

우왕 이게 뭐얔!!!!

사실 변수분리형이지만 귀찮게 적분인자 써서 완전미방으로 풀어보고자 한다.

일단 양변에

를 곱하고 완전미방의 마스터 편미분식(모르겟으면 완전미방 편을 다시한번 보자!)을 써본다.

dx앞에 있는 식을 y로 편미분한 식과 dy앞에 있는 식을 x로 편미분 한 것이 같아야 완전미방이 된다. 즉,

n=-1, m=-1이면 위의 방정식을 만족한다.

즉, 이 미분방정식의 적분인자는

이다.

이걸 곱하면 완전미분방정식 (이라기보다는 변수분리형이지만 쨋든 완전미방도 만족한다.)

마땅한 예가 제대로 기억이 안나서 못들겠으나

여튼 저렇게 하는 것이다!

> 접기

다음의 두가지 경우가 있다.

이 경우에 적분인자는 다음과 같다.

왠지 저 조건을 외우기 귀찮아진다.

그럴땐 직감을 믿자 으잌....