테일러 급수, 맥클로린 급수와 기억해야할 급수, 초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들

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테일러 정리:

테일러 정리란 테일러급수를 전개 해 나가면서 무한한 전개를 유한개로 만드는 즉 n 에 대한 부분 그 이상을

 

하나의 식으로 표현해 더해줌으로써 테일러급수를 유한개의 식으로 표현한 것이다

 

- 테일러 급수에서 x 대신에 b 로 바꿔 치기 한 후 n 번째 이후 나머지를 하나로 만들어 버리는 것

- 즉 급수의 값 자체를 완벽히 계산 할 순 없고 근사값 정도로 계산을 할 수 있으며 나머지들을 하나로 정리한

   항에 대한 범위를 정해줄 수 있는 정도이다

 

아래 그림에서 x1 으로 인하여 마지막 항의 값이 하나로 정리되는 인수인데 그 값을 정확히 잡아내기가

썩 수월하진 않을것이다.

 

 

 

 

1.기억해야할 급수

 

이항정리 url:

http://web3.c2.cyworld.com/myhompy/board/retrieveBoard.php?home_id=a0619041&lmenuSeq=204317&smenuSeq=473302&postSeq=6073354&view=&menu=smenu&isMaster=Master

 

 

 

 

2.초월함수들을 테일러 급수로 풀이한 것들( sin, cos, e^x 에 대한것 필히 기억! )

아래부터는 첨부내용

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http://blog.naver.com/mindo1103/90103327556

 

－매끈한 함수(Smooth Function)－

함수  가 무한 번 미분이 가능할때

함수 를 매끈한 함수라고 한다.

 

 

 

함수 f(x)가 매끈한 함수일때

f(x)를 가지고 멱급수 전개를 해보겠습니다.

 

 

 

위 식에 x＝a 를 대입하면 

 

식의 양변을 미분하면

 

한번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면 

 

식의 양변을 한번 더 미분하면

 

두번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면  

 

식의 양변을 한번 더 미분하면

 

세번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면 

 

.....

 

 

규칙성에 의해 n번 미분한 식에 x＝a 를 대입하면  임을 알수 있습니다.

따라서  입니다.

 

 

 

 

 

－정리 1－

함수  가 매끈한 함수이고

  이렇게 표현 가능하다면

 이다.

 

 

 

 

 

위 정리에서 나온 을 대입해서 얻은 급수를 테일러 급수라고 합니다.

테일러 급수에서 특별히 a＝0 인 경우에는 매클로린 급수라고 합니다.

 

 

 

 

 

－테일러 급수(Taylor Series)－

함수  가 매끈한 함수일때

 

위 급수를 테일러 급수(Taylor Series) 라고 한다.

테일러 급수에서 a＝0 인 아래의 급수를 매클로린 급수(Maclaurin Series) 라고 한다.

 

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출처 위키

주요한 매클로린 급수의 예