부분분수

2012. 11. 3. 10:27

부분분수

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대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수계수의 다항식들은 유클리드 영역(Euclidean domain)이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다.

[편집]예

더 많은 예가 필요하면 en:Partial fraction#Some_examples 문서를 참고하십시오.

부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.

[편집]가분수를 대분수로 변형

분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학생의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수

$\frac{f(x)}{g(x)}$

가 주어졌는데, 분모의 차수가 높아서 $f (x) = g (x) Q (x) + R (x)$ 와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.

$Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}$

다항식의 나눗셈에 의해 당연히 $R (x)$ 는 $g (x)$ 보다 차수가 낮다.

[편집]분자의 차수가 낮은 경우

분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다.

$\frac{f(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2) \cdots (a_n x+b_n)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1} + \frac{A_2}{a_2 x+b_2} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+b_n}$

여기서 $A 1,...., A n$ 는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자.

$\frac{x+3}{x^2-3x-40}$

위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 $(x - 8)(x + 5)$ 로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다.

${x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}.$

여기서 $A, B$ 는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 $A = 11 / 13, B = 2 / 13$ 임을 확인할 수 있다.

[편집]유용한 공식

고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.

$\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$

좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. $B - A$ 가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.

$\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)$

[편집]분모의 인수분해 되지 않는 다항식

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.

$\frac{ax^2 + bx + c}{(dx + e)(fx^2 + gx + h)} = \frac{A_1}{dx + e} + \frac{A_2 x + A_3}{fx^2 + gx + h}$

예를 들어 다음과 같다.

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}$

이 경우 인수분해 공식에 의해 분자가 $x 3 - 8 = (x - 2)(x 2 + 2 x + 4)$ 와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}.$

위와 같이 변형된다. 여기서 $A, B, C$ 도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로,

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}.$

위와 같은 등식이 성립하게 된다.

[편집]분모의 거듭제곱된 항의 포함

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,

${p(x) \over (x+2)(x+3)^5}$

와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.

${A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}.$

이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.

${p(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}$

그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.

${A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5},$

[편집]응용

부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.

[편집]계산하기 어려운 값

가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

$= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

$= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}$

[편집]적분하기 어려운 함수

다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.

$\int \frac{2}{x^2 - 1} dx$

그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.

$\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \log |x - 1| - \log |x + 1| + C$

물론 $C$ 는 적분상수(Constant of integration)이다.

[편집]무한급수의 일반항

다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.

$\frac{2-x}{(1-x)^2} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$

이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.

$\frac{2-x}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2}$

이 때, 다음 등식을 이용한다.

$\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum (n+1)x^n$

그리하여 다음을 얻는다.

$\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} = \sum x^n + \sum (n+1)x^n = \sum (n+2)x^n$

[편집]역 라플라스 변환

역 라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.^[1]

$\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t} ;\; y(0) = 1, y'(0) = 0$

양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.

$s^2 Y(s) - s - 3[sY(s) - 1] + 2Y(s) = \frac{1}{s-3}$

그리하여 이를 $Y (s)$ 에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.

$\begin{align} Y(s) &= \frac{1}{(s-3)(s^2 -3s +2)} + \frac{s-3}{s^2 -3s +2}\\ & = \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} + \frac{s-3}{(s-1)(s-2)} \end{align}$

그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.

$\begin{align} Y(s) & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} + \frac{2}{s-1} - \frac{1}{s-2}\\ & = \frac{5}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{5}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} \end{align}$

그리하여 해는 다음과 같이 된다.

$y(t) = \frac{5}{2}e^t - 2e^{2t} + \frac{1}{2}e^{3t}$

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부분분수

부분분수

목차

[편집]예

[편집]가분수를 대분수로 변형

[편집]분자의 차수가 낮은 경우

[편집]유용한 공식

[편집]분모의 인수분해 되지 않는 다항식

[편집]분모의 거듭제곱된 항의 포함

[편집]응용

[편집]계산하기 어려운 값

[편집]적분하기 어려운 함수

[편집]무한급수의 일반항

[편집]역 라플라스 변환

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