두개의 복소수 곱 => 두 복소수의 크기만큼이 각 두 복소수의 회전 만큼이 더해진각도가 회전된 것

저번에서 얘기 했듯이 이번에는 복소평면에서의 복소수의 성질에 대해 알아보자

 

 
 

 

위에 나오는 평면을 복소평면이라 하는데, 복소평면이란 가로축을 실수축, 세로축을 허수축으로하는 평면을 말한다.

 

 

처음에는 항상 그랫다 싶이 사람들은 허수를 믿지 않았다.  왜냐면 볼 수 없었기 때문이다. 실제로 사람들이 음수를 인정하지 않던 이유도 '-3개의 사과','-5ㅡm의 막대'를 볼 수 없었기 때문이었다. 그래서 덴마크의 측량기사 카스파르 베셀(1745~1818)은

이렇게 생각했다.

"허수는 수직선의 어디에도 없다. 그렇다면 수직선의 밖, 즉 원점에서 위의 방향으로 뻗은 화살표를 허수로 생각하면 되지않을까?"

이 방법을 이용하면 드디어 허수가 "눈에 보이게" 된다.

 

이러한 아이디어는 비슷한 시기에 프랑스의 회계사 장 로베르 아르강(1768~1822)와 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스 (1777~1855)에 의해서도 발표되었다. 그래서 복소평면을 가우스 평면이라고도 한다.

 

설명은 이정도로하고 복소수의 기하학적의미에 대해 파악해보도록 하자.

 

일단 복소수의 사칙연산이다.

 

 위의 그림은 복소수의 덧셈을 표기한 것이다. 고2학생들중 기학벡터를 배운 학생 또는 그 이상의 교육을 받은 사람이면 어디서 많이 본듯한 그림일 것 같다. 복소수의 덧셈은 마치 벡터의 합을 구하는 것과 매우 흡사하다.

 

합을 눈으로 봤으니 이제는 곱을 눈으로 봐보자.

곱을 보기 전에 일단 허수단위 i의 순환을 눈으로 보고 곱으로 들어가도록 하자.

• i^{4n − 3} = i
• i^{4n − 2} = − 1
• i^{4n − 1} = − i
• i⁴ⁿ = 1 (이상, n은 정수)

위의 순환 성질과 밑의 그림의 관련성이 보이는가?

허수에 대해 잘 배운 사람이면 보일지도 모르겠다. 허수의 곱셈은 회전의 의미 가 있다.

위의 경우에는 i를 곱함으로써 점이 90도 회전하는 걸 볼 수 있다.

 

이를 다른 일반적인 복소수에 대해서도 일반화를 시키자면

위에서 보면 복소수 a+bi 와 c+di 를 곱하고 있다. 이것을 잘 한 번 살펴보자

 

위에서 과 는 각각의 복소수의 절댓값으로서 원점과의 거리를 의미하고 과 는 실수축의 양의방향과 이루는 각도이다.

 

이제 (a+bi)(c+di) 를 해보자

 

 

 

위 두식을 비교해 보면 알 수 있듯이 두 복소수의 곱의 절댓값은 두 절댓값의 곱과 같다는 것을 알 수 있다.

이번에는  각의 관점에서 복소수의  곱을 봐보자

 
 두 복소수를 위와 같이 놓고 곱을 해보자

 

 
 위 식으로 알 수 있듯이 두 복소수의 곱이 이루는 각은 두 복소수의 각을 더한 것과 같아진다.

(만약 위식이 이해가 가지 않으면 삼각함수의 덧셈정리라고 검색을 한번 해보시길)

 

이런식으로 복소수의 곱을 해보면 쉽게 회전 확대의 원리를 이해 할 수 있을 것이다.

 

오늘은 여기 까지만 하고 다음번 복소수에서는 이런 복소수가 도데체 어디에 쓰이는 지 한번 알아보도록 하자.

[출처] 복소수, 허수에 대해 2|작성자 jini