단순한 입체모양에 대한 질량 관성모멘트

관성모멘트 강의

http://www.kocw.net/home/search/w_pop_n.do?url=mms://210.102.99.63/kocw/lec/2010/31/kineme_22.wmv&courseId=299346&lecNum=299368&at=nvrv&rt=n

---

1차 모멘트 = mr

2차 모멘트 = mr^2

 

d I_zm = r^2dm  => 미소의 관성모멘트를 구하는 것부터 시작한다

V는 원래 부피인데 위 그림에서 V 가 가르키는 것은 원의 단면 안의 회색 띠의 미소 넓이를 말한다

원의 단면에서 반지름이 R  이고 안의 띠의 높이 가 dr = 회색 띠의 미소 높이

오른쪽 상단 회색줄이 원의 단면 안에 있는 회색띠를 펼쳐 놓은 그림

원기둥(안이 채워진 실린더) 의 높이가 h

위는 원기둥을 z 축 을 중심으로 볼때의 관성모멘트를 구하는 식이다

m(질량) = ρ(밀도) * V(부피)

ρ(밀도) = m(질량)/V(부피)

전체 관성모멘트 I = ρ∫ r^2m dV   => ρV = m 임으로 

기본 입체 도형에서  ρ∫ r^2m dV 식으로 조건들을 맞추어 질량관성모멘트를 구해 나간다

원둘레 = 2πr

원넓이 = πr^2

회색띠의 높이 까지 고려된 미소 원기둥(속이 빈..)

= πr^2h

최종 구한 d I_zm 을 0~ R 까지 적분하여 속이빈 비소의 원기둥을 모두 더하면  I_zm 에 대한 관성모멘트가

나온다

질량관성모멘트는, 정한 기준축에 맞는 모멘트를적용하면 된다 

Ixx 는 x 축을 중심으로 계산한 질량관성모멘트

여러가지 입체 모양이있는데 자세한 증명은 동역학 교재등을 참고하면 된다

기타 여러 입체 모양에 대한 관성모멘트

 

---

아래글은 어떤분이 기본도형을 증명과정을 써놓으신 건데 만약 문제가 된다면 지우도록 하겠습니다

출처 : http://blackcherrying.tistory.com/42

관성모멘트의 정의

다양한 물체의 관성모멘트 계산에 있어 기본적인 관성모멘트의 정의는

와 같이 서술 할 수 있는데, 물체는 몇 개의 점으로 표현 될 수 없고 원자 하나 하나의 질량을 고려해야 함으로 연속적인 질량 분포를 가진다. 따라서 이와 같은 관성모멘트의 정의는 수정될 필요가 있는데 가장 좋은 방법이 적분이다.

물체 내의 모든 원자들은 중심축을 중심으로 모두 거리 r에 제곱 비례한다. 그리고 물체를 원자를 작은 질량소 dm으로 나누었다고 상상하자. 그렇다면 관성모멘트는 적분을 이용하여 다음과 같이 새롭게 정의될 수 있다.

이제 새롭게 정의한 다음의 관성모멘트의 정의를 이용하여 각 물체들의 관성모멘트를 구해볼 것이다.

 

1. 가는 막대, 중심을 지나는 경우

물체의 질량을 거리의 관계식으로 나타내면

                                                       

위와 같이 나타낼 수 있으며 그 질량소는

                                                      

이와 같음을 알 수 있다.

이 질량소를 이용해 관성모멘트를 구하기 위해 dm에 대입하여 계산하면, 축을 기준으로 회전하는 막대의 한 쪽 부분의 관성모멘트가 구해진다.

하지만 우리가 구하려는 값은 막대 중심축을 중심으로 회전하는 관성모멘트임으로 2를 곱하여 계산하면

임을 알 수 있다.

 

2. 가는 막대, 한쪽 끝을 지나는 축

위와 같은 방법으로 구하면

 

3. 직사각형 판, 중심을 지나는 축

가로 세로가 각각 a, b 인 직사각현 판의 넓이는 ab임으로 이 직사각형 물체의 질량과 질량소는 다름과 같이 서술 할 수 있다.

                                                    

이때 직사각형 위의 임의의 원자의 위치를 a와 b를 이용하여 서술하면 다음과 같다.                                                

위에서 구한 값들을 각 항에 대입하면 다음과 같은 식이 유도된다.

적분 범위가 가로a와 세로b 두 개임으로 중적분을 하여 계산한다, 이때 위의 식은 직사각형 판의 4분의1에 해당하는 부분임으로 전체 식에 4를 곱하여 우리가 구하고자 하는 직사각형 중심을 지나는 축으로 회전하는 물체의 관성모멘트를 구할 수 있다.

따라서

4. 얇은 직사각형 판, 가장자리를 따르는 축

가장자리를 축을 하는 얇은 직사각형 판의 관성모멘트는, 한쪽 끝을 축으로 하는 가는 막대의 관성모멘트와 같다. 

따라서

 

5. 속이 빈 실린더

관성모멘트를 구하기 전 이 물체의 질량을 반지름에 관한 식으로 나타내면

         

질량소 dm을 대입하면

 

6. 고체 실린더

디스크의 관성모멘트는 위에서 구한 속기 빈 실린더의 관성모멘트를 유도하는 과정과 같다.

따라서

  

7. 고체 구

고체구의 관성모멘트를 구하기 전에 구의 관성모멘트를 구하면서 흔히 저지르는 오류 중 하나를 살펴보자

관성 모멘트의 값을 기계적으로 계산하면 다음과 같은 오류를 범하게 되는데, 구의 관성모멘트의 올바른 값은

임으로 결과적으로 틀린 답이다.

위의 풀이 법을 해석하면 구가 회전하며 모든 원자들이 방사형으로 원심력을 받고 있음을 보여주고 있는데, 우리가 살고 있는 3차원 공간에서는 이러한 회전은 일어날 수 없다.

회전축을 중심으로 회전시켰음으로 축을 중심으로 양방으로 원심력을 갖는 분포를 보여야 정상적인 관성모멘트를 구할 수 있다.

따라서 이를 준수하여 관성모멘트를 구하기 위해선 디스크의 관성모멘트를 이용해야한다.

구위의 임의의 디스크의 관성모멘트는 다음과 같이 서술 할 수 있다.

                                 

이 디스크의 질량소와 구의 질량은

                                

관성모멘트를 구하면