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이하 퍼온글
라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 f(t)에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.
라플라스 변환을 이용하면, 어려운 식들을 쉽게 변환하여 풀 수 있으며, 문제들을 직접적으로 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식은 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.
라플라스 변환 : t 관련 값이 들어가 s 관련 값이 나온다
정의
함수 f(t)의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 F(s)로 정의된다.
여기서 0 − 는 를 간단히 나타낸 것이고 복소수 , σ와 ω는 실수이다.
실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 로 표기하기도 한다.
위 정의대로 풀때 무한대 기호가 있기 때문에 이상적분으로 풀이를 하지만 간편하게 그렇다고 인지하고 있고 그냥
풀어 나간다, 너무 자세한건 오히려 보기 지저분할 수 있다
성질
선형성
미분
- = sF(s) - f(0)
- = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)
- = - d/ds F(s)
t^2 라면
- ( - ) d/ds d/ds F(s) = + d^2/ds^2 F(s)
- = (-1)^n d^n/ds^n F(s)
- 'L{ } ' is laplace
- , L{ f(t) } = F(σ)
적분- '*' is convolution , "합성곱"
- tip : T is not t
- L { 1 * f(t) } =
합성곱 ( '*' is convolution , "합성곱" )
(f * g)(t) = ∫ f(u)g(t-u) du , 적분범위는 0(아래 끝) ~ t(위 끝) 까지
t shifting- u( t - a) = 단위계단 함수(= 층계 함수)
- t <= a 라면 u(t-a) = 0
- t > a 이면 u(t-a) = 1
참고: u(t)는 층계 함수이다.
합성곱
주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환
- 라플라스 역변환( s 관련 값이 들어가 t 관련 값이 나온다 )
이를 이용하면 위 예제들 역시 간단히 그 해를 찾을 수 있습니다.
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