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출처 : 

 http://kin.naver.com/open100/db_detail.php?d1id=11&dir_id=1102&docid=1227485&qb=uvi55r/vwMcgs6vHzyC807W1&enc=euc-kr§ion=kin&rank=2&sort=0&spq=0

 

 

빗방울의 낙하속도

strategicdh 2009.08.22 09:23

 

 

 

빗방울의 낙하속도는 빗방울이 공기 중을 낙하하면서 받게 되는 세가지 힘들의 균형에 의해서 결정 됩니다.

 

첫 번째로 중력은 지구의 표면에서 약 9.8m/s2 의 가속도로 작용하며 1kg의 질량당 9.8N 의 힘을 가하게 됩니다.

 

물의 밀도는 4℃ 1 기압에서 약 1000kg/m3 이므로 cm3 당 0.0098N 의 힘을 받게 됩니다.

 

 

또한 공기는 물보다 훨씬 약하긴 하지만 부력을 발생시킵니다.

 

유체가 발생시키는 부력의 크기는 부력의 받는 물체의 부피에 매질이 되는 유체의 밀도와 중력가속도를 곱한 값이 됩니다.

 

해수면 고도 에서 공기의 밀도는 약 1.2kg/m3 정도이므로 공기의 부력으로 인한 물의 무게 감소는 0.12% 정도로 다소 미미한 수준입니다.

 

 

 

 마지막으로 가장 중요하다고 할 수 있는 항력이 있습니다.

 

항력은 빗방울이 낙하하면서 매질인 공기와 운동량을 교환함에 따라 빗방울의 낙하방향과 반대방향으로 받게 되는 힘입니다.

 

낙하하는 빗방울의 속도는 항력의 값과 부력을 제외한 빗방울의 무게가 동일해지는 속도를 계산 함으로서 구할 수 있습니다.

 

이러한 속도를 종말속도(終末速度, terminal velocity) 라고 합니다.

 

항력은 크게 두 가지로 나누어지는데 첫 번째는 매질을 구성하는 유체의 점도로 인해 발생하는 성분으로 그 크기는 매질의 점도에 비례하고 유속에 비례하며 유체와의 접촉면적에 비례합니다.

 

두 번째 성분은 매질의 질량으로 인해 발생합니다.

 

물체가 매질 속을 통과 하기 위해서는 그 물체의 경로상에 위치한 매질들을 주변으로 밀어내야 하는데 이때 매질에 운동량을 가해서 일정속도 가속시켜야 하므로 낙하하는 물체가 매질에 공급하는 시간당 운동량만큼의 힘을 항력으로서 받게 됩니다.

 

따라서 이러한 관성에 의한 항력성분의 크기는 물체의 운동방향에 수직인 단면에 비례합니다.

 

또한 물체의 운동속도가 증가하면 단위시간당 밀어내야 하는 매질의 질량이 증가하고 밀려나가는 매질의 운동속도 역시 증가하므로 물체의 운동속도에는 2제곱에 비례하게 됩니다.

 

항력의 구성성분중 매질의 점도에 의한 성분은 속도에 비례하고 관성에 의한 성분은 속도의 제곱에 비례하므로 유속이 느릴 때는 점도에 의한 성분이, 빠를 때는 관성력에 의한 성분이 우세하게 작용하게 됩니다.

 

유체의 흐름이 관성력이 지배적인지, 점성력이 지배적인지를 판단하는 기준이 되는 값으로서 레이놀즈수(Reynolds number) 라는 것이 있습니다.

 

레이놀즈수는 다음과 같이 정의 됩니다.     

 

 

 D : 유체속을 침강하는 구의 직경, 혹은 유체가 흐르는 관의 직경

ρ : 유체의 밀도

v : 유체의 유속

μ : 유체의 점도

 

레이놀즈수는 분모에 들어가는 값과 분자에 들어가는 값의 차원이 같기 때문에 무차원수 가 됩니다.

 레이놀즈수가 커질수록 관성력이 우세해지며 흐름은 복잡하고 무작위적인 난류가 되려는 경향이 있습니다.

 보통 Re > 4000 일때 유체의 흐름은 난류가 됩니다.

 반대로 레이놀즈수가 작아지면 유체의 점성력이 우세해지며 난류들은 점성력에 의해 에너지를 잃고 소멸하게 됩니다.

 때문에 Re < 2100 이면 유체의 흐름은 층류가 됩니다.

  

공기의 흐름에서의 레이놀즈수를 구하기 위해서는 공기의 점도를 알아야 합니다.

 액체의 점도는 일반적으로 온도가 증가함에 따라 감소하는 반면 기체의 점도는 온도가 증가할수록 강해지는 특성이 있습니다.

 공기의 경우 4℃ 에서의 점도는 약 17.6 × 10-6 Pa·s 입니다.

  

한편 유체 속을 운동하는 물체가 받는 항력의 크기는 다음과 같이 정의 됩니다.

 

Fd = Cdρv2Ap/2

 

Cd : 항력계수

Ap : 물체의 투영면적

ρ : 유체의 밀도

v : 유체의 유속

 

이 식에서는 항력의 크기가 유속의 제곱에 비례하므로 관성력에 의한 항력을 기준으로 만들어진 식임을 알 수 있습니다.

 

아래는 여러 가지 형상의 물체들이 갖는 항력계수들을 나타낸 그림 입니다.

 구의 경우 0.47 의 값을 가지고 있습니다.

  

그러나 이처럼 항력계수가 일정한 값을 유지할 수 있는 레이놀즈수의 영역은 제한적입니다.

 아래는 레이놀즈수의 변화에 따른 항력계수의 변화를 나타낸 그래프 입니다.

 Re값이 작아지면 항력계수의 값이 증가하는 것을 알 수 있습니다.

 

이것은 작은 Re값 에서는 관성력보다 점성력이 우세해지면서 항력이 유속의 2제곱이 아닌 1제곱에 비례하게 되므로 위에서 소개한 항력의 식이 성립하기 위해서는 항력계수의 값이 Re값에 반비례 해야 하기 때문입니다.

 

위의 그래프는 로그눈금으로 그려져 있으므로 Re값이 작을 경우의 항력계수 곡선의 기울기는 -1이 됩니다.

  

빗방울의 형태가 구라고 가정할 경우 부력을 고려한 그 무게는 아래와 같습니다.

 4/3 × πr3 × 998.8kg/m3 × 9.8m/s2 (물방울의 반지름의 단위는 미터 입니다)

 구 형태의 빗방울의 투영면적 Ap 는 πr2 이므로 이 빗방울이 받는 항력의 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 Fd = 0.47 × 0.12kg/m3 × v× πr2/2 (속도 v의 단위는 m/s 이며 이하 모든 단위는 SI 단위계를 사용합니다)

 

이 두 가지 값이 같아지는 속도, 즉 종말속도는 다음과 같습니다.

 

 

이 식을 이용하여 빗방울의 낙하속도(종말속도)를 계산해보면 직경이 1cm 인 빗방울은 약 초속 15.2 미터이며 직경 1mm 의 빗방울은 약 초속 4.8 미터 입니다.

 

단, 이 식으로는 항력계수가 0.47로 일정할 경우의 속도만을 계산할수 있습니다.

 

빗방울보다 훨씬 미세한 크기의 물방울들, 예를 들어 구름이나 안개를 구성하는 물방울들은 매우 큰 항력계수가 적용되기 때문에 위의 식에서 제시되는 값보다 훨씬 느리게 낙하하게 되며 그 때문에 구름은 빗방울과는 달리 하늘에 계속 떠있는 것처럼 보이는 것입니다.

 

예를 들어 직경이 1마이크로미터인 물방울의 해수면 고도에서의 낙하속도는 초속 0.37밀리미터에 불과한데 이정도 속도로는 10미터를 내려오는데도 7시간 30분이나 걸립니다.

 

아래는 이러한 효과들을 모두 고려하여 계산한 빗방울의 직경에 따른 해수면 고도에서의 종말속도를 나타낸 그래프 입니다.

 

 

아래는 이 그래프를 로그눈금으로 나타낸 것입니다.

 곡선이 중간에 꺾이는 것은 레이놀즈수-항력계수 그래프에서 곡선의 기울기가 -1에서 0으로 변화하는 것에 대응합니다.

  

이러한 항력계수를 통한 빗방울의 낙하속도계산에 의하면 빗방울의 직경이 5미터를 넘을경우 그 종말속도는 초음속에 도달하게 됩니다.    그러나 현실적으로 그렇게 큰 빗방울이 존재하는 것은 불가능 할 것입니다.

 

아래는 프랑스의 엠마누엘 빌레르모(Villermaux) 교수의 연구진이 고속촬영한 직경 6밀리미터 크기의 물방울이 바람에 의해서 부서는 모습 입니다.

 

 

물방울이 구의 형태를 유지할 수 있는 것은 표면장력 때문입니다.

 표면장력은 액체가 그 표면적을 가장 작게 유지하려 하는 힘으로 그 퍼텐셜 에너지는 액체의 표면적이 비례하여 높아집니다.

 에너지의 크기가 단위면적에 비례하므로 표면장력의 단위는 J/m2으로 나타낼 수 있으며 이것은 N/m 와 동일합니다.

 20℃에서 물의 표면장력은 72.75mN/m 입니다.

 표면장력은 보통 γ로 나타내며 반지름이 r인 액체방울 내부의 압력은 표면장력에 의해 2γ/r 만큼 증가하게 됩니다.

이 공식에 의하면 1마이크로미터 크기의 물방울의 내부압력은 무려 제곱미터당 15톤에 달합니다.

표면장력에 의한 물방울 내부의 압력은 물방울 반지름에 반비례 하는 반면 종말속도에서 물방울 표면에 가해지는 기류의 압력은 물방울의 반지름에 비례하게 증가 하므로 빗방울의 직경이 커질수록 그 형태를 유지하기 힘들게 됩니다.

빗방울의 직경이 6.7밀리미터가 되면 표면장력에 의한 내부압력과 종말속도(구의 형태를 유지한다고 가정했을 경우의 종말속도) 에서의 물방울 표면에 가해지는 기류의 평균 압력이 동일해 집니다.

 

이러한 상태의 물방울은 더 이상 구의 형태를 유지하지 못하고 위의 사진에서 소개한 모습처럼 부서져 버립니다.

 

따라서 5mm 이상 되는 크기의 빗방울은 사실상 존재하기 힘들고 실제로 관측되는 빗방울의 최대 크기 역시 대략 5mm 정도 입니다.

직경 5mm 크기의 물방울이 구의 형태를 유지한다고 가정했을 때 그 종말속도는 약 초속 10.75미터 이며 따라서 현실적으로 가능한 빗방울의 최대 낙하속도는 대략 초속 10미터 안팎 이라고 생각됩니다.

 

출처 : [직접 서술] 블로그 집필 - Across the Universe

 

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