반응형

(1) 적분한계 중 하나 이상이 무한일때 정적분

 

극한값이 존재하면 수렴 안하면 발산이라고 한다.

 

예)

 

(2)피적분함수가 적분 상한 또는 하한에서만 불연속인 경우

 

 

 

 

두함수 f(x)와 g(x)가 구간 [a,∞)에서 연속이고 구간안에 있는 모든 x에 대하여 0≤f(x)≤g(x) 에대하여

 

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

근판정법 증명  (0) 2012.11.03
비판정법 증명  (0) 2012.11.03
수학노트 사이트  (0) 2012.11.03
수학 노트  (0) 2012.11.03
이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기  (0) 2012.11.03
반응형

http://wiki.mathnt.net/index.php?title=%EB%8C%80%EB%AC%B8

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

비판정법 증명  (0) 2012.11.03
이상적분  (0) 2012.11.03
수학 노트  (0) 2012.11.03
이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기  (0) 2012.11.03
수학 영어용어  (0) 2012.11.03
반응형

http://pythagoras0.springnote.com/
스프링노트 서비스 종료에 따른 안내
  • 2012년 8월 25일부터 수학노트의 컨텐츠는 점차적으로 http://wiki.mathnt.net/ 으로 옮겨질 예정임

 

 

업데이트

 

 

이 수학노트의 취지

수학을 공부하는 학생으로서 먼저 공부한 경험을, 진지한 수학공부를 원하는 중고대딩 후배들에게 전해주고자 쓰는 노트입니다. 애초에는 수학과 학부생을 위한 노트로 시작했으나, 좀더 범위를 넓혀 중고딩을 위한 수학도 조금씩 보충해가고 있습니다. 중고등학교 수학에서부터 링크를 타고 이리저리 움직이며 관련되어 있는 대학수학, 그 너머 더 수준높은 수학까지 여행하는 재미를 느껴보시기 바랍니다.

이곳에서는 중고대딩들을 위한 수학뿐만 아니라, 수학과 문화생활 페이지를 통해 수학과 관련된 영화나 다큐멘터리 정보를 제공하고 있습니다. 교과서만 고집할 것이 아니라, 수학의 세계로 들어가는 다양한 길을 찾아보시기 바랍니다.

 

  • 중고등학교에서 배우는 수학과 더 수준높은 고등수학을 연결하기

  • 어려운 수학의 주제에 접근하는 문턱을 낮추고 디딤돌 놓기

  • 중고등학교 수학 선생님들이 활용할 수 있는 소재 제공하기

  • 수학용어번역하기

  • 한글 위키피디아의 수학 관련 항목 업데이트 하기

  • 미디어 속의 수학 모니터링

 

 

왼쪽상단의 이미지 설명

 

 

블로그 안내

 

 

중고등학교 수학의 명장면

따분하고 지루했던, 생각만 해도 싫은 학창시절의 수학 시간… 그 때는 그리도 싫었지만, 지금쯤 한번 다시 돌아볼수있다면 어떠한 생각이 들까? 수학이 쓸모없어 보였기에, 하기 싫었던 것일까? 수학이 그렇게 쓸데없는 것이면, 미술 같은 것도 쓸데없기는 마찬가지다.

그림은 즐겁게 감상이라도 하지… 그렇다면 왜 수학도 작품 하나씩 감상한다고 생각하면 안되는 것일까? 그러니 한번 기억을 더듬어, 중고등학교 수학 시간의 명장면들을 회상해 보기로 하자.

 

 

고등수학 입문

 

 

생활 속의 수학

 

 

재미있는 수학의 주제들

pythagorean_theorem.gif

 

 

 

 

하위페이지

 

 

2012-08-26 01:21 에 피타고라스님이 마지막으로 수정


반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

이상적분  (0) 2012.11.03
수학노트 사이트  (0) 2012.11.03
이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기  (0) 2012.11.03
수학 영어용어  (0) 2012.11.03
이중적분 정리와 영상강의  (0) 2012.11.03
반응형

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..




인테그랄의 범위는 z 함수 뒤에 오는 dx, dy 와 관련이 있는데


∫∫ z dxdy 의 연산 순위를 따져보면

=∫(∫ z dx)dy 이 먼저 연산 됨으로

안에 있는 dx 에 대한 범위 부터 따지는 것이 수월하다

dx 는 x 축의 방향으로 인테그랄 만큼 x 가 움직이는 범위를 말하다

즉 

인테그랄(1~0) 까지가 이동 범위라고 한다면 x 의 이동 범위가 0 에서부터 1 까지 의 이동 범위 x의 정의역
이 되는 것이고

인테그랄(1~y) 까지가 이동 범위라고 한다면 x 가 y 값에 종속되어지는 y 부터 1 까지 이동 범위가 되는데


=∫(∫ z dx)dy 의 정의를 보면 이중 시그마로 정의 되는데 이때 델타x 델타y 로 정의 됨으로

안쪽의 시그마에서 델타x 델타y 까지 의 함 임으로 우선 y 축을 고정한다 가정하고
y 값이 고정된다면 이때 이동하는 x 의 범위, 이동 범위 함수를 구해 내고

이 x축에 대한 이동이 이루어지는 y축 방향으로의 이동 범위를 구해주면 해당 부피를 구할 정의역을

구할 수 있게 된다.

∫∫ z dydx 로 나열 할 경우에도 또한 dy 를 먼저 연산 해야 함으로 dx 를 우선 고정 시켜놓은 후

dy 의 이동 범위를 먼저 구해본 후 dx의 범위를 구한다

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

수학노트 사이트  (0) 2012.11.03
수학 노트  (0) 2012.11.03
수학 영어용어  (0) 2012.11.03
이중적분 정리와 영상강의  (0) 2012.11.03
근사적 정적분  (0) 2012.11.03
반응형

http://blog.naver.com/azsure?Redirect=Log&logNo=80090388208

 

A

absolute value 절대값

about 약, 대략 , ≒

acute angle 예각

acute triangle 예각 삼각형

add 더하다

addition 덧셈

addend 가수 (더해진 수)

adjacent angle 인접각

algebra 대수

alternate angle 엇각

altitude 높이 (= height)

analytical geometry 해석 기하학

angle 각 , ∠

answer 정답, 대답하다

approximation 근사값

arabic numeral 아라비아 숫자

arbitrary 임의의

area 면적 , 넓이

arc 호

arithmetic 산술

associative law 결합법칙 

average 평균

axis 축


 

B

bar graph 막대 그래프

base 기수, 밑변

binomial 2항식

bisect 이등분하다

blank 빈칸


 

C

calculus 미적분학

calculate 계산하다 (= eval!uate)

calculator 계산기

cancellation 약분

capacity 들이 

center 중심

center angle 중심각

chart 표

check 확인하다

chord 현

circle 원

circumference 원주

clockwise 시계방향

coefficient 계수

combination 조합, 결합

common fraction 상분수

compare 비교하다

compass 컴퍼스

complementary angle 여각

complex number 복소수

complete 완성하다

composite number 합성수

cone 원뿔

congruence 합동 

constant 상수

consecutive 연속적인

coordinate 좌표

coordinate plane 좌표평면

corresponding angle 동위각

counter clockwise 반시계방향

counter example 반례

cube 정육면체

cubic 입방의 , 3차의

curve 곡선

cylinder 원기둥


 

D

decagon 10각형

decimal 소수 

decimal point 소수점

definition 정의

degree ~차, 차수, ~도

demonstration 증명

denominator 분모(= divisor) 

denote 표시하다

develop 전개하다

diagonal 대각선

diagram 도표

diameter 지름

difference 차

differential calculus 미분

dimension 차원

distance 거리

distributive law 분배법칙

divide 나누다

dividend 피제수

division 나눗셈

domain 정의역

draw 그리다


 

E

edge 모서리

element 원소

eliminate 삭제하다

ellipse 타원

empty set 공집합 ,

endpoint 끝점

equal 같다 , =

equation 방정식

equiangular 등각의

equidistance 등거리

equilateral triangle 정삼각형

equivalent 동치, 동등

even number 짝수

example 보기, 예제

exercise 연습문제

exponent 지수

expression! 식


 

F

factor 인수

factoring 인수분해

false 거짓

find 찾다 

finite 유한

figure 도형, 그림

formula 공식

fraction 분수

frustum 각추대

function 함수


 

G

geometry 기하학, 도형

graph 그래프

greater than ~보다 큰 (= more than)

greatest common factor 최대공약수

group 군


 

H

height 높이 (= altitude)

hexagon 육각형

horizontal 가로의

hyperbola 쌍곡선

hypotenuse 빗변


 

I

identical equation 항등식

identity 항등원

imaginary number 허수

improper fraction 가분수

indirect proof 간접 증명법 (귀납법)

inequality 부등식

infinite 무한

inscribe 내접시키다

integer number 정수

integral calculus 적분

intersection 교점

inverse 역

involve 거듭제곱하다

interest 이율 , 이자

irrational number 무리수 

(<-> rational number 유리수)

isosceles 이등변의

isosceles triangle 이등변 삼각형

isosceles trapezoid 이등변 사다리꼴

 

L

leg 변

length 가로 , 길이

less than ~보다 작은 (= fewer than)

leteral area 겉넓이

letter 문자

like term 동류항

line 선

linear 1차의 , 직선의

linear equation 1차 방정식

line graph 선 그래프

lowest term 기약분수

 

M

manipulation 조작

mathematics 수학

mathematician 수학자

measure 측정하다

measurement 측정

midpoint 중점

million 백만

minuend 피감수

mixed number 대분수

monomial 단항식

multiplication 곱셈

multiply 곱하다

 

N

natural number 자연수

negative 음의

negative number 음수

notation 표시법

number 수

number line 수직선

numeral 숫자

numerical 수의

numerator 분자

 


obtuse angle 둔각

obtuse triangle 둔각 삼각형

octagon 8각형

odd number 홀수 ( <-> even number 짝수)

order 위수, 차수 , 순서

ordered pair 순서쌍

origin 원점 

operation 계산 (사칙연산 +, -, ×,÷)

 

P
parabola 포물선

parallel 평행

parallel line 평행선

parallelepiped 평행 육면체

parallelogram 평행사변형

parenthesis 괄호 , ( )

pentagon 5각형

percent 퍼센트,

perpendicular 수직 , ⊥

perpendicular line 수직선

perimeter 둘레의 길이

plane 평면

plane geometry 평면 기하학

point 점, 소수점

polygon 다각형

polynomial 다항식

positive 양의 (<-> negative 음의)

positive number 양수

power 멱, 거듭제곱

practice problem 연습문제

prime number 소수

prism 삼각기둥

probability 확률

problem 문제

product 곱

proof 증명하다

proper fraction 진분수

property 공식 , 성질

proportion 비례식

protractor 각도기

pyramid 사각뿔

 

Q

quadrant 사분면

quadratic 2차방정식, 2차의

quadrilateral 사각형

quadrillion 천조

quantity 양

quotient 몫

 

R

radius 반지름

raise 제곱하다

range 공역 

rate 비례, 비율 ( = ratio)

ray 화살표

real number 실수

reciprocal 역의, 역수

rectangle 직사각형

rectangular box 직육면체

reduce 약분하다

reflex angle 우각

remainder 나머지

regular polygon 정다각형

revolution 회전, 주기

rhombus 마름모

right angle 직각

right triangle 직각 삼각형

root 근, 해

round off 반올림하다

ruler 자

 

S

scalene triangle 부등변 삼각형

secant 할선

sector 부채꼴

segment 선분

sentence 문장

semicircle 반원

set 집합

set theory 집합론

similar 닮음 

simplify 간단히 하다

size 크기

slash 사선

slope 기울기

solid geometry 입체 기하학

solution 해법 , 풀이

solve 풀다

sphere 구

square 제곱의, 정사각형

statement 명제

statistics 통계

straight angle 평각

straight line 직선

subset 부분집합

subtract 빼다

subtraction 뺄셈

sum 합

supplementary angle 보각

surface area 표면적 , 겉넓이

symbol 기호

 

T

tangent 접선, 탄젠트

tenths 소수 첫째자리

term 항

theorem 정리

the greatest number 가장 큰 수

the least number 가장 작은 수

therefore 따라서, 그러므로, 

thousandths 소수 셋째자리

transform 변환하다

trapezoid 사다리꼴 

triangle 삼각형

trigonometric ratio 삼각비

trillion 1조

trinomial 3항식

true 참

 

U

union 합집합

unit 단위

unknown 미지수

 

V

value 값

variable 변수

vertex 정점, 절정, 꼭지점

vertical angle 맞꼭지각

vertical line 수직선

volume 부피, 체적

 

W

way 방법

weight 무게

whole number 0을 포함한 자연수

width 너비, 세로

 

X

x-axis x축

x-intercept x절편

 

Y

y-axis y축

y-intercept y절편

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

수학 노트  (0) 2012.11.03
이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기  (0) 2012.11.03
이중적분 정리와 영상강의  (0) 2012.11.03
근사적 정적분  (0) 2012.11.03
정적분 삼각치환  (0) 2012.11.03
반응형


블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..






대략적 핵심 정리

dx, dy 가 이루는 사각형 dA = dx * dy

와 곱해지는 함수 z(x,y) 의 곱으로써 부피를 구한 다는 것이 핵심인데

∫∫ f(x,y)  dydx

에서 이중적분 정의에 의해 f(x,y) 는 축 z 축에 의한 높이 값 z 성분으로 봐야 이해가 수월 하다

∫∫√( 1-x^2) dxdy 

에서 √( 1-x^2) 이 것 자체가 함수 z(x,y) 가 만들어낸 결과 값 z 성분 이라는 것

z(x,y) = √( 1-x^2)
= 1 = z^2+x^2  -> x,z 평면에 대한 1인 원 
  -> 루트함수의 정의에 의하여 z 축으로 음수가 아닌 반원이 된다
       이것이 의미 하는 것이 성분 y 성분은 고려하지 않은  x 성분에 의해 z 값이 생성되는 함수 
       라는 것!

z(x,y) 의 높이 값과 dx 와 곱한 x축과 평행한 면을 하나 생성 한 후

dy와 곱해 작은 부피(사각형 )를 생성하고 이것을

∫ 로 인하여 해당 영역까지 작은부피를 모두 더해주면 총 구하고자 하는 부피가 근사적으로 나온다는 것!


∫∫ f(x,y)  dydx 
= ∫∫ f(x,y)  dA

( )  이 괄호 안에 있는것이 각 기호들의 속성
= lim_(m->∞,n->∞) ∑_(j=1~n) ∑_(i=1~m) f(x',y') ΔxΔy

x',y' 은 임의의 범위 중 극소 ΔxΔy 크기 안의 점을 말한다.


아래부터는 첨부내용










calculus 미적분학 무료강의 중적분(이중적분) 1~3번째

 

 

올려놓고 보니 사진은 다른 강의하실 땐가봐요 제게 아니라서;

 

 

중적분/이중적분 첫번째

 

 

중적분/ 이중적분 두번째

 

 

중적분/이중적분 세번째

 

일등급큐스터디 권태원 선생님 무료강의 "대학수학 中 중적분 강의 1~3번째

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

이중 적분 범위(정의역) 그래프 그리기  (0) 2012.11.03
수학 영어용어  (0) 2012.11.03
근사적 정적분  (0) 2012.11.03
정적분 삼각치환  (0) 2012.11.03
넓이를 구할때 사용되는 특수한 공식  (0) 2012.11.03
반응형




부분정적분에서 ‘h’ 값을 작게 하여 ‘사다리꼴이나 ‘1/3 심프슨’ 공식으로 구간 내의 함수 면적을 구한다.


근사적 정적분은  F'(x) = f(x)  

즉 F(x) 를 알기 힘들때 정적분으 근사적으로 접근하여 구하는 방법이다



1) 사다리꼴 적분법

 

 

 

 

 

 

 




적분할 구간을 사다리꼴로 간주하여 정적분 하는 근사적 정적분 법이다.



 







Prismoidal's rule


어떤 함수가 곡선으로 이루어져 있을때 이것을 두개의 간격으로 나누어 놓고 

근사적 곡선 형태로써 이 두 간격에 대한 면적을 구하는 것인데

이것이 simpson 의 근사적 정적분에 그대로 사용 된다

Simpson's rule












블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..





이 방법은 Prismoidal's rule 을 바탕으로 근사적으로 정적분을 하는 경우다


적분구간: [a,b]
step length: h=(b-a)/n
x_i=a+i h
i=0,1,2,3,....,n-1,n
여기서 n은 짝수이다.

x_0=a
x_n=b

적분 구간이 짝수개여야 한다
ex)  인테그랄 0~10 까지

h 는 등간격을 말한다
 

규칙은 처음과 끝을 제외한 중간에 있는 함수들의 개수가 4, 2, 4, 2 , ,.,,, 4   로  진행 된다는 것

 
 




다른곳에 있는 심슨의 룰  http://blog.naver.com/kimth1023/120059333609
 

반응형
반응형

http://blog.naver.com/shakuruszrt/90105165425 


정적분을 풀다보면 나오는 파트중 하나가 바로 삼각치환 파트이다. 삼각치환이란 미지수x를 asintheta등으로 바꾸어서 푸는 방법인데, 최근에 삼각함수의 역함수를 익히고 나서 공식이 유도가 되어 유익할지도 모르겠다는 생각에 한번 공식을 올려보도록 하겠다.

그럼 첫번째 공식이다.

흔히 나와있는 말중 하나는 바로

이다. 여기선 이 방법을 그대로 따라가겠다. 수식을 전개하겠다.

이렇게까지 치환에 성공한 사람들이 많을 것이다. 그런데 문제는 저 인테그랄 안에 존재하는 Beta와 Alpha의 값은 미지수x에 대해서 정의 되어 있다는 것이다. 저 문자를 Theta에 대한 식으로 정리하지 않으면 이 식은 여기서 막혀버린다.

그래서 새로운 함수가 하나 필요하게된다. 바로 아크삼각함수이다.

아크삼각함수는 Sin^(-1)/Arcsin , Cos^(-1)/Arccos, Tan^(-1)/Arctan 으로 표기하는데, 이 때 -1은 분수를 나타내는 표현이 아님을 주의한다. 원래 삼각함수는 역함수가 존재할 수 없으나, 그 정의역을 적절히 조절해주면 일대일대응을 갖게되어, y=x에 의한 역함수를 얻을 수 있고 그것이 아크삼각함수이다.

Sin함수는 그 값을 폐구간 Pi/(-2) , Pi/2 로 정해주면, Cos함수는 우함수이므로 폐구간 0,Pi로 설정하고, Tan함수는 개구간 Pi/(-2),Pi/2 로 설정하면 일대일 대응이 되므로 역함수를 얻을 수 있게 된다.

이로써

의 일반항을 구하는데 성공하였다. 다른 방법도 똑같이 역함수를 이용하여 쉽게 구할 수 있고, 나중에 또 올리겠다. 

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

이중적분 정리와 영상강의  (0) 2012.11.03
근사적 정적분  (0) 2012.11.03
넓이를 구할때 사용되는 특수한 공식  (0) 2012.11.03
미적분학 삼각함수 적분법 공식  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
반응형

정적분 계산시 정적분안에 있는것이 아래와 같은 꼴(2차곡선) 이고 주워진 범위가
x축과 교차하여 2차곡선과 x축과의 해의 지점이 정적분을 구해야 하는 지점이라면
 
알파,베타를 정적분의 범위값으로 대신하여 구하면 쉽게 구할 수 있다.
 

    

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

근사적 정적분  (0) 2012.11.03
정적분 삼각치환  (0) 2012.11.03
미적분학 삼각함수 적분법 공식  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
반응형

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..





곱을 합차로...

 

아래 공식은 삼각함수의 합공식에서부터 유도되어 진다

 

sin(a)cos(b)=1/2[sin(a+b) + sin(a-b)]

cos(a)sin(b)=1/2[sin(a+b) - sin(a-b)]

 

다를때는 sin

 

cos(a)cos(b)=1/2[cos(a+b) + cos(a-b)]

sin(a)sin(b)  =1/2[cos(a+b) - cos(a-b)]

 

같을때는 cos

  

 

차수를 낮추는 삼각함수

sin^2(x)=(1-cos(2x))/2

cos^2(x)=(1+cos(2x))/2

 

sin(x)cos(x) = (sin(2x))/2

 

이때 주의해서 봐야 할 것은 원래의 각도에서 2배 만큼 올려준다는 것!!

 

 

 

ex)  sin  과 cos 가 엮였을때의 적분법!!!!!

 

두개의 삼각함수중 하나가 홀수 승이고 하나가 짝수 승일때는 또는 둘다 홀 수 승일때

 

(홀수승일때 3 이상 일때 ), 그 이하일때는 바로 d 에 넣어버리면 된다

 

홀수승의 차수를 하나 낮추어서 분리한 후

 

분리한 것을  d 속에 적분하여 넣고

 

d(적분해 넣은것) 을 기준으로 적분을 하는데

 

적분하게될 변수에 맞춰 짝수였던 삼각 함수를 적변 변수에 맞게

 

1-cos^2 형태 또는 1-sin^2  형태로 변형하여 적분을 한다

 

 

 

 

삼각 함수가 짝수. 짝수 승일때의 적분은

 

차수를 낮추는 삼각함수를 이용하여 적분 할 수 있을때까지 차수를 낮추는 삼각 함수를 계속 대입한다

 

 

 

삼각함수와 대수 함수가 결합된 형태라면 부분적분을 이용하는데

 

그때 대수 함수를 미분형태가 되는 전개로 봐야 계산전개가 편하다

 

대수함수를 계속 미분하다보면 대부분 0 으로 떨어지는 항이 나타난다

 

-승 인상황은 주의.




이하부터는 첨부내용








삼각함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
삼각 함수

삼각함수(三角函數,Trigonometric functions)는 수학에서 사용되는 에 대한 함수이다. 삼각함수는 삼각형이나 주기적 현상의 가정에 주로 사용된다. 삼각함수는 일반적으로 해당 각이 존재하는 직각삼각형의 두 변의 비로 정의되며, 단위원에서의 가변적인 호의 길이의 비로 정의되기도 한다. 이들은 무한급수나 특정 미분방정식의 해로도 표현되어, 그 영역이 임의의 양의 값과 음의값, 또는 복소수로 확장되기도 한다. 삼각함수에는 6개의 기본 함수가 있다.

삼각함수는 삼각형의 각에 변을 연관시킬 때 사용된다. 삼각함수는 여러 방면에 응용되고 있으나, 특히 삼각형의 연구나 주기적 현상의 모형 구축에 중요하게 쓰인다.

목차

  [숨기기

[편집]기하학적 정의

직각삼각형

각 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 a, b, h라고 할 때, 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent)의 정의는 다음과 같다.

사인: \sin A = \frac{a}{h}
코사인: \cos A = \frac{b}{h}
탄젠트: \tan A = \frac{a}{b}

또한, 코시컨트(cosecant), 시컨트(secant), 코탄젠트(cotangent)는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: \csc A = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin A}
시컨트: \sec A = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos A}
코탄젠트: \cot A = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan A}
Sine cosine plot.svg Tangent.svg Csc drawing process.gif
사인과 코사인의 그래프 탄젠트 그래프 코시컨트 그래프

[편집]단위원 정의

단위원 위의 각 점의 좌표

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 (x, y)에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선간의 각을 \theta 라디안이라고 하면, 이때 사인, 코사인은 다음과 같이 정의된다.

\sin \theta = y
\cos \theta = x

또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

이들은 주기함수로서, 각각 2\pi (사인/코시컨트, 코사인/시컨트)또는 \pi (탄젠트/코탄젠트)의 주기를 갖는다.

[편집]부호 및 변환표

각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

사분면 sin과 csc  cos과 sec  tan와 cot 
I+++
II+
III+
IV+

변환된 값은 다음과 같다.

 sincostancotseccsc
sin(x) \,\sin(x)  \sqrt{1-\cos^2(x)}  \frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}  \frac{1}{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}  \frac{\sqrt{\sec^2(x)-1}} {\sec(x)}  \frac{1}{\csc(x)}
cos(x) \, \sqrt{1-\sin^2(x)}  \, \cos(x)  \, \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}  \, \frac{\cot(x)} {\sqrt{\cot^2(x)+ 1}}  \, \frac{1}{\sec(x)}  \, \frac{\sqrt{\csc^2(x)-1}}{\csc(x)}
tan(x) \, \frac{\sin(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}}  \, \frac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)}  \, \tan(x)  \, \frac{1}{\cot(x)}  \, \sqrt{\sec^2(x)-1}  \, \frac{1}{ \sqrt{\csc^2(x)-1}}
cot(x) \, \frac{\sqrt{1-\sin^2(x)}}{\sin(x)}  \, \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-\cos^2(x)}}  \, \frac{1}{\tan(x)}  \, \cot(x)  \, \frac{1}{\sqrt{\sec^2(x)-1}}  \, \sqrt{\csc^2(x)-1}
sec(x) \, \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(x)}}  \, \frac{1}{\cos(x)}  \, \sqrt{1 + \tan^2(x)}  \, \frac{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}{\cot(x)}  \, \sec(x)  \, \frac{\csc(x)}{\sqrt{\csc^2(x)-1}}
csc(x) \, \frac{1}{\sin(x)}  \, \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}  \, \frac{\sqrt{1 + \tan^2 (x)}} {\tan(x)}  \, \sqrt{\cot^2(x) + 1}  \, \frac{\sec(x)}{\sqrt{\sec^2(x) - 1}}  \, \csc(x)

[편집]삼각함수 항등식

 이 부분의 본문은 삼각함수 항등식입니다.

삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그 중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 r이고 밑변이 b, 각 x의 대변 a에 대하여 \frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

\, \sin^2 x  + \cos^2 x  = 1

다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제이 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제일 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

\sin \left(x \pm y\right)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y, \,
\cos \left(x \pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y (복부호 동순)

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

[편집]미분과 적분

삼각함수의 미분과 적분에 대해서는 미분표적분표를 참고하십시오.

다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

\ \ \ \ f(x)\ \ \ \ f'(x)\int f(x)\,dx
\,\ \sin x\,\ \cos x\,\ -\cos x + C
\,\ \cos x\,\ -\sin x\,\ \sin x + C
\,\ \tan x\,\ \sec^{2} x-\ln \left |\cos x\right | + C
\,\ \cot x\,\ -\csc^{2} x\ln \left |\sin x\right | + C
\,\ \sec x\,\ \sec{x}\tan{x}\ln \left |\sec x + \tan x\right | + C
\,\ \csc x\,\ -\csc{x}\cot{x}\ln \left |\csc x + \cot x\right | + C

[편집]삼각함수의 성질과 응용

[편집]사인법칙

사인법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 ABC의 대변 abc에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

 \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

마찬가지로,

 \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

[편집]코사인법칙

 이 부분의 본문은 코사인법칙입니다.

코사인법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

 \, c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

 \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

[편집]순허수

오일러의 공식 \,  e^{ix}=\cos x+i\sin x

\, x=b i 를 대입하면,

\, e^{-b}=\cos bi+i\sin bi

\, x=-bi 를 대입하면,

\, e^{b}=\cos (-bi)+i\sin (-bi)=\cos bi-i\sin bi

연립하여 풀면,

 \cos bi =\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}
 \sin bi =\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}i

 


 

 

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

정적분 삼각치환  (0) 2012.11.03
넓이를 구할때 사용되는 특수한 공식  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
부분적분법 공식  (0) 2012.11.03
반응형

 

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..




 부분적분 : x에 대한 두 함수의 적분을 할 경우

 

(f(x)g(x))'  에서 탄생

 

 

 

부분적분을 두번 하는 경우 = 지수함수*삼각함수 일때

 

두번 하는 이유는 원래 식의 똑같은 형태가 마지막에 나오기 때문에 원래식과 하나로 합칠 수 있어

 

마지막 적분이 우변에 있었다면 적분을 좌변으로 넘겨 합치면서 적분식이 사라지기때문

 

이때 좌변으로 넘길때 우변은 적분이 사라지는데 하지만 원래식이 적분이였음으로 우변에는

 

적분상수 C 가 더해져야 하는 형태가 되야 한다.

 

 

무한히 하는 경우 =  x * e^x 의 형태를 계산하는 경우

 

 

유리함수 적분은 

 

g(x)/f(x) 의 형태를 적분한다면 분모의 차수가 더 크게 변형 한 후( 같으면 안됨 )

-붐노, 분자에 차수를 나누어 분모가 차수가 더크게 변형

 

f(x) 의 차수가 g(x) 의 차수가 더 커지는데

 

그 후 부분분수를 적용하며 풀어 나간다.

 

 

 

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

넓이를 구할때 사용되는 특수한 공식  (0) 2012.11.03
미적분학 삼각함수 적분법 공식  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
부분적분법 공식  (0) 2012.11.03
유리수 적분중 부분분수  (0) 2012.11.03
반응형

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..


 

 부분적분 : x에 대한 두 함수의 적분을 할 경우

 

(f(x)g(x))'  에서 탄생

 

 

 

부분적분을 두번 하는 경우 = 지수함수*삼각함수 일때

 

두번 하는 이유는 원래 식의 똑같은 형태가 마지막에 나오기 때문에 원래식과 하나로 합칠 수 있어

 

마지막 적분이 우변에 있었다면 적분을 좌변으로 넘겨 합치면서 적분식이 사라지기때문

 

이때 좌변으로 넘길때 우변은 적분이 사라지는데 하지만 원래식이 적분이였음으로 우변에는

 

적분상수 C 가 더해져야 하는 형태가 되야 한다.

 

 

무한히 하는 경우 =  x * e^x 의 형태를 계산하는 경우

 

 

유리함수 적분은 

 

g(x)/f(x) 의 형태를 적분한다면 분모의 차수가 더 크게 변형 한 후( 같으면 안됨 )

-붐노, 분자에 차수를 나누어 분모가 차수가 더크게 변형

 

f(x) 의 차수가 g(x) 의 차수가 더 커지는데

 

그 후 부분분수를 적용하며 풀어 나간다.

 

 

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

미적분학 삼각함수 적분법 공식  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
부분적분법 공식  (0) 2012.11.03
유리수 적분중 부분분수  (0) 2012.11.03
적분의 시작 d( )  (0) 2012.11.03
반응형

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..








연속 부분적분 = 이해를 돕기위해 그냥 이름 붙인것..


미분은 첫번째 pass 두번째 부터

적분은 첫번째 부터 하고 마지막 ∫ dx 안에 넣을때 미분한것은 처음에 않했음으로 미분해서 들어가지만 적분한

것은 처음부터 적분했음으로 마지막 ∫ dx 안에는 적분하지 않은 상태로 들어간다



 

 

 부분적분법에서

 

u' 을 d에 넣어 du

v' 을 d에 넣어 dv 

 

의 형태로 바꿔놓고 풀면 더욱 간단하다






이하 첨부파일과 자세한 내용이다



부분적분공식정리.pdf








부분적분

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
미적분학
v  d  e  h

미적분학에서 부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 곱셈 법칙에서 유도할 수 있다.

목차

 [숨기기]

[편집]법칙

두 미분가능한 연속 함수 f(x)와 g(x)에 대해서, 적분 구간이 [a,b] 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.

 f(b)g(b) - f(a)g(a)\, = \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx
=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx

부정적분의 경우에는 다음과 같다.

\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

\int u\,dv = u v - \int v\,du

여기서, u = f(x),\ v = g(x)이고, du = f'(x) dx,\ dv = g'(x) dx이다.

[편집]예제

[편집]x cos x의 적분

다음 식을 적분한다.

\int x\cos x \,dx

이때, u = x,\ du = dx,\ dv = \cos x \, dx,\  v = \sin x와 같이 가정하면

\int x\cos x \,dx = \int u \,dv
= uv - \int v \,du

가 되어,

\int x\cos x \,dx = x\sin x - \int \sin x \,dx
\int x\cos x \,dx = x\sin x + \cos x + C

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, C는 적분 상수이다.

[편집]ex cos x 의 적분

\int e^{x} \cos x \,dx

이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

u = \cos x, du = -\sin x \, dx
dv = e^x dx,\ v = e^x

이때,

\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin x \,dx

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

u = \sin x\;;\ du = \cos x \, dx
v = e^x\;;\ dv = e^x dx

그러면,

\int e^{x} \sin x \,dx = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx

이므로, 함께 적으면,

\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + e^x \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx

임을 알 수 있다.

자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,

2 \int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} ( \sin x + \cos x )

이고, 2로 나눠

\int e^{x} \cos x \,dx = {e^{x} ( \sin x + \cos x ) \over 2}

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

[편집]ln x 의 적분

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 x를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는, \int \ln x \,dx 이다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int (\ln x) \cdot 1 \,dx

다음과 같이 가정하면,

u = \ln x\;;\ du = \frac 1 x dx
v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx
\int \ln x \,dx = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx
= x \ln x - \int 1 \,dx
\int \ln x \,dx = x \ln x - {x} + {C}
\int \ln x \,dx = x ( \ln x - 1 ) + C

이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.

[편집]arctan x의 적분

두 번째 예는 \int \arctan x \,dx이다. 여기서 arctan 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int 1 \cdot \arctan x \,dx

다음과 같이 가정하면,

u = \arctan x\;;\ du = \frac 1 {1+x^2} dx
v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx
\int \arctan x \,dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx
= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C

임을 확인 할 수 있다.

반응형

'수학 (Mathematics) > 미적분학' 카테고리의 다른 글

적분법  (0) 2012.11.03
적분법  (0) 2012.11.03
유리수 적분중 부분분수  (0) 2012.11.03
적분의 시작 d( )  (0) 2012.11.03
다변함수 미분, 전미분, 전도함수 편도함수 증명정리  (1) 2012.11.03
반응형


반응형
반응형

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..



 

 df(x) = f'(x)Δx = f'(x)dx  = 아주 미소의 0 에 가까운 εΔx  을 생략한  dy 값을 말함

 

ex)

 

dx = (x)'dx

d(x) = (x)'dx

 

d(x) = d(x+1)

(x)'dx = (x+1)'dx

dx=dx

 

반응형
반응형

블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..






자세한 증명은 pdf 파일에 남겨놓는다

 

여기선 전체적인 개략적 설명만 남겨놓는다

 

z=f(x,y)

 

함수 증분 = Δz : z의 증분량 

전미분 = dz  :  극소값 입실론을 때어버린 z 의 극소 증분량 

 

 

 

z=f(x,y)  , x=g(t), y=h(t)

 

전도함수 dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) +  (∂f/∂y)(dy/dt)

 

이렇게 표현을 하는데 풀이 과정은 편미분으로 들어가는데 dz/dt 로 쓸 수 있는 이유는 x,y 가 t 의 변수

 

즉 y,t 의 평면 그래프에서 생각 할 수 있기 때문, t 한개의 정의역에서 정의 될 수 있음으로

 

일변함수 도함수와 같다고 할 수 있지만 중간에 두개의 변수인 f 임으로 차별화가 필요하여 이름앞에 전을

붙여 전도함수라 칭함

 

편도함수는 중간에도 2개의 변수 마지막도 2개의 변수에 대한 도함수

 

z---->(x,y)------>(s,t)   인 결국엔 z 가 s,t로 이루어진 함수의 편미분을 하게 되는 과정을 말한다

 

표현한다면 

 

z를 s 에 대하여...

∂z/∂s = (∂f/∂x)(dx/ds) + (∂f/∂y)(dy/ds)

 

z를 t 에 대하여...

∂z/∂t = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

 

이때 ∂z/∂s , ∂z/∂t  가 모두 라운드(∂) 가 붙은걸 알 수 있는데 z 가 결국 s,t 다중 변수로 구성됨으로

 

z의 구성요소중 하나에 대하여 편미분 한다 하여, 즉 여러 변수중 하나를 골라 미분한다는거 표현하기 위해

 

라운드 가 붙는다, 그리하여 ∂ 대신 d 가 붙지 않는다

 

 

정리하면

 

 전도함수의 계산과정이 dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

 

dz/dt 를 계산할때 x와 y 에 대하여 편미분하여 이 둘을 합친것이 t 에 대한 전도함수 임으로

 

z---->(x,y)------>(s,t) 인 다변 함수에서는 각각의 변수에 대한 전도함수식 계산을 각각 해주면 된다

 

 

[편도함수]

z를 s 에 대하여...

∂z/∂s = (∂f/∂x)(dx/ds) + (∂f/∂y)(dy/ds)

z를 t 에 대하여...

∂z/∂t = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

 

 

 

 

 

 

 

반응형
반응형


블로그 이미지

3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..







결론적으로는 ..




 
Δy = f(x+Δx) - f(x)
 
평균값 정리에 의하여
x <  c < x+Δx  즉 (x,x+Δx) 사이에 미분가능한 c 가 존재하여
 = f'(c) Δx  =  Δy = f(x+Δx) - f(x) , 로 나타낼 수 있고
이것은 현재의 구간이 연속이며 미분가능하다고 가정하였을 경우
 = ( f'(x) + ε )Δx, 로 나타낼 수 있다 그리하여 다음과 같이 정리 될 수 있다
 =  f'(x)Δx + εΔx
 
이때의 ε 은 lim_Δx->0 { ε } = 0
으로 가는 값이다.
 
그리하여  εΔx 은 Δx 보다 ε 보다 더 작은 값이 되어 거의 없는 값으로 취급하여 근사적으로

 f'(x)Δx + εΔx ≒ f'(x)Δx
 
로 나타낼 수 있으며
 
Δx 가 극소로 간다는 것을 기호로 나타내여 dx 로 표현하기로 정의 했었고
 
f'(x)dx
 
로 현 할 수 있다
 
그리하여 f'(x)Δx + εΔx 의 근사 값을  f'(x)dx 으로 나타낼 수 있고 이것을
 
dy 라 칭한다
 
dy = f'(x)Δx
 
엄밀히 말하면 dy 는 근사적인 y 극소 증가량이다
 
 
 
[dy 와 Δy 차이]


를 말한다 좀 더 자세한 내용은 이하 첨부부터...













http://phc1112.blog.me/80066834781


첨부파일 (1)

엡(입)실론 델타 이용 함수극한 증명문제

 

 

 

고등학생 때는 당연시 여기는 것을 대학에선 대학수학적 정의를 가지고 증명을 하는데요,

"대학미적분(calclus)  함수의 극한중에서  큐스터디 게시판의 증명문제

여러분들과 공유하고자 합니다.

증명 설명은 파일첨부합니다. 

 
 
 
 
아래 그림 파일은 문제입니다.

 










출처 : http://blog.naver.com/inhangin/100073943722

 

고등학교 수학과정에서 가장 미흡하게 소개된 개념들을 꼽아보자면 몇 가지 되는데,

 

그 중의 하나가 바로 극한의 정의이다.

 

고등학교 과정 안에서 극한의 정의는 매우 모호하다.

 

함수 f(x)에서 x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 α에 수렴한다고 한다. 이 때, α를 x→a일 때 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라 한다.

 

위와 같은 정의가 바로 고등학교 과정 내에서 극한에 대해 설명한 것이다.

 

하지만 한없이 가까워진다는 것이 대체 무엇을 말하는지 직관적으로는 이해가 가지만 논리적으로 어떻게 표현을 해야 할 것인지 난감하다.

 

그래서 등장한 것이 바로 입실론-델타 논법이다.

 

입실론-델타 논법은 독일의 수학자인 K. 바이어슈트라스가 창조해 낸 극한의 정의법으로

 

핵심적인 요소 두 가지가 있는데, 제목에서 알 수 있는 것과 같이 ε과 δ가 아주 큰 역할을 해내고 있다.

 

백문이 불여일견이라고 하였다.

 

입실론 델타가 무엇인가에 대해 설명만 구구절절 늘어놓지 말고, 직접 입실론-델타 논법을 사용한 극한의 정의를 살펴보자.

 

f:X→Y,  X, Y⊂R인 함수와 a, α∈R이 주어져 있다고 가정하자.

그럼 임의로 주어진 ε>0에 대하여 x∈X이고 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ>0가 존재하면, α를 x→a일 때 f(x)의 극한이라고 한다.

 

자, 뭔가 다르지 않은가? 앞부분은 엄밀하게 살펴보기 위하여 이것저것이 존재한다고 가정하는 부분이므로 넘어가고,

 

임의로 주어진 ε>0에 대하여 x∈X이고 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ>0가 존재하면

 

이 구절이 입실론-델타 논법의 핵심이다.

 

내가 어떤 ε을 잡는다고 하더라도, 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ가 존재 한다는 것을 보이기만 한다면,

 

이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다는 말이다.

 

아직 감이 오지 않는 분들이 많을 것이다.

 

식을 찬찬히 풀어보자.

 

0< |x-a|<δ라는 부분을 살펴보면

 

이는 x가 (a-δ, a+δ)라는 개구간 안에 있다는 것을 의미한다.

 

그리고 |f(x)-α|<ε 이 부분은

 

f(x)가 (α-ε, α+ε)라는 개구간 안에 있다는 것을 의미한다.

 

이제 이 두 식의 의미를 종합하여 생각해본다면,

 

x가 (a-δ, a+δ)라는 개구간 안에 있다고 가정하면 f(x)는 언제나 (α-ε, α+ε)안에 있어야 함을 의미한다.

 

f(x)가 언제나 (α-ε, α+ε)안에 있다는 말은 내가 ε을 아무리 작게 만든다고 하더라도

 

임의로 δ값을 조정하여 x값의 범위를 조정해 주어서 f(x)를 (α-ε, α+ε)안에 집어넣어줄 수 있어야 한다는 것을 말한다.

 

그림으로 대강 설명을 해 보도록 하겠다.

 

 

 

 

 

다음 그림과 같이 ε과 δ이 잡혔고, x가 다음과 같은 위치에 존재 할 때 위 명제는 성립한다.

 

하지만 ε을 다음 그림과 같이 작게 좁혀보자.

 

 

이렇게 되면 f(x)값이 (α-ε, α+ε)안에 속해있지 않으므로, 명제가 성립하지 않는데,

 

이경우 δ의 값을 줄여서 명제를 성립하게 만들 수 있다면 그 점에서의 극한을 구할 수 있다는 것이다!

 

하지만 ε이 매번 변할 때마다 일일히 그에 합당한 δ값을 지정해 주기에는 너무 번거롭고, 끝이 없을 것이다.

 

따라서 우리는 δ를 ε에 관한 식으로 나타냄으로써 자동적으로 조정될 수 있도록 할 수 있다.

 

따라서 입실론-델타 논법을 이용한 극한의 증명 방법은 보통 다음과 같은 절차를 가진다.

 

- 먼저 입실론-델타 논법에 의거한 명제를 지정한다.

 

- 가정과 결론 부분의 식을 이용하여 δ값을 ε에 대해 나타내어 본다.(증명 전의 δ에 대한 예측)

 

- 만일 이 δ가 타당하다면, 가정 부분부터 시작하여 논리적으로 식을 조작하여 결론 부분에 이르도록 만들 수 있다.

 

- 따라서 논리적으로 전개해 나간다.(본 증명)

 

입실론-델타 논법을 이용한 여러 극한의 성질에 대한 증명은 다음 포스트에서 보여줄 것이다.

 

이거, 상당히 유용한 도구라고 생각하지 않은가?

 

엄청 파워풀하다고 생각하기도 한다.

 

그럼 다음 포스팅에서...

 

To be continued...

 

(※ 일부 책에서는 입실론-델타 논법을 이용하여 극한을 정의할 때 절대값을 사용하지 않고 노음(Norm)을 사용하기도 하지만, 신경 쓰실 필요는 없다고 봅니다.)

 

 


http://sos440.tistory.com/17

 

어느 호기심많은 소년을 위하여 적어본, 입실론-델타 논법에 대한 간단한 설명

 

인터넷을 뒤지다 보면 종종 입실론-델타 논법(이하 ε-δ)을 물어보는 사람들이 있다. ε-δ이란 걸 전혀 들어보지 못한 상태에서 물어보는 경우도 있지만, 어떤 때에는 이미 ε-δ를 한 번쯤은 접해봤는데도 불구하고 그 말의 의미를 이해하지 못하여 질문하는 경우도 있는 것 같다. 지금의 나로써는 ε-δ가 굉장히 당연하게 와닿지만, 나도 사실 처음에 ε-δ의 정의를 봤을 땐 이해가 잘 안됬던 것 같다. 물론 평범한 고등학생이 굉장히 수학적이고 형식적인 것처럼 보이는 문장을 처음부터 쉽게 읽으면 그것도 나름대로 신기하긴 하겠지만…. 어쨋든, 이 글은 ε-δ를 좀 더 마음속으로 이해할 수 있도록 설명하는 방법을 찾기 위한 내 몸부림이다.

우선 정의부터 살펴보자. ε-δ를 이용한 극한의 정의는 다음과 같다.

[정의] a의 근방에서 정의된 실함수 f에 대해, 임의의 ε>0 에 대하여 δ>0 가 존재하여, 0<|x-a|<δ 이면 항상 |f(x)-L|<ε 일 때, f(x)가 a 에서 L로 수렴한다고 하고 lim_{x→a} f(x) = L 로 적는다.

젠체하고 싶을 땐 다음과 같이 영어로 적을 수도 있다. (사실 such that이라는 긴요한 문법 구조에 대응하는 표현이 국어에는 없기 때문에, 때때로 수학은 영어로 접하는 게 더 이해가 쉬울 수도 있다.)

Let f be a real valued function defined on a neighborhood of a. If for any ε>0, there is δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ, we say f(x) converges to L at a and denote it by lim_{x→a} f(x) = L.

만약 당신이 이 정의를 처음 보는데도 불구하고 '아, 당연하잖아' 라고 말한다면, 지금 당장 해석개론을 공부해도 전혀 무리가 없다. 이 말은, 대부분의 경우 위 정의를 마음으로 받아들이기까지 좀 시간이 걸린다는 뜻이다. 그리고 이 글의 목표가 바로 위 정의를 직관으로 이해하는 것이다. 개인적으로는 이 글을 읽고 좀 생각하면 누구라도 유레카를 외치지 않을까 하는 기대를 품고 있다. 구체적으로, 이 글에서는 위 정의의 한 부분 한 부분을 풀어나가도록 하겠다.

우선 'a의 근방에서 정의된 실함수 f'라는 말부터 이해해보자. 극한의 본질을 가장 잘 설명하는 단어는 무엇일까? 여러가지 가능한 대답이 있겠지만, 나보고 꼽으라고 하면 역시 국소적 성질(local property)이라는 말을 하겠다. 수학에서는 크게 기하학적인 대상을 보는 두 가지 관점이 있다. 우선 보고자 하는 대상의 전체를 아우르는 성질, 즉 대역적 성질(global property)에 관심을 갖고 연구하는 관점이 있고, 반대로 대상의 부분부분이 가지는 성질, 즉 국소적 성질에 주목하는 관점도 있다. 극한은 이 중에서 후자를 대표한다. 극한을 입으로 설명할 때 보통 'x가 a에 한없이 가까우면 어쩌구 저쩌구'라고 말하는 것에서도 알 수 있듯이, 함수 전체에 집중하는 대신 함수 위의 한 점에 주목하여 그 점에서 매우 가까운 부분만 살펴본다는 것이 바로 극한에 담긴 가장 기본적인 아이디어이다. 그러므로 극한을 생각한다는 것은 기본적으로 우리가 관심을 갖고자 하는 지점의 근처만 보겠다고 선언하는 것과 같고, 함수 f의 정의역에서 우리가 보고자 하는 지점인 a의 근처를 제외한 나머지 부분은 그냥 쳐내버려도 상관 없다는 내용이 정의 첫 부분에 숨어있는 것이다.

이제 ε-δ 정의의 나머지 부분에 대해 이해해보자. (함수의) 극한이 'x가 a에 한없이 가까우면 f(x)의 값도 L에 한없이 가깝다' 라는 직관적인 아이디어를 수학적인 언어로 번역한 것에 불과함을 보이기 위해, 이 문장에서 ε-δ 정의를 논리적인 추론으로 이끌어보도록 하겠다. 일단 문장

'x가 a에 한없이 가까우면 f(x)의 값도 L에 한없이 가깝다'(E-D1)
를 계속 반복해서 쓰는 건 공간과 시간 낭비이므로, 이 문장을 간단히 문장 E-D1이라고 부르자. (위 문장 옆의 (E-D1)라는 기호가 바로 이렇게 부르자는 약속을 나타낸다.)

E-D1은 굉장히 직관적으로 와닿는 문장이긴 하지만, 또한 너무 모호하기도 하다. 대체 L에 한없이 가깝다는게 얼마나 가깝다는 걸 의미하는가? 가깝다 멀다는 상대적인 개념이다. 기준이 있어야만 그 기준보다 가깝다 멀다를 이야기할 수 있는 것이다. 그러므로 가깝고 먼 것의 기준으로 ε이라는 양수를 하나 택하자. 즉, f(x)과 L 사이의 거리가 ε보다 작으면 f(x)와 L이 가까운 것이고, 그렇지 않으면 둘은 먼 것이다. 그리고 '한없이' 라는 말은 '기준 ε을 얼마나 작게 잡든지 상관없이'로 해석할 수 있다. 즉, 문장 E-D1은
'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, x가 a에 한없이 가까우면 f(x)는 L에 가깝다' 
또는
'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, x가 a에 한없이 가까우면 |f(x) - L|<ε 이다'(E-D2)
와 같이 적을수 있다.

x가 a에 한없이 가깝다는 것 역시 비슷한 방식으로 풀어낼수 있다. 이때 x가 변함에 따라 f(x)가 L에 가까워지고 멀어지는 것은 보통 f(x)의 성질과 기준 ε의 선택에 의존함에 주의하자. 그러므로 x가 a에가 가깝다는 것에 대한 기준을 δ라고 두면, δ가 아무 수나 될 수는 없음을 알 수 있다. 그러나 어쨋든간에 문장 E-D2는 x가 a에 충분히 가까울 때 f(x)도 L에 가까워지기를 요구하고 있으므로, 그러한 기준 δ를 적당히 잡을 수 있다면 문제는 해결된다. 그러므로 문장 E-D2는 다음과 같이 바꿔적을 수 있다.
'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, (x와 a가 가깝다는 것에 대한) 적당한 기준 δ를 잡을 수 있어서, 
x가 a에 가까우면 |f(x) - L|<ε 이다'
또는
'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, 적당한 기준 δ>0 를 잡을 수 있어서, 
0<|x - a|<δ 이면 |f(x) - L|<ε 이다'
(E-D3)
여기서 x와 a가 같은 경우를 빼는 것에 의아해하는 사람이 있을지도 모르겠는데, 이 점은 우리가 함수의 극한을 'x가 a에 한없이 가까이 다가가지는 하지만 a 자신안 되지 않는 상황'에서 생각하는 것이 좀 더 의미있기 때문에 첨가한 조건일 뿐이다. 이리하여 문장 E-D3을 얻게 되었는데, 이 문장은 정확히 바로 ε-δ를 이용한 극한의 정의와 일치한다. 그러므로 우리는 처음의 문장 E-D1이 ε-δ와 일치함을 이해했다.


 

롤의 정리

 

 함수 f(x)가 구간 a≤x≤b에서 연속이고, a<x<b에서 미분가능, 또 f(a)=f(b)이면 f'(x)=0, a<x<b가 되는 x가 적어도 하나 존재한다고 하는 정리.

 

본문
↑ 롤의 정리 /

이 정리는, 직관적으로 말해서, 그 함수가 나타내는 곡선의 접선 중, x축과 평행한 것이 적어도 하나는 존재한다는 것을 말해주는 것이다. 특히, 롤의 정리는, f(x)가 a≤x≤b에서 연속이고 f(a)=f(b)=k라도 a<x<b에서 미분가능하지 않으면 성립하지 않는다. 이를테면, f(x)=|x-3|은 구간 1≤x≤5에서 연속이고, f(1)=f(5)=2이지만, 구간 1〈x〈5에서 미분가능하지 않은 점 x=3이 있으므로 롤의 정리가 성립하지 않는다.

평균값 정리

“함수 f(x)가 a≤x≤b에서 연속이고, a<x<b에서 미분가능()이면 

를 만족하는 ξ가 적어도 하나 존재한다.”는 정리를 말한다. 

 



반응형
반응형

다변함수극한증명과 일변함수의 형태

반응형
반응형

로그,지수 등 기본꼴인 2번의 형태를 기억하면 나머지는 유추해 나갈 수 있다.

특징적인것은 로그쪽(ln) 은 나눠주는 형태이고 지수쪽은 곱해주는 형태이다

 

 

[' 는 미분]

5. (x^x)' = x^x (1+lnx)

 

주의!!!

 

(x^f(x)) 의 경우는 5번대로 쓰지 못하고 식을 5번 과정의 유도처럼

계산해내야한다

계산 방법은 양변에 ln 을 취해 ln의 계수 위치로 때어낸 후 미분해 나가면 된다

 

위 4가지(초8가지) 공식처럼 f(x) 적으로 유도되지 않는 이유는 .. x^x 일경우 변수가 같음으로써 생기는 약분이

생기는 경우와 x^f(x) 일때의 약분이 안되는 상황이 벌어지기 때문..

결론은 유도해보면 알 수 있다.  


반응형
반응형

(1) 역수관계
① secθ=② cscθ=③ cotθ=
(2) 나눗셈 관계
① tanθ=② cotθ=
(3) 제곱관계

① sin2θ+cos2θ=1② 1+tan2θ=sec2θ③ 1+cot2θ=csc2θ

http://www.mathteacher.pe.kr/

 


삼각함수 미분

 

!! 앞에 c 로 시작하는 것을 미분하면 - 로 나온다

 

(sin(x))'=cos(x)

(cos(x))'=-sin(x)

(tan(x))'=ses^2(x)

 

cos^2(x) + sin^2(x) =1

 


 

 

역삼각함수(inverse trigonometric function)이란 삼각함수의 역함수를 말한다. 삼각함수는 단사함수가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 정의역을 제한하는 것이 필요하다. 아래는 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역들을 나타낸 표이다. 

 

 

 


 

역 삼각함수의 도함수

자세한 증명은 아래에..

 

 

arccos'(x) = -1/sqrt(1-x^2)

 

 

arcsin 정의역 (-1,1)   ==> -1,1은 포함되지 않는다

arcsin 정의역 [-1,1] 

arctan 정의역 -∞ , ∞

 

 

 

 

 

 

1) y=arcsin(1-x)

 

 

 

 

2) y=arccos(root[x])

 

 

3) y=arctan(x^2)

 

 

 

 

 


http://blog.naver.com/mindo1103/90095392364

 

 


역삼각함수 도함수 인강

http://blog.naver.com/proyjh426?Redirect=Log&logNo=120119010835

반응형
반응형

dx, dy 에 대하여 말하다

반응형
반응형

 

순열(permutation) 에 r! 을 나눈것

 

 


 

 

http://cafe.naver.com/hwaryong12/1178

 

 

 

 

 


 

 

 nCn-r = nCr (n>=r)

 

 

ex)

 

n 명중에서  r명을 뽑는데 k 명을 반드시 한 경우의 수는?

 

집합 A= { 1,2,3,4,5 }  가 있을때 1,2 를 포함한 부분집합 개수는? 이라는 관점에서 보면

 

3,4,5 에 대한 부분집합개수 연산에 1,2 는 항상 포함되어 있는 것이니 1,2 를 제외 시켜놓고 3,4,5 에 대한 생각만 하면 된다

 

즉 n명중에서 반드시 k 명을 포함한 r 명이니 k명은 어느 r 그룹에나 다 포함된 것임으로 k 명에 대한 것을 빼주머 계산하면 된다

 

먼저 전체 n명에서 k 명만큼 제외하고

 

선택할 r 명에서는 항상 k 명만큼이 r 명에 들어간 수치이니 r 명에서 k 명을 뺀 나머지 수치에 대한 조합 연산을 하면 된다

 

 

n-k C r-k

 

정리하자면 k 명이 항상 포함되어 있어야 하니 전체 n 명과 선택할 r 명 에서 각각 k 명을 뺀다

 

왜냐하면 항상 포함되는 k 명을 n명에서 제외 시키는 것임으로 전채 r 에서도 동일하게 k 명이 빠져야 동일한 전체 수치가 적용 된다

 

 

 


 

 

조합으로 뽑은 경우의 수의 전체 개수의 나열 개수는?

 

 

nCr * r! = nPr

 

nCr = 조합  n!/ ((n-r)! *r! )

 

nPr = 순열  n!/(n-r)!

 

 

조합으로 나타낸다는 것은 1,2,3 또는 2,1,3 을 한개로 본 경우이다

( 순열에서 순서만 다르고 같은 숫자들의 개수로 나눈 것이 조합 )

 

 

 

 


 

n 개의 겹치지 않는 접이 있을때 만들 수 있는 선분의 수는?

=nC2

 

n 개의 겹치지 않는 점이 있을때 만들 수 있는 삼각형의 수는?

 = nC3 - (3개의 점이 일직선 상에 있는 것의 수)

 

 

n다각형의 점들로 만들 수있는 선분은? 단 외곽선 제외

=nC2 - n

-n 은  다각형의 외곽 선의 개수

 

 

n 개의 직선을 가로로 긋고 m의 직선을 세로로 그었을때 생기는 평행 만들어지는 평행 사변형의 갯수는?

 

nC2 * mC2

 

평행 사변형은 가로선 두개와 세로선 두개로 만들어 짐으로 겹치지 않는 세로 , 가로 각 두개씩의 선의 경우의 서둘로

만들어 질 수 있다

 

nC2 가 가로에 대한 2개씩의 선을 뽑아오는 경우의 수라면 이때

 

mC2 에서 나온 한가지의 경우의 수만을 nC2 와 겹친다고 하면

 

nC2  *1 개 만큼 생성

 

mC2 에서 두가지의 경우의 수에 대해 고려한다면

 

nC2  * 2 개 만큼 생성

 

결론적으로

 

nC2 * mC2 개만큼 생성 된다

 

 

반응형

'수학 (Mathematics) > 확률과통계' 카테고리의 다른 글

원 순열  (0) 2023.01.06
조합 Top5 (1)  (0) 2023.01.06
조합 (Combination)  (0) 2023.01.06
순열 Top5 간단 정리  (0) 2023.01.06
순열 permutation  (0) 2012.11.02
반응형

순열 permutation

 

n개의 서로 다른 것 중에서 r개(nr)를 택하여 어떤 순서에 따라 일렬로 배열하는 것. 이를테면 서로 다른 3개의 문자 a, b, c중에서 2개씩 택하여 일렬로 늘어놓는 방법은 ab, ac, ba, bc, ca, cb의 6가지이다.

일반적으로 n개의 서로 다른 것 중에서 r개를 취해 일렬로 늘어놓는 방법을 각기 n개에서 r개 취한 순열이라 하고 이 순열의 수 (늘어놓는 방법의 개수)를 라고 표시하며 다음과 같이 계산한다.


이 공식에 의하면 위의 보기는 =3·2=6으로 계산된다.

〔중복순열〕 n개의 서로 다른 것 중에서 r개를 택하는 순열에서 중복을 허락하는 것. 예를 들어 네 개의 숫자 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허락하고, 세 숫자를 취하여 3자리 정수를 만드는 방법은 첫째 100의 자리에는 1, 2, 3, 4 중 어느 숫자라도 올 수 있으므로 네 가지, 다음의 10의 자리에는 100의 자리에 쓴 숫자도 올 수 있으므로 1, 2, 3, 4의 네 가지, 또 1의 자리도 마찬가지로 네 가지이다.

따라서 세 자리 정수의 개수는 4×4×4=64가지이다.

일반적으로 n개의 서로 다른 것 중에서 중복을 허락하여 r개를 택하는 중복 순열의 수는 라고 쓰며 다음과 같이 계산한다.



n개 중에 같은것이 몇 개 포함되어 있는 경우를 생각한다.

n개 중에 같은 것이 각각 p, q, r, …개 있다면 이들을 전부 합하여 n=p+q+r+…개를 일렬로 늘어놓는 방법의 수는


이다.

이를테면 a, a, a, b, b, c, c, d의 8개의 문자를 모두 사용하여 만들 수 있는 순열의 수는 a가 3개, b가 2개, c가 2개, d가 1개이므로 다음과 같이 계산된다.


반응형

'수학 (Mathematics) > 확률과통계' 카테고리의 다른 글

원 순열  (0) 2023.01.06
조합 Top5 (1)  (0) 2023.01.06
조합 (Combination)  (0) 2023.01.06
순열 Top5 간단 정리  (0) 2023.01.06
조합(combination)  (0) 2012.11.02
반응형


출처 : http://blog.naver.com/dalsapcho/20130975163


복사http://blog.naver.com/dalsapcho/20130975163


코사인 제 2법칙 증명

 

 

1. 들어가며  

저는 대학을 졸업한 사람으로, 수학, 특히 수학교육에 관심이 많은 사람입니다.

비록 수학을 전공하지는 않았지만

제 전공(화학공학)특성 상 수학을 일상에서 굉장히 많이 쓰고 있습니다.

지금은 대학생이 된 몇몇 학생들도 제 손을 거쳐갔습니다.

현재도 학생 한 명을 가르치고 있구요.

 

현업에서 수학을 많이 쓰는 사람으로서,

그간 제가 해오던 방식대로 수학적 사고 과정을 고스란히 담아내면

많은 학생들에게 도움이 되지 않을까하여 이렇게 글을 씁니다. 

 

이 포스팅은 수1 이전 과목 중 가장 중요하다고 손꼽히는 코사인 제 2법칙  증명 및 식의 의미 이해에 관한 글입니다.

 

 

이 글이 필요한 학생은

1. 고1 마지막 파트인 삼각함수를 소홀히 한 학생

2. 도형에 관한 감이 없는 학생

3. 수능을 준비함에 있어서 도형부분에 자신이 없는 학생 

 

입니다.

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

그럼 포스팅 시작합니다.

 

 

 

2. 코사인 제 2법칙이란?           

 

위와같은 삼각형 ABC에서,

 

 

또는,

 

 

3. 증명         

증명에 앞서, 짚어야 할 몇 가지가 있습니다.

첫째는 삼각형의 6요소이고,

둘째는 코사인 제1법칙 입니다.

이 두 내용을 알고 있는 학생이라면 바로 3) 코사인 제 2법칙의 증명으로 넘어가셔도 됩니다.

 

1) 삼각형의 6요소

삼각형이란 변 세 개와 각 세 개로 이루어 진 도형을 말합니다.

이 때, 세 개의 변과 세 개의 각을 아울러 삼각형의 6요소 라 부릅니다.

삼각형의 6요소가 중요한 이유는, 앞으로 다루게 될 모든 삼각형들의 각 요소 요소를 어떤 문자로 표현할 건 지에 관한 것이기 때문입니다.

 

삼각형의 6요소 중

세 개의 각은 대문자로,

세 개의 변은 소문자로

표현합니다.

 

이 때 중요한 규칙이 있습니다.

각 각과 마주보는 변-대변-에 같은 문자를 지정합니다.

 

예를들어,

각 A의 마주보는 변이 a가 되고,

각 B의 마주보는 변이 b가 되고,

각 C의 마주보는 변이 c가 됩니다.

 

이처럼 대변과 대각의 관계(대응하는 변과 대응하는 각의 관계)

를 가지고 삼각형의 6요소를 이해하는 게 중요합니다.

 

 

 

2) 코사인 제 1법칙

코사인 제 2법칙은 코사인 제 1법칙으로부터 유도되는 식입니다.

따라서 코사인 제 1법칙을 우선 알아야 합니다.

 

위 그림에서 꼭지점 A에서 변 a에 수선을 긋고 그 때 생기는 수선의 발을 점 D라고 하겠습니다.

 

 

이 때, 변 BD는 변 c와 각 B로 표현할 수 있습니다.

 

마찬가지로 변 CD는 변 b와 각 C로 표현할 수 있습니다.

 

 

그런데 위 그림에서 변 BD와 변 CD의 합이 변 a가 되는군요.

 

 

이처럼, 한 변을 나머지 두 변과 그들의 대각의 코사인값으로 표현하는 것을 코사인 제 1법칙 이라 합니다.

 

위의 예에서는 변 a를 나머지 변 b,c와 그들의 대각의 코사인값인 cosB와 cosC로 표현하였습니다.

나머지 변에 대해서도 똑같은 논리를 적용할 수 있습니다.

(여러분이 직접 해보시기 바랍니다.)

 

 

 

식의 패턴을 잘 파악해야 합니다.

세 식 모두 우리가 관심있어하는 특정 변이 좌변에 있고,

우변에는 그 변을 제외한 나머지 두 변과 그 변에 대응하는 대각의 코사인값이 서로 교차하며 곱해져 있습니다.

 

예를 들어, 마지막 식

에서

관심있는 변(구하고자 하는 변) : b

나머지 두 변 : a, c

나머지 두 변의 대각의 코사인값 : cosA, cosC

서로 교차해서 곱하면 : acosC, ccosA

그들의 합 : acosC+ccosA

 

나머지 두 식 역시 위 '패턴'을 따르고 있습니다.

공식을 무작정 외우지 마시고 패턴을 익혀서 기억하는 걸 권장합니다.

 

 

 

 

3) 코사인 제 2법칙

이제 본격적으로 코사인 제 2법칙을 유도하겠습니다.

이 공식 유도 과정에 녹아있는 아이디어를 잘 이해해야합니다.

수학에서 문제를 어떤 방식으로 바라보고 해결해 나가는 지가 잘 나타나기 때문입니다.

그 '방식'을 캐치하고 기억해놓는다면,

후에 또다른 문제에 그 '방식'을 적용해서 해결할 수 있을 것입니다.

 

각설하고,

코사인 제 2법칙은 코사인 제 1법칙으로부터 유도된다고 했습니다.

코사인 제 1법칙에 나온 식 세 개를 가져와 보면,

 

 

위와 같습니다.

우리가 목표로 하는 공식인 코사인 제 2법칙을 다시 한 번 상기하면,

 

식을 잘 보면, 우리가 관심있어하는 변(b)의 제곱이 좌변에 있습니다.

우변에는 그 변을 제외한 나머지 변 두 개(a, c)가 등장하고

b의 대각 B의 코사인값이 있습니다.

 

코사인 제 1법칙으로부터 어떻게 제 2법칙을 유도할 수 있을까요?

바로, 

코사인 제 1법칙에는 등장하지만 제 2법칙에는 등장하지 않는 군더더기 요소들을 '소거'하기만 하면 됩니다.

 

그러한 군더더기 요소가 cosA, cosC 임은 쉽게 파악할 수 있을 것입니다.

 

식(1)과 식(2)에서 cosC를 소거해보겠습니다.

식(1)에서 cosC의 계수는 b, 식(2)에서 cosC의 계수는 a입니다.

계수가 다르면 소거가 불가능하기 때문에 계수를 같게 맞춰주려면

식(1)에는 양 변에 a를 곱하고, 식(2)에는 양 변에 b를 곱해서

두 식의 계수를 ab로 맞춰주면 됩니다.

 

식(1)의 양 변에 a를 곱하면,

식(2)의 양 변에 b를 곱하면,

두 식을 빼면,

 

cosC가 소거됐습니다.

이제 cosA를 소거해봅시다.

마찬가지 방법으로, 식(3)과 식(4)에서 등장하는 cosA의 계수를 맞춰줍시다.

 

식(3)에서 cosA의 계수는 b,

식(4)에서 cosA의 계수는 -bc이므로,

식(3)에만 양 변에 c를 곱하면 될 것입니다.

 

식(3)의 양변에 c를 곱하면

식(4)와 식(5)를 더하면

식을 b²에 관해 정리하면,

 

 

 

 

 

이로써 코사인 제 2법칙이 유도됐습니다.

식을 cosB에 관해서 정리하면

두 식 모두 코사인 제 2법칙이라 부릅니다.

 

 

4) 코사인 제 2법칙의 의미

 

코사인 제 2법칙은 유도과정도 중요하지만 식의 의미를 이해하는 게 더 중요합니다. 원래 삼각형의 그림과 코사인 제 2법칙을 봅시다.

 

좌변은 우리가 관심있어하는(혹은 구하고자 하는) 변입니다.

우변은 그 대상을 다른 요소들로 표현한 식입니다.

그림상으로 보면,

 

b를 구하기 위해선 
a와 c, 그리고 각B (혹은 그 각의 코사인 값인 cosB)가 필요합니다.

 

위 삼각형의 6요소 (A,B,C, a,b,c)는 임의로 정해 진 것입니다.

따라서 이를 좀 더 일반화 시켜 말할 수도 있을 것입니다,

 

 

코사인 제 2법칙은

삼각형의 특정 변을, 나머지 두 변과 그 끼인각을 사용해서 구할 때 쓰는 공식입니다.

 

 

코사인 제 2법칙의 또다른 형태

역시 비슷하게 해석될 수 있습니다.

우리가 관심있는 것은 좌변에 있는 각도 B(좀 더 엄밀히 말하면, 이 각도에 cos함수가 취해진 형태) 입니다.

우변에는 삼각형의 세 변이 모두 들어 있습니다.

 

 

즉, 각도 B를 알아내기 위해선-비록 그 각도의 코사인값을 알아내는 간접적인 방법이긴 합니다만

나머지 세 변 a,b,c가 필요합니다.

(여기서 주목할 점은, 각 B의 대변  b는 나머지 두 변 a, c와는 다르게 분자에  자기 혼자만 부호가 반대인 채로 등장하고 있다는 것입니다.)

 

이를 일반화 시키면,

 

코사인 제 2법칙의 또다른 형태는

삼각형의 특정 각을, 나머지 세 변을 이용해서 구할 때 쓰는 공식입니다.

 

4. 정리         

코사인 제 2법칙은 수능과목 직전(수학10-나)에 등장하는 공식으로, 그 중요도 및 효용성이 비수능 과목 통틀어 가장 큰 공식이라 할 수 있습니다.

 

이 포스팅에서는

1. 삼각형의 6요소

2. 코사인 제 1법칙

3. 코사인 제 2법칙

을 유도했습니다.

 

공식 유도 속에 녹아있는 아이디어였던

군더더기 요소를 소거함으로써 식에서 제외 시키는 기법에 대해 언급했으며,

코사인 제 2법칙의 의미, 식이 언제 어떤 상황에서 사용될 수 있는지에 대해서 해석해보았습니다.

반응형
반응형

http://blog.naver.com/dalsapcho/20133201582


::삼각형 공식 정리::

 

1. 들어가며      

저는 대학을 졸업한 사람으로 수학, 특히 수학교육에 관심이 많은 사람입니다.

비록 수학을 전공하지는 않았지만

제 전공(화학공학)특성 상 수학을 일상에서 굉장히 많이 쓰고 있습니다.

지금은 대학생이 된 몇몇 학생들도 제 손을 거쳐갔습니다.

현재도 학생 한 명을 가르치고 있구요.

 

이 포스팅은

중3때 나오는 삼각형 공식 정리 및 그 유도에 관한 글 입니다.

 

직각삼각형의 닮음은 도형 관계에서 종종 등장하는 내용이라 꼭 이해하고 있어야 합니다.

그 외 파푸스의 중선정리, 외각과 내각의 이등분선 관련 공식도 가끔 출제되곤 합니다.

이에 관한 공식 유도 및 식의 의미를 정리해서 전달하면 많은 학생들에게 도움이 되지 않을까하여 이렇게 글을 씁니다. 

 

이 글이 필요한 학생은

1. 직각삼각형의 닮음 공식과 그 유도가 궁금한 학생.

2. 파푸스의 중선정리 공식 및 그 유도가 궁금한 학생.

3. 삼각형 내각의 이등분선의 공식 및 그 유도가 궁금한 학생.

4. 삼각형 외각의 이등분선의 공식 및 그 유도가 궁금한 학생.

5. 중학교 도형을 소홀히 한 학생.

입니다.


제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

그럼 포스팅 시작합니다.

 

2. 삼각형 관련 공식      

1) 직각삼각형 닮음 공식

 

 

위와 같은 직각 삼각형에서, 아래 네가지 관계가 성립합니다.

 

 

2) 파푸스의 중선 정리

 

위와 같이 임의의 삼각형의 중선을 그었을 때, 다음 식이 성립합니다.

 

 

 

3) 내각의 이등분선 공식

위와 같이 삼각형의 한 내각(여기선 ∠A)의 이등분선을 그었을 때, 아래 관계가 성립합니다.

 

 

4) 외각의 이등분선 공식

 

위와같은 삼각형 ABC에서 한 외각(여기선 ∠A의 외각)을 그었을 때 다음 관계가 성립합니다.

 

3. 공식 유도         

 

1) 직각삼각형의 닮음

 

-내각들의 관계 설정

먼저, 각각의 내각의 관계를 알아봅시다.

(큰 직각삼각형 ABC에서) ∠ABC를 임의로 ●라 하고 ∠ACB를 임의로 라 해봅시다.

삼각형의 내각의 합은 180˚ 이기 때문에 직각삼각형에서 나머지 두 내각의 합은 90˚입니다.

따라서, ● + x = 90˚

 

한편, 작은 직각삼각형 ACD에서 두 내각 ∠CAD와 ∠ACD의 합 역시 90˚가 돼야합니다.

그런데 ∠ACD를 아까 라 표시했으므로, ∠CAD는 필연적으로 ●가 되어야합니다.

(∵∠CAD = 90˚ - ∠ACD = 90˚ - x = ●)

 

이제 ∠BAD만 남았는데요. 공교롭게도 ∠BAD와 앞에서구한 ∠CAD와의 합이 90˚가 되는군요.(그림)

따라서 ∠BAD는 다시 x 로 표현할 수 있습니다.

(∵∠BAD = 90˚ - ∠CAD = 90˚ - ● = x )

 

이를 종합하면 아래와 같은 그림처럼 됩니다.

 

-닮은 삼각형을 찾아 닮음비 구하기

이제 닮은 삼각형들을 찾아서 닮음비를 구해봅시다.

모든 내각들이 직각(⊥), ●, x 로 표현돼있으므로 그림에서 보이는 세 삼각형들(ABC, ABD, ACD)은 모두 닮은 직각삼각형들입니다.

이 때 대응하는 변들을 찾아 그 닮음비를 표현하면 됩니다.

대응하는 변을 찾을 때에는 변에 포함된 각을 똑같이 대응시키면 됩니다.

 

i) 삼각형 ABD와 삼각형 ABC

중간 크기의 삼각형 ABD와 전체 크기의 삼각형 ABC를 봅시다.

삼각형ABD에서 선분 a에 대응하는 삼각형ABC의 선분은 e가 됩니다.

(선분 a를 잘 보면, 양 끝에 각 ●와 x 가 포함돼있습니다. 큰 삼각형 ABC에서 이에 해당하는 변을 찾으면 e가 됩니다. 선분 e의 양 끝에도 ●와 x 가 있죠. 앞으로 계속 이런 논리를 적용해서 대응하는 변을 찾을 것입니다.)

다시, 삼각형 ABD에서 선분 c에 해당하는 삼각형 ABC의 선분은 a가 됩니다.

(삼각형 ABD에서 선분 c는 각 ●와 직각(⊥)을 포함하는 변입니다. 큰 삼각형에서 이 두 각들을 포함하는 변은 선분 a가 됨을 알 수 있습니다.)

따라서, 다음 비례식

을 세울 수 있고, 이를 풀면 a² = ce, 첫번 째 공식을 얻습니다.

 

ii) 삼각형 ACD와 삼각형 ABC

 

작은 삼각형 ACD와 전체 삼각형 ABC를 봅시다.

삼각형 ACD에서 변 b에 대응하는 삼각형 ABC의 선분은 e입니다. (각 ●와 x)

삼각형 ACD에서 변 d에 대응하는 삼각형 ABC의 선분은 b입니다. (각 x와 직각⊥)

따라서 다음 비례식

을 세울수 있고, 이를 풀면 두 번째 공식을 얻습니다.

 

 

iii) 삼각형 ABD와 삼각형 ACD

이제 작은 두 삼각형 ABD와 ACD의 닮음비를 구해봅시다.

삼각형 ABD에서 변 c에 대응하는 삼각형 ACD의 선분은 h입니다. (각 ●와 직각⊥)

삼각형 ABD에서 변 h에 대응하는 삼각형 ACD의 선분은 d입니다. (각 x와 직각⊥)

따라서 다음 비례식

을 세울 수 있고, 이를 풀면 세 번째 공식을 얻습니다.

iv) 삼각형의 ABC의 넓이(소자 공식)

마지막 공식은 삼각형 ABC의 넓이를 서로 다른 방법으로 표현함으로써 얻을 수 있습니다.

삼각형 ABC에서 밑변을 b, 높이를 a로 보면 넓이는 1/2 x a x b 가 됩니다.

삼각형 ABC에서 밑변을 e, 높이를 h로 보면 넓이는 1/2 x e x h 가 됩니다.

 

이 공식은 모양상 소자 공식으로도 알려져있죠.

 

2) 파푸스의 중선 정리

파푸스의 중선정리는 코사인 제 2법칙으로 유도할 수 있습니다.

코사인 제 2법칙의 공식 및 유도가 궁금한 분은 아래 링크를 참고하세요.

(코사인 제2법칙 공식)

아래 그림에서 작은 삼각형 ABD에 주목해봅시다.

 

삼각형 ABD에서 코사인 B는 세 변 a, c, d로 표현할 수 있습니다.

한편, cosB는 큰 삼각형 ABC의 변을 통해서도 구할 수 있습니다.

전체 삼각형 ABC의 각 변 a, 2c, b를 통해 cosB를 표현하면 다음과 같습니다.

 

 



 

 

이 식을 위에서 구한 식과 연결하면 파푸스가 이끌어낸 중선정리의 결과를 얻을 수 있습니다.

 

2) 내각의 이등분선

아래 그림과 같이 삼각형 ABC에서 내각의 이등분선 AD와 평행한 직선을 긋고,

그 직선이 선분 AB의 연장선과 만나는 점을 E라 합시다.

(원래 삼각형은 검은색 실선, 보조선은 파란색 실선으로 표현했습니다.)

∠DAC와 ∠ACE는 엇각으로 같습니다.

∠BAD와 ∠AEC는 동위각으로 같습니다.

따라서, 삼각형 ACE는 두 밑각이 서로 같은 이등변 삼각형이며, 선분 AC와 선분 AE의 길이가 b로 서로 같습니다. (아래 그림)

 




위 그림에서 삼각형 BAD와 삼각형 BEC는 모든 내각이 같은, 서로 닮은 삼각형입니다.

또한 평행선의 관계에 의해서 다음 비례식이 성립합니다.

유도는 보조선을 그어서 했으나, 보조선이 없는 원래 그림, 즉 삼각형 ABC(검은 실선)와 한 내각의 이등분선이 주어진 그림에서 위 비례식을 생각해 낼 수 있어야 합니다.

 

4) 외각의 이등분선

아래 그림과같이 삼각형 ABC에서 한 점 C로부터 ∠A의 외각의 이등분선과 평행한 직선을 긋고,

그 직선이 선분 AB와 만나는 점을 E라 둡시다.

(내각의 이등분선 공식을 유도할 때랑 똑같은 아이디어입니다. 위에서도 내각의 이등분선과 평행한 평행선을 그어서 생각했습니다.)

 

위 그림에서 파란색 선분 EC는 보조선입니다.

두 평행선으로부터 동위각 및 엇각의 관계를 얻어낼 수 있습니다.

∠DAC=∠ACE (엇각)

∠DAF=∠CEA (동위각)

따라서 삼각형 ACE는 두 밑각이 서로 같은 이등변삼각형이고, 따라서 선분 AE와 AC는 길이가 b로 서로 같습니다. (아래 그림)

 

 

위 그림에서 삼각형 BCE와 삼각형 BDA는 세 내각이 모두 같은 닮은 삼각형입니다.

또한, 평행선의 관계에 의해서 아래와 같이 각 선분들끼리 일정한 닮음비가 성립합니다.

 

공식유도는 보조선을 그어서 했으나,

보조선이 없는 원래 상황에서도 위 비례식을 쓸 수 있어야 합니다.

유도 완료//

 

4. 정리     

이번 포스팅에서는

삼각형의 몇 가지 공식에 대해 다뤄봤습니다.

 

-직각삼각형의 닮음 공식

-파푸스의 중선정리

-삼각형의 한 내각의 이등분선

-삼각형의 한 외각의 이등분선

 

이 내용은 모두 중학교 때 나오는 공식으로, 유도과정이 그리 복잡하지 않기 때문에 한 번 쯤은 직접 유도해볼만한 것들입니다.

설령 정확한 공식이 기억이 나지 않는다 하더라도, 곧바로 공식을 유도해서 써먹을 수 있을 것입니다. 따라서 반드시 직접 위 공식들을 유도해보시기 바랍니다.

(직접 해 본 학생과 그러지 않고 대충 눈대중으로만 익힌 학생의 격차는 상당히 큽니다.)

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 합니다.

반응형

'수학 (Mathematics) > 고,중학 수학 및 개념' 카테고리의 다른 글

행과 열 구분  (0) 2013.05.11
코사인 제 2법칙 (제 1, 2 코사인 법칙) 증명  (1) 2012.11.02
선형, 비선형  (0) 2012.11.02
테일러 급수 전개 [제대로 정리편]  (0) 2012.11.02
복소수  (0) 2012.11.02
반응형

http://ko.wikipedia.org/wiki

 

 

선형성(線型性, linearity) 또는 선형(線型, linear, 라틴어: linearis)은, 직선처럼 똑바른 도형, 또는 그와 비슷한 성질을 갖는 대상이라는 뜻으로, 이러한 성질을 갖고 있는 변환 등에 대하여 쓰는 용어이다. 함수의 경우, 어떠한 함수가 진행하는 모양이 '직선'이라는 의미로 사용된다. 이러한 개념은 수학물리학 등에서 많이 사용된다. 다른 말로 1차(一次)라고도 한다. (단어 '1차' 자체는, '선형'을 의미하지 않는 경우도 많다.)

[편집]선형 사상

수학에서 선형성에 대한 정의는 다음과 같다.

함수 f에 대해,

  • 임의의 수 xy에 대해 f(x+y) = f(x) + f(y)가 항상 성립하고
  • 임의의 수 x와 \alpha에 대해 f(\alpha x) = \alpha f(x)가 항상 성립할 때

함수 f는 선형이라고 한다.

(여기서 x는 실수나 복소수, 또는 벡터 등 일반적으로 상의 아벨 군의 원소이다. (α는 스칼라 곱을 의미))

예를 들면, 일차함수의 경우, 원점을 지날 경우에 선형성을 갖는다.

선형대수학은 이러한 선형의 변환과 이로써 확보되는 공간의 성질에 대하여 연구를 하는 학문이다. 벡터 및 벡터 공간행렬을 이용하여 표시되는 선형사상 또는 선형방정식 계열에서 취급된다.

또한 함수를 함수로 투영하는 사상인 작용소(operator)의 선형성은 함수해석학에서 취급되고 있다. 함수의 미분을 작용소로 생각하여 얻어낼 수 있는 미분작용소(예:  나 라플라스 방정식)의 개념은, 선형 작용소의 중요한 예가 된다.

[편집]미분방정식에서의 선형성

미분방정식이 선형일 경우에는, 선형대수학의 수준으로 해를 찾아내는 것이 가능하다. 그러나, 카오스와 같이 선형이 아닌 (비선형인) 경우에는, 해를 구하는 것이 매우 어렵게 되어 버린다. 그러나 한편 팽르베 방정식과 같이, 어느 종의 대칭성을 가지고 있으며, 기하학적으로 다양한 성질을 내포하는 경우가 존재하는 등의 이유로, 수학자나 물리학자들의 관심의 대상이 되고 있는 것들 또한 비선형 미분방정식이기도 하다.

 

 


 

 

계, 변환 등이 비선형이라는 것은 그 구성요소의 합이나 곱 등 선형 결합으로 설명할 수 없다는 것을 뜻한다.

[편집]비선형 방정식의 예

비선형 방정식 중에는 다음과 같은 친숙한 것들도 있다.

\displaystyle x^2 - 1 =0

또, 많은 다항식은 비선형 방정식이다. 그러나 연립 비선형 방정식은 훨씬 복잡하다. 게다가 다음과 같은 1차 상미분방정식

\displaystyle d_x u  = u^2

은 그 해를 구하는 방법이 널리 알려져 있다. (변수 분리) 그러나

d_x^2 u + g(u)=0 , 여기서 \displaystyle g 은 비선형 함수

와 같은 고차 비선형 방정식을 푸는 것은 일반적으로 매우 어렵다. 비선형 편미분 방정식의 해는 더욱 구하기가 어렵다. 물론 해의 존재, 해의 안정성, 동역학에 대한 정리가 증명되어 있기도 하다.

단진자의 움직임을 기술하는 다음 비선형 미분 방정식을 보자.

{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \quad\quad\quad

일반적으로 이 방정식은 \displaystyle \theta가 매우 작다는 가정을 하여 \displaystyle \sin\theta \approx \theta로 놓아 아래 선형 방정식으로 바꾸어 해를 구한다.

{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \theta=0 \quad\quad\quad

그러나 \theta가 큰 범위를 진동한다면 진자의 비선형성은 진자의 움직임에 훨씬 크게 기여한다. 이 비선형 방정식에 의한 진자의 움직임은위상 평면타원적분 등의 방법을 이용하여 분석한다.

 

 

 

 

반응형
반응형

테일러 씨리이즈...


우선 정의부터 짚고 넘어갑시다




테일러 급수란?



풀어 말하자면 '근사다항식'으로


n+1번의 미분을 거치면 0이 되는 n차 다항식과 달리


무한히 미분되는 초월함수의 경우,(ex/ a^x, cosx, sinx, logx 등 )


특정한 x값 이외에는 함숫값을 찾기 어렵다.


이럴 때 미분을 이용하여 찾아낼 수 있는


원래의 함수와 매우 근사한 다항함수를 테일러 급수라고 한다.



테일러 급수의 형태




테일러 급수를 정할때는


1. 중심의 x좌표와


2. 최고차수


이 둘을 정해야 한다.


x좌표를 a, 최고차수를 k라 하자.




a좌표의 함숫값은 보통 알려진 수로 정하므로,




라고 하자.


미지수항을 x-a로 대체함으로 f(a)의 값은 상수 t_0이라는 것을 알 수 있다.


이 식을 한 차례 미분하자.





이 경우, f'(a)의 값은 일차항의 계수 t_1이다.


이계도함수의 경우,





f"(a)= 2!t_2


즉 여기서 우리는,



 (단,f^n(x)는 f(x)의 n계도함수)


임을 알 수 있다.



이를 이용해 f(x)를 나타내면,








- 중심좌표 a와 최고차수 k의 영향


테일러급수의 그래프의 전체적인 모양에 관여합니다.


a의 함숫값은 정확히 알고 있는게 보통이고,


그래프의 모양은 a에 가까울수록 원래의 그래프와 일치하고


a에서 멀어질수록 오차가 생긴다.


k가 높을수록 그래프의 모양이 원래의 그래프와 일치한다.


k가 무한대이면 원래의 그래프와 정확히 일치하게 된다.


개중 a=0, 즉 중심좌표가 0인 테일러 급수


메클로린 급수라 한다.






테일러 급수의 활용




자연지수함수 e^x


아무리 미분해도 변하지 않는 싱기한 함수



중심의 좌표를 0으로 잡고 테일러 급수를 만들어 보자.








e의 개형이 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+.... 


인걸 감안하면


상당히 닮은꼴이 나온다는 것을 알 수 있다.


k를 무한히 전개하면 원래 다항식과 같아지지만 현실적으로는 불가능하다.



-e의 전개에 대해서는 이전 포스팅 http://blog.naver.com/oscarsim_95/60121054283 을 참고



n 이 증가하면서 점점 원래의 함수에 근접해 지는 형태임을 알 수 있다



<네이버캐스트 - 테일러 급수>


위 f(x)=e^x의 테일러급수를 나타낸 플래시를 보면, 최고차항 (여기서는 n으로 나타내었다)이 커질수록


원래 그래프와의 오차가 확연히 줄어들게 된다.




사인,코사인 등의 삼각함수도 같은 방법으로 구할 수 있다.





미분된 함숫값이 주기를 이루며 일치한다.


위 식에서는 최고차항를 무한으로 잡고 풀었다.



http://postfiles6.naver.net/20111006_37/oscarsim_95_1317838250463quWb3_JPEG/4-3.jpg?type=w1


<사인함수의 11차 테일러 급수>



코사인함수 역시 크게 다르지 않다.






이 식 역시 최고차항이 무한이다.


- 삼각함수의 다항함수화는 이전 포스팅을 참고 http://blog.naver.com/oscarsim_95/60131467989




http://postfiles15.naver.net/20111006_142/oscarsim_95_1317838651327aHc8E_JPEG/4-4.jpg?type=w1

<코사인함수의 10차 테일러 급수>




대표적인 초월함수를 다 한 김에 로그함수도 마저 해보자.




계산의 편의성을 위해 자연로그로 하자.


왜 x가 아닌 1+x를 넣었냐 하면,


지금까지 했던 계산과 일치시키려고 메클로린 급수의 형태로 하려면 x=0의 값이 정해져야 한다.


log0의 값 같은건 없으니 x+1을 대신 넣어주자.





하지만 분모가 0일수 없으므로


n의 초항을 1로 잡자.














--


로그함수 수정



----


사인코사인 수정




http://cafe.naver.com/mathematicians/75 강의

http://blog.naver.com/pjhoon0?Redirect=Log&logNo=20036368968

tp://blog.naver.com/oscarsim_95?Redirect=Log&logNo=6014291017


반응형
반응형

저번에서 얘기 했듯이 이번에는 복소평면에서의 복소수의 성질에 대해 알아보자

 


 
 

 

위에 나오는 평면을 복소평면이라 하는데, 복소평면이란 가로축을 실수축, 세로축을 허수축으로하는 평면을 말한다.

 

 

처음에는 항상 그랫다 싶이 사람들은 허수를 믿지 않았다.  왜냐면 볼 수 없었기 때문이다. 실제로 사람들이 음수를 인정하지 않던 이유도 '-3개의 사과','-5ㅡm의 막대'를 볼 수 없었기 때문이었다. 그래서 덴마크의 측량기사 카스파르 베셀(1745~1818)은

이렇게 생각했다.

"허수는 수직선의 어디에도 없다. 그렇다면 수직선의 밖, 즉 원점에서 위의 방향으로 뻗은 화살표를 허수로 생각하면 되지않을까?"

이 방법을 이용하면 드디어 허수가 "눈에 보이게" 된다.

 

이러한 아이디어는 비슷한 시기에 프랑스의 회계사 장 로베르 아르강(1768~1822)와 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스 (1777~1855)에 의해서도 발표되었다. 그래서 복소평면을 가우스 평면이라고도 한다.

 

설명은 이정도로하고 복소수의 기하학적의미에 대해 파악해보도록 하자.

 

일단 복소수의 사칙연산이다.

 


 위의 그림은 복소수의 덧셈을 표기한 것이다. 고2학생들중 기학벡터를 배운 학생 또는 그 이상의 교육을 받은 사람이면 어디서 많이 본듯한 그림일 것 같다. 복소수의 덧셈은 마치 벡터의 합을 구하는 것과 매우 흡사하다.

 

합을 눈으로 봤으니 이제는 곱을 눈으로 봐보자.

곱을 보기 전에 일단 허수단위 i의 순환을 눈으로 보고 곱으로 들어가도록 하자.

  • i4n − 3 = i
  • i4n − 2 = − 1
  • i4n − 1 = − i
  • i4n = 1 (이상, n은 정수)

위의 순환 성질과 밑의 그림의 관련성이 보이는가?

허수에 대해 잘 배운 사람이면 보일지도 모르겠다. 허수의 곱셈은 회전의 의미 가 있다.

위의 경우에는 i를 곱함으로써 점이 90도 회전하는 걸 볼 수 있다.

 

이를 다른 일반적인 복소수에 대해서도 일반화를 시키자면

위에서 보면 복소수 a+bi 와 c+di 를 곱하고 있다. 이것을 잘 한 번 살펴보자

 

위에서 과 는 각각의 복소수의 절댓값으로서 원점과의 거리를 의미하고 과 는 실수축의 양의방향과 이루는 각도이다.

 

이제 (a+bi)(c+di) 를 해보자

 


 

 

위 두식을 비교해 보면 알 수 있듯이 두 복소수의 곱의 절댓값은 두 절댓값의 곱과 같다는 것을 알 수 있다.

이번에는  각의 관점에서 복소수의  곱을 봐보자


 
 두 복소수를 위와 같이 놓고 곱을 해보자

 


 
 위 식으로 알 수 있듯이 두 복소수의 곱이 이루는 각  복소수의 각을 더한 것과 같아진다.

(만약 위식이 이해가 가지 않으면 삼각함수의 덧셈정리라고 검색을 한번 해보시길)

 

이런식으로 복소수의 곱을 해보면 쉽게 회전 확대의 원리를 이해 할 수 있을 것이다.

 

오늘은 여기 까지만 하고 다음번 복소수에서는 이런 복소수가 도데체 어디에 쓰이는 지 한번 알아보도록 하자.

[출처] 복소수, 허수에 대해 2|작성자 jini

반응형
반응형

0. 루트안에 음수인 상태인 변수는 i 로 만들지 못한다

 

a<0

 1) √( -a ) !=  √( a )i       안됨   a 는 음수 이므로 루트안이 음수 라서 성립 안됨 밖으로 i 로써 나갈 수 없음

 2) √( -(-3) ) !=  √ ( -3 )i  안됨   루트안이 -3 음수이므로

 

  3) √( -(3) ) !=  √ ( 3 )i  성립  3 이 양수 이므로 i 로써 나갈 수 있음

  4) √( -(-a) ) !=  √( (-a) ) i  성립 루트안의 -a 는 양수 이므로 성립

 

정리

  √( -a ) = √( a )i 라고 표기할때는 반드시 a > 0 이어야 함

 

   이를 기반으로 루트와 실수에서의 지수 법칙이 서로 정립이 됨

 

 

 

1. 복소수가 허수를 포함한다

 

 

2. 분수중 분모에 0 이 들어가면 정의를 하지 않는 이유는 복소수 때문

 

a,b 가 실수일때 

 

a + bi = 0

 

if b!=0 

 

-a/b = i   가 성립되어 허수 i 가 실수라는 모순이 일어남

 

그래서 b 는 0 을 포함한 실수로둔다면 논리가 성립될 조건이 갖춰짐

 

 

 

3. 허수끼리의 대소관계를 정의하지 않음

    허수가 들어가는 모든 확장된 대소관계는 정의되지 않는다

    

4. 단 a,b 가 실수일때 a,b 가 같으면 두 복소수는 같다라고 정의

   즉 a=1-i 와 같은  라는 복소수가 되면 안됨 왜냐하면 이렇게 되면 무수히 많은 해가 존재 하게 됨

   a,b 가 실수 일때는 두 복소수가 같을 조건의 a,b 는 오직 하나만 존재하게 됨

 

5. 복소수 * 켤레복소수 는 실수의 조합을 만들어냄

   복소수 * 켤레복소수는 복소수 i 가 사라지는 결과를 나타냄

 

반응형
반응형

특수치환  

삼각치환, 지수식치환, 루트치환

 

http://cafe.naver.com/himath119.cafe?iframe_url=/ArticleRead.nhn%3Farticleid=585&

 

 


 

http://blog.shonan.wo.tc/60126143310

반응형

+ Recent posts