수학 (Mathematics)/미적분학

미적분학 삼각함수 적분법 공식 2012.11.03
적분법 2012.11.03
적분법 2012.11.03
부분적분법 공식 2012.11.03
유리수 적분중 부분분수 2012.11.03
적분의 시작 d( ) 2012.11.03
다변함수 미분, 전미분, 전도함수 편도함수 증명정리 2012.11.03 1
엡실론-델타 논법 (ε - δ)과 Δy = f(x+Δx) - f(x) = ( f'(x) + ε )Δx 의 관계와 dy 2012.11.03
어떤 다변함수극한 증명과 일변함수의 형태 2012.11.03
지수함수 로그함수의 도함수 2012.11.03
역 삼각함수 도함수와 그의 부정적분 & 인강 2012.11.03
미분의 d 의 실체 d /dx & dY = Y'dx 2012.11.03

미적분학 삼각함수 적분법 공식

2012. 11. 3. 10:00

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곱을 합차로...

아래 공식은 삼각함수의 합공식에서부터 유도되어 진다

sin(a)cos(b)=1/2[sin(a+b) + sin(a-b)]

cos(a)sin(b)=1/2[sin(a+b) - sin(a-b)]

다를때는 sin

cos(a)cos(b)=1/2[cos(a+b) + cos(a-b)]

sin(a)sin(b) =1/2[cos(a+b) - cos(a-b)]

같을때는 cos

차수를 낮추는 삼각함수

sin^2(x)=(1-cos(2x))/2

cos^2(x)=(1+cos(2x))/2

sin(x)cos(x) = (sin(2x))/2

이때 주의해서 봐야 할 것은 원래의 각도에서 2배 만큼 올려준다는 것!!

ex) sin 과 cos 가 엮였을때의 적분법!!!!!

두개의 삼각함수중 하나가 홀수 승이고 하나가 짝수 승일때는 또는 둘다 홀 수 승일때

(홀수승일때 3 이상 일때 ), 그 이하일때는 바로 d 에 넣어버리면 된다

홀수승의 차수를 하나 낮추어서 분리한 후

분리한 것을 d 속에 적분하여 넣고

d(적분해 넣은것) 을 기준으로 적분을 하는데

적분하게될 변수에 맞춰 짝수였던 삼각 함수를 적변 변수에 맞게

1-cos^2 형태 또는 1-sin^2 형태로 변형하여 적분을 한다

삼각 함수가 짝수. 짝수 승일때의 적분은

차수를 낮추는 삼각함수를 이용하여 적분 할 수 있을때까지 차수를 낮추는 삼각 함수를 계속 대입한다

삼각함수와 대수 함수가 결합된 형태라면 부분적분을 이용하는데

그때 대수 함수를 미분형태가 되는 전개로 봐야 계산전개가 편하다

대수함수를 계속 미분하다보면 대부분 0 으로 떨어지는 항이 나타난다

-승 인상황은 주의.

이하부터는 첨부내용

삼각함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

삼각 함수

삼각함수(三角函數,Trigonometric functions)는 수학에서 사용되는 각에 대한 함수이다. 삼각함수는 삼각형이나 주기적 현상의 가정에 주로 사용된다. 삼각함수는 일반적으로 해당 각이 존재하는 직각삼각형의 두 변의 비로 정의되며, 단위원에서의 가변적인 호의 길이의 비로 정의되기도 한다. 이들은 무한급수나 특정 미분방정식의 해로도 표현되어, 그 영역이 임의의 양의 값과 음의값, 또는 복소수로 확장되기도 한다. 삼각함수에는 6개의 기본 함수가 있다.

삼각함수는 삼각형의 각에 변을 연관시킬 때 사용된다. 삼각함수는 여러 방면에 응용되고 있으나, 특히 삼각형의 연구나 주기적 현상의 모형 구축에 중요하게 쓰인다.

[편집]기하학적 정의

직각삼각형

각 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 $a, b, h$ 라고 할 때, 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent)의 정의는 다음과 같다.

사인: $\sin A = \frac{a}{h}$

코사인: $\cos A = \frac{b}{h}$

탄젠트: $\tan A = \frac{a}{b}$

또한, 코시컨트(cosecant), 시컨트(secant), 코탄젠트(cotangent)는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: $\csc A = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin A}$

시컨트: $\sec A = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos A}$

코탄젠트: $\cot A = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan A}$


사인과 코사인의 그래프		탄젠트 그래프		코시컨트 그래프

[편집]단위원 정의

단위원 위의 각 점의 좌표

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 $(x, y)$ 에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선간의 각을 $\theta$ 라디안이라고 하면, 이때 사인, 코사인은 다음과 같이 정의된다.

$\sin \theta = y$

$\cos \theta = x$

또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$

$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

이들은 주기함수로서, 각각 $2\pi$ (사인/코시컨트, 코사인/시컨트)또는 $\pi$ (탄젠트/코탄젠트)의 주기를 갖는다.

[편집]부호 및 변환표

각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

사분면	sin과 csc	cos과 sec	tan와 cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

변환된 값은 다음과 같다.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin(x)	$\,\sin(x)$	$\sqrt{1-\cos^2(x)}$	$\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$	$\frac{1}{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2(x)-1}} {\sec(x)}$	$\frac{1}{\csc(x)}$
cos(x)	$\, \sqrt{1-\sin^2(x)}$	$\, \cos(x)$	$\, \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$	$\, \frac{\cot(x)} {\sqrt{\cot^2(x)+ 1}}$	$\, \frac{1}{\sec(x)}$	$\, \frac{\sqrt{\csc^2(x)-1}}{\csc(x)}$
tan(x)	$\, \frac{\sin(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}}$	$\, \frac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)}$	$\, \tan(x)$	$\, \frac{1}{\cot(x)}$	$\, \sqrt{\sec^2(x)-1}$	$\, \frac{1}{ \sqrt{\csc^2(x)-1}}$
cot(x)	$\, \frac{\sqrt{1-\sin^2(x)}}{\sin(x)}$	$\, \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-\cos^2(x)}}$	$\, \frac{1}{\tan(x)}$	$\, \cot(x)$	$\, \frac{1}{\sqrt{\sec^2(x)-1}}$	$\, \sqrt{\csc^2(x)-1}$
sec(x)	$\, \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(x)}}$	$\, \frac{1}{\cos(x)}$	$\, \sqrt{1 + \tan^2(x)}$	$\, \frac{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}{\cot(x)}$	$\, \sec(x)$	$\, \frac{\csc(x)}{\sqrt{\csc^2(x)-1}}$
csc(x)	$\, \frac{1}{\sin(x)}$	$\, \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}$	$\, \frac{\sqrt{1 + \tan^2 (x)}} {\tan(x)}$	$\, \sqrt{\cot^2(x) + 1}$	$\, \frac{\sec(x)}{\sqrt{\sec^2(x) - 1}}$	$\, \csc(x)$

[편집]삼각함수 항등식

이 부분의 본문은 삼각함수 항등식입니다.

삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그 중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 r이고 밑변이 b, 각 x의 대변 a에 대하여 $\frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1$ 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

$\, \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제이 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제일 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

$\sin \left(x \pm y\right)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y, \,$

$\cos \left(x \pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ (복부호 동순)

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

[편집]미분과 적분

삼각함수의 미분과 적분에 대해서는 미분표, 적분표를 참고하십시오.

다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

$\ \ \ \ f(x)$	$\ \ \ \ f'(x)$	$\int f(x)\,dx$
$\,\ \sin x$	$\,\ \cos x$	$\,\ -\cos x + C$
$\,\ \cos x$	$\,\ -\sin x$	$\,\ \sin x + C$
$\,\ \tan x$	$\,\ \sec^{2} x$	$-\ln \left \|\cos x\right \| + C$
$\,\ \cot x$	$\,\ -\csc^{2} x$	$\ln \left \|\sin x\right \| + C$
$\,\ \sec x$	$\,\ \sec{x}\tan{x}$	$\ln \left \|\sec x + \tan x\right \| + C$
$\,\ \csc x$	$\,\ -\csc{x}\cot{x}$	$\ln \left \|\csc x + \cot x\right \| + C$

[편집]삼각함수의 성질과 응용

[편집]사인법칙

사인법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

마찬가지로,

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R$

도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

[편집]코사인법칙

이 부분의 본문은 코사인법칙입니다.

코사인법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

$\, c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

가 성립하고, 위의 식을 변형하면

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

[편집]순허수

오일러의 공식 $\, e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 에

$\, x=b i$ 를 대입하면,

$\, e^{-b}=\cos bi+i\sin bi$

$\, x=-bi$ 를 대입하면,

$\, e^{b}=\cos (-bi)+i\sin (-bi)=\cos bi-i\sin bi$

연립하여 풀면,

$\cos bi =\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}$

$\sin bi =\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}i$

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적분법

2012. 11. 3. 09:56

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부분적분 : x에 대한 두 함수의 적분을 할 경우

(f(x)g(x))' 에서 탄생

부분적분을 두번 하는 경우 = 지수함수*삼각함수 일때

두번 하는 이유는 원래 식의 똑같은 형태가 마지막에 나오기 때문에 원래식과 하나로 합칠 수 있어

마지막 적분이 우변에 있었다면 적분을 좌변으로 넘겨 합치면서 적분식이 사라지기때문

이때 좌변으로 넘길때 우변은 적분이 사라지는데 하지만 원래식이 적분이였음으로 우변에는

적분상수 C 가 더해져야 하는 형태가 되야 한다.

무한히 하는 경우 = x * e^x 의 형태를 계산하는 경우

유리함수 적분은

g(x)/f(x) 의 형태를 적분한다면 분모의 차수가 더 크게 변형 한 후( 같으면 안됨 )

-붐노, 분자에 차수를 나누어 분모가 차수가 더크게 변형

f(x) 의 차수가 g(x) 의 차수가 더 커지는데

그 후 부분분수를 적용하며 풀어 나간다.

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부분적분 : x에 대한 두 함수의 적분을 할 경우

(f(x)g(x))' 에서 탄생

부분적분을 두번 하는 경우 = 지수함수*삼각함수 일때

두번 하는 이유는 원래 식의 똑같은 형태가 마지막에 나오기 때문에 원래식과 하나로 합칠 수 있어

마지막 적분이 우변에 있었다면 적분을 좌변으로 넘겨 합치면서 적분식이 사라지기때문

이때 좌변으로 넘길때 우변은 적분이 사라지는데 하지만 원래식이 적분이였음으로 우변에는

적분상수 C 가 더해져야 하는 형태가 되야 한다.

무한히 하는 경우 = x * e^x 의 형태를 계산하는 경우

유리함수 적분은

g(x)/f(x) 의 형태를 적분한다면 분모의 차수가 더 크게 변형 한 후( 같으면 안됨 )

-붐노, 분자에 차수를 나누어 분모가 차수가 더크게 변형

f(x) 의 차수가 g(x) 의 차수가 더 커지는데

그 후 부분분수를 적용하며 풀어 나간다.

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연속 부분적분 = 이해를 돕기위해 그냥 이름 붙인것..

미분은 첫번째 pass 두번째 부터

적분은 첫번째 부터 하고 마지막 ∫ dx 안에 넣을때 미분한것은 처음에 않했음으로 미분해서 들어가지만 적분한

것은 처음부터 적분했음으로 마지막 ∫ dx 안에는 적분하지 않은 상태로 들어간다

부분적분법에서

u' 을 d에 넣어 du

v' 을 d에 넣어 dv

의 형태로 바꿔놓고 풀면 더욱 간단하다

이하 첨부파일과 자세한 내용이다

부분적분공식정리.pdf

부분적분
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미적분학
함수의 극한
연속함수
다항식의 미적분
기본 정리
텐서 미적분학
[보이기]미분
[보이기]적분
[보이기]벡터 미적분학
v • d • e • h
미적분학에서 부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 곱셈 법칙에서 유도할 수 있다.
목차
[숨기기]
1 법칙
2 예제
2.1 x cos x의 적분
2.2 e^x cos x 의 적분
2.3 ln x 의 적분
2.4 arctan x의 적분
3 문제 해결의 전략
4 주석
[편집]법칙
두 미분가능한 연속 함수 $f (x)$ 와 $g (x)$ 에 대해서, 적분 구간이 $[a, b]$ 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.
$\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx$
이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.
$\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).$
이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.
$f(b)g(b) - f(a)g(a)\,$ $= \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx$
$=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx$
부정적분의 경우에는 다음과 같다.
$\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx$
또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.
$\int u\,dv = u v - \int v\,du$
여기서, $u = f(x),\ v = g(x)$ 이고, $du = f'(x) dx,\ dv = g'(x) dx$ 이다.
[편집]예제
[편집]x cos x의 적분
다음 식을 적분한다.
$\int x\cos x \,dx$
이때, $u = x,\ du = dx,\ dv = \cos x \, dx,\ v = \sin x$ 와 같이 가정하면
$\int x\cos x \,dx$ $= \int u \,dv$
$= uv - \int v \,du$
가 되어,
$\int x\cos x \,dx = x\sin x - \int \sin x \,dx$
$\int x\cos x \,dx = x\sin x + \cos x + C$
와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, $C$ 는 적분 상수이다.
[편집]e^x cos x 의 적분
$\int e^{x} \cos x \,dx$
이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.
$u = \cos x, du = -\sin x \, dx$
$dv = e^x dx,\ v = e^x$
이때,
$\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin x \,dx$
이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.
$u = \sin x\;;\ du = \cos x \, dx$
$v = e^x\;;\ dv = e^x dx$
그러면,
$\int e^{x} \sin x \,dx$ $= e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx$
이므로, 함께 적으면,
$\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + e^x \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx$
임을 알 수 있다.
자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,
$2 \int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} ( \sin x + \cos x )$
이고, 2로 나눠
$\int e^{x} \cos x \,dx = {e^{x} ( \sin x + \cos x ) \over 2}$
와 같은 결과를 얻을 수 있다.
[편집]ln x 의 적분
또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 $x$ 를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.
첫 번째 예는, $\int \ln x \,dx$ 이다.
위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\int (\ln x) \cdot 1 \,dx$
다음과 같이 가정하면,
$u = \ln x\;;\ du = \frac 1 x dx$
$v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx$
$\int \ln x \,dx$ $= x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx$
$= x \ln x - \int 1 \,dx$
$\int \ln x \,dx = x \ln x - {x} + {C}$
$\int \ln x \,dx = x ( \ln x - 1 ) + C$
이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.
[편집]arctan x의 적분
두 번째 예는 $\int \arctan x \,dx$ 이다. 여기서 $arctan$ 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\int 1 \cdot \arctan x \,dx$
다음과 같이 가정하면,
$u = \arctan x\;;\ du = \frac 1 {1+x^2} dx$
$v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx$
$\int \arctan x \,dx$ $= x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx$
$= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C$
임을 확인 할 수 있다.

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2012. 11. 3. 09:54

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df(x) = f'(x)Δx = f'(x)dx = 아주 미소의 0 에 가까운 εΔx 을 생략한 dy 값을 말함

ex)

dx = (x)'dx

d(x) = (x)'dx

d(x) = d(x+1)

(x)'dx = (x+1)'dx

dx=dx

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다변함수의 미분.pdf

자세한 증명은 pdf 파일에 남겨놓는다

여기선 전체적인 개략적 설명만 남겨놓는다

z=f(x,y)

함수 증분 = Δz : z의 증분량

전미분 = dz : 극소값 입실론을 때어버린 z 의 극소 증분량

z=f(x,y) , x=g(t), y=h(t)

전도함수 dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

이렇게 표현을 하는데 풀이 과정은 편미분으로 들어가는데 dz/dt 로 쓸 수 있는 이유는 x,y 가 t 의 변수

즉 y,t 의 평면 그래프에서 생각 할 수 있기 때문, t 한개의 정의역에서 정의 될 수 있음으로

일변함수 도함수와 같다고 할 수 있지만 중간에 두개의 변수인 f 임으로 차별화가 필요하여 이름앞에 전을

붙여 전도함수라 칭함

편도함수는 중간에도 2개의 변수 마지막도 2개의 변수에 대한 도함수

z---->(x,y)------>(s,t) 인 결국엔 z 가 s,t로 이루어진 함수의 편미분을 하게 되는 과정을 말한다

표현한다면

z를 s 에 대하여...

∂z/∂s = (∂f/∂x)(dx/ds) + (∂f/∂y)(dy/ds)

z를 t 에 대하여...

∂z/∂t = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

이때 ∂z/∂s , ∂z/∂t 가 모두 라운드(∂) 가 붙은걸 알 수 있는데 z 가 결국 s,t 다중 변수로 구성됨으로

z의 구성요소중 하나에 대하여 편미분 한다 하여, 즉 여러 변수중 하나를 골라 미분한다는거 표현하기 위해

라운드 가 붙는다, 그리하여 ∂ 대신 d 가 붙지 않는다

정리하면

전도함수의 계산과정이 dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

dz/dt 를 계산할때 x와 y 에 대하여 편미분하여 이 둘을 합친것이 t 에 대한 전도함수 임으로

z---->(x,y)------>(s,t) 인 다변 함수에서는 각각의 변수에 대한 전도함수식 계산을 각각 해주면 된다

[편도함수]

z를 s 에 대하여...

∂z/∂s = (∂f/∂x)(dx/ds) + (∂f/∂y)(dy/ds)

z를 t 에 대하여...

∂z/∂t = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)

$\\ \frac{d{u^{v}}}{dx}=vu^{v-1} \ \frac{du}{dx} \ + \ ln\left | u \right |u^{v} \ \frac{dv}{dx} \\ \\ \\ def. \ Z=Z(u,v), \ u=u(x),\ v=v(x) \\ \\ \frac{dZ}{dx} = \frac{\partial Z(u,v)}{\partial u } \ \frac{du}{dx} \ + \frac{\partial Z(u,v)}{\partial v } \ \frac{dv}{dx} \\ \\ \\ \\ if \ u^{v} = Z. \\ \\ \\ A=vu^{v-1} =\frac{\partial Z(u,v)}{\partial u } \ \\ B= \ ln\left | u \right |u^{v}=\frac{\partial Z(u,v)}{\partial v } \\ \\ \\ \\ \int A \ \partial u = \int \frac{\partial Z(u,v)}{\partial u } \ \partial u = Z = \ \int vu^{v-1} \ du = u^{v} , \\ \\ \\ \int B \ \partial u = \int \frac{\partial Z(u,v)}{\partial v } \ \partial v = Z \\ = \int \ ln\left | u \right | u^{v} \ dv = ln\left | u \right | \int \ u^{v} \ dv \ = ln\left | u \right | \ \left ( \frac{u^{v}}{ln\left | u \right |} \right ) = u^{v}$

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엡실론-델타 논법 (ε - δ)과 Δy = f(x+Δx) - f(x) = ( f'(x) + ε )Δx 의 관계와 dy

2012. 11. 3. 09:52

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3DMP engines

3D그래픽스 물리 수학, 프로그래밍 GPU Shader 게임엔진 알고리즘 디자인패턴 matlab etc..

결론적으로는 ..

Δy = f(x+Δx) - f(x)

평균값 정리에 의하여

x < c < x+Δx 즉 (x,x+Δx) 사이에 미분가능한 c 가 존재하여

= f'(c) Δx = Δy = f(x+Δx) - f(x) , 로 나타낼 수 있고

이것은 현재의 구간이 연속이며 미분가능하다고 가정하였을 경우

= ( f'(x) + ε )Δx, 로 나타낼 수 있다 그리하여 다음과 같이 정리 될 수 있다

= f'(x)Δx + εΔx

이때의 ε 은 lim_Δx->0 { ε } = 0

으로 가는 값이다.

그리하여 εΔx 은 Δx 보다 ε 보다 더 작은 값이 되어 거의 없는 값으로 취급하여 근사적으로

f'(x)Δx + εΔx ≒ f'(x)Δx

로 나타낼 수 있으며

Δx 가 극소로 간다는 것을 기호로 나타내여 dx 로 표현하기로 정의 했었고

f'(x)dx

로 현 할 수 있다

그리하여 f'(x)Δx + εΔx 의 근사 값을 f'(x)dx 으로 나타낼 수 있고 이것을

dy 라 칭한다

dy = f'(x)Δx

엄밀히 말하면 dy 는 근사적인 y 극소 증가량이다

[dy 와 Δy 차이]

를 말한다 좀 더 자세한 내용은 이하 첨부부터...

http://phc1112.blog.me/80066834781

첨부파일 (1)

엡(입)실론 델타 이용 함수극한 증명문제

고등학생 때는 당연시 여기는 것을 대학에선 대학수학적 정의를 가지고 증명을 하는데요,

"대학미적분(calclus) 함수의 극한" 중에서 큐스터디 게시판의 증명문제를

여러분들과 공유하고자 합니다.

증명 설명은 파일첨부합니다.

아래 그림 파일은 문제입니다.

출처 : http://blog.naver.com/inhangin/100073943722

고등학교 수학과정에서 가장 미흡하게 소개된 개념들을 꼽아보자면 몇 가지 되는데,

그 중의 하나가 바로 극한의 정의이다.

고등학교 과정 안에서 극한의 정의는 매우 모호하다.

함수 f(x)에서 x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 함수 f(x)는 α에 수렴한다고 한다. 이 때, α를 x→a일 때 함수 f(x)의 극한값 또는 극한이라 한다.

위와 같은 정의가 바로 고등학교 과정 내에서 극한에 대해 설명한 것이다.

하지만 한없이 가까워진다는 것이 대체 무엇을 말하는지 직관적으로는 이해가 가지만 논리적으로 어떻게 표현을 해야 할 것인지 난감하다.

그래서 등장한 것이 바로 입실론-델타 논법이다.

입실론-델타 논법은 독일의 수학자인 K. 바이어슈트라스가 창조해 낸 극한의 정의법으로

핵심적인 요소 두 가지가 있는데, 제목에서 알 수 있는 것과 같이 ε과 δ가 아주 큰 역할을 해내고 있다.

백문이 불여일견이라고 하였다.

입실론 델타가 무엇인가에 대해 설명만 구구절절 늘어놓지 말고, 직접 입실론-델타 논법을 사용한 극한의 정의를 살펴보자.

f:X→Y, X, Y⊂R인 함수와 a, α∈R이 주어져 있다고 가정하자.

그럼 임의로 주어진 ε>0에 대하여 x∈X이고 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ>0가 존재하면, α를 x→a일 때 f(x)의 극한이라고 한다.

자, 뭔가 다르지 않은가? 앞부분은 엄밀하게 살펴보기 위하여 이것저것이 존재한다고 가정하는 부분이므로 넘어가고,

임의로 주어진 ε>0에 대하여 x∈X이고 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ>0가 존재하면

이 구절이 입실론-델타 논법의 핵심이다.

내가 어떤 ε을 잡는다고 하더라도, 0< |x-a|<δ 이면 |f(x)-α|<ε가 성립하는 δ가 존재 한다는 것을 보이기만 한다면,

이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다는 말이다.

아직 감이 오지 않는 분들이 많을 것이다.

식을 찬찬히 풀어보자.

0< |x-a|<δ라는 부분을 살펴보면

이는 x가 (a-δ, a+δ)라는 개구간 안에 있다는 것을 의미한다.

그리고 |f(x)-α|<ε 이 부분은

f(x)가 (α-ε, α+ε)라는 개구간 안에 있다는 것을 의미한다.

이제 이 두 식의 의미를 종합하여 생각해본다면,

x가 (a-δ, a+δ)라는 개구간 안에 있다고 가정하면 f(x)는 언제나 (α-ε, α+ε)안에 있어야 함을 의미한다.

f(x)가 언제나 (α-ε, α+ε)안에 있다는 말은 내가 ε을 아무리 작게 만든다고 하더라도

임의로 δ값을 조정하여 x값의 범위를 조정해 주어서 f(x)를 (α-ε, α+ε)안에 집어넣어줄 수 있어야 한다는 것을 말한다.

그림으로 대강 설명을 해 보도록 하겠다.

다음 그림과 같이 ε과 δ이 잡혔고, x가 다음과 같은 위치에 존재 할 때 위 명제는 성립한다.

하지만 ε을 다음 그림과 같이 작게 좁혀보자.

이렇게 되면 f(x)값이 (α-ε, α+ε)안에 속해있지 않으므로, 명제가 성립하지 않는데,

이경우 δ의 값을 줄여서 명제를 성립하게 만들 수 있다면 그 점에서의 극한을 구할 수 있다는 것이다!

하지만 ε이 매번 변할 때마다 일일히 그에 합당한 δ값을 지정해 주기에는 너무 번거롭고, 끝이 없을 것이다.

따라서 우리는 δ를 ε에 관한 식으로 나타냄으로써 자동적으로 조정될 수 있도록 할 수 있다.

따라서 입실론-델타 논법을 이용한 극한의 증명 방법은 보통 다음과 같은 절차를 가진다.

- 먼저 입실론-델타 논법에 의거한 명제를 지정한다.

- 가정과 결론 부분의 식을 이용하여 δ값을 ε에 대해 나타내어 본다.(증명 전의 δ에 대한 예측)

- 만일 이 δ가 타당하다면, 가정 부분부터 시작하여 논리적으로 식을 조작하여 결론 부분에 이르도록 만들 수 있다.

- 따라서 논리적으로 전개해 나간다.(본 증명)

입실론-델타 논법을 이용한 여러 극한의 성질에 대한 증명은 다음 포스트에서 보여줄 것이다.

이거, 상당히 유용한 도구라고 생각하지 않은가?

엄청 파워풀하다고 생각하기도 한다.

그럼 다음 포스팅에서...

To be continued...

(※ 일부 책에서는 입실론-델타 논법을 이용하여 극한을 정의할 때 절대값을 사용하지 않고 노음(Norm)을 사용하기도 하지만, 신경 쓰실 필요는 없다고 봅니다.)

http://sos440.tistory.com/17

어느 호기심많은 소년을 위하여 적어본, 입실론-델타 논법에 대한 간단한 설명

인터넷을 뒤지다 보면 종종 입실론-델타 논법(이하 ε-δ)을 물어보는 사람들이 있다. ε-δ이란 걸 전혀 들어보지 못한 상태에서 물어보는 경우도 있지만, 어떤 때에는 이미 ε-δ를 한 번쯤은 접해봤는데도 불구하고 그 말의 의미를 이해하지 못하여 질문하는 경우도 있는 것 같다. 지금의 나로써는 ε-δ가 굉장히 당연하게 와닿지만, 나도 사실 처음에 ε-δ의 정의를 봤을 땐 이해가 잘 안됬던 것 같다. 물론 평범한 고등학생이 굉장히 수학적이고 형식적인 것처럼 보이는 문장을 처음부터 쉽게 읽으면 그것도 나름대로 신기하긴 하겠지만…. 어쨋든, 이 글은 ε-δ를 좀 더 마음속으로 이해할 수 있도록 설명하는 방법을 찾기 위한 내 몸부림이다.

우선 정의부터 살펴보자. ε-δ를 이용한 극한의 정의는 다음과 같다.

[정의] a의 근방에서 정의된 실함수 f에 대해, 임의의 ε>0 에 대하여 δ>0 가 존재하여, 0<|x-a|<δ 이면 항상 |f(x)-L|<ε 일 때, f(x)가 a 에서 L로 수렴한다고 하고 lim_{x→a} f(x) = L 로 적는다.

젠체하고 싶을 땐 다음과 같이 영어로 적을 수도 있다. (사실 such that이라는 긴요한 문법 구조에 대응하는 표현이 국어에는 없기 때문에, 때때로 수학은 영어로 접하는 게 더 이해가 쉬울 수도 있다.)

Let f be a real valued function defined on a neighborhood of a. If for any ε>0, there is δ>0 such that |f(x)-L|<ε whenever 0<|x-a|<δ, we say f(x) converges to L at a and denote it by lim_{x→a} f(x) = L.

만약 당신이 이 정의를 처음 보는데도 불구하고 '아, 당연하잖아' 라고 말한다면, 지금 당장 해석개론을 공부해도 전혀 무리가 없다. 이 말은, 대부분의 경우 위 정의를 마음으로 받아들이기까지 좀 시간이 걸린다는 뜻이다. 그리고 이 글의 목표가 바로 위 정의를 직관으로 이해하는 것이다. 개인적으로는 이 글을 읽고 좀 생각하면 누구라도 유레카를 외치지 않을까 하는 기대를 품고 있다. 구체적으로, 이 글에서는 위 정의의 한 부분 한 부분을 풀어나가도록 하겠다.

우선 'a의 근방에서 정의된 실함수 f'라는 말부터 이해해보자. 극한의 본질을 가장 잘 설명하는 단어는 무엇일까? 여러가지 가능한 대답이 있겠지만, 나보고 꼽으라고 하면 역시 국소적 성질(local property)이라는 말을 하겠다. 수학에서는 크게 기하학적인 대상을 보는 두 가지 관점이 있다. 우선 보고자 하는 대상의 전체를 아우르는 성질, 즉 대역적 성질(global property)에 관심을 갖고 연구하는 관점이 있고, 반대로 대상의 부분부분이 가지는 성질, 즉 국소적 성질에 주목하는 관점도 있다. 극한은 이 중에서 후자를 대표한다. 극한을 입으로 설명할 때 보통 'x가 a에 한없이 가까우면 어쩌구 저쩌구'라고 말하는 것에서도 알 수 있듯이, 함수 전체에 집중하는 대신 함수 위의 한 점에 주목하여 그 점에서 매우 가까운 부분만 살펴본다는 것이 바로 극한에 담긴 가장 기본적인 아이디어이다. 그러므로 극한을 생각한다는 것은 기본적으로 우리가 관심을 갖고자 하는 지점의 근처만 보겠다고 선언하는 것과 같고, 함수 f의 정의역에서 우리가 보고자 하는 지점인 a의 근처를 제외한 나머지 부분은 그냥 쳐내버려도 상관 없다는 내용이 정의 첫 부분에 숨어있는 것이다.

이제 ε-δ 정의의 나머지 부분에 대해 이해해보자. (함수의) 극한이 'x가 a에 한없이 가까우면 f(x)의 값도 L에 한없이 가깝다' 라는 직관적인 아이디어를 수학적인 언어로 번역한 것에 불과함을 보이기 위해, 이 문장에서 ε-δ 정의를 논리적인 추론으로 이끌어보도록 하겠다. 일단 문장

'x가 a에 한없이 가까우면 f(x)의 값도 L에 한없이 가깝다'

(E-D1)

를 계속 반복해서 쓰는 건 공간과 시간 낭비이므로, 이 문장을 간단히 문장 E-D1이라고 부르자. (위 문장 옆의 (E-D1)라는 기호가 바로 이렇게 부르자는 약속을 나타낸다.)

E-D1은 굉장히 직관적으로 와닿는 문장이긴 하지만, 또한 너무 모호하기도 하다. 대체 L에 한없이 가깝다는게 얼마나 가깝다는 걸 의미하는가? 가깝다 멀다는 상대적인 개념이다. 기준이 있어야만 그 기준보다 가깝다 멀다를 이야기할 수 있는 것이다. 그러므로 가깝고 먼 것의 기준으로 ε이라는 양수를 하나 택하자. 즉, f(x)과 L 사이의 거리가 ε보다 작으면 f(x)와 L이 가까운 것이고, 그렇지 않으면 둘은 먼 것이다. 그리고 '한없이' 라는 말은 '기준 ε을 얼마나 작게 잡든지 상관없이'로 해석할 수 있다. 즉, 문장 E-D1은

'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, x가 a에 한없이 가까우면 f(x)는 L에 가깝다'

또는

'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, x가 a에 한없이 가까우면 |f(x) - L|<ε 이다'

(E-D2)

와 같이 적을수 있다.

x가 a에 한없이 가깝다는 것 역시 비슷한 방식으로 풀어낼수 있다. 이때 x가 변함에 따라 f(x)가 L에 가까워지고 멀어지는 것은 보통 f(x)의 성질과 기준 ε의 선택에 의존함에 주의하자. 그러므로 x가 a에가 가깝다는 것에 대한 기준을 δ라고 두면, δ가 아무 수나 될 수는 없음을 알 수 있다. 그러나 어쨋든간에 문장 E-D2는 x가 a에 충분히 가까울 때 f(x)도 L에 가까워지기를 요구하고 있으므로, 그러한 기준 δ를 적당히 잡을 수 있다면 문제는 해결된다. 그러므로 문장 E-D2는 다음과 같이 바꿔적을 수 있다.

'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, (x와 a가 가깝다는 것에 대한) 적당한 기준 δ를 잡을 수 있어서,
x가 a에 가까우면 |f(x) - L|<ε 이다'

또는

'기준 ε>0 을 얼마로 잡든간에, 적당한 기준 δ>0 를 잡을 수 있어서,
0<|x - a|<δ 이면 |f(x) - L|<ε 이다'

(E-D3)

여기서 x와 a가 같은 경우를 빼는 것에 의아해하는 사람이 있을지도 모르겠는데, 이 점은 우리가 함수의 극한을 'x가 a에 한없이 가까이 다가가지는 하지만 a 자신안 되지 않는 상황'에서 생각하는 것이 좀 더 의미있기 때문에 첨가한 조건일 뿐이다. 이리하여 문장 E-D3을 얻게 되었는데, 이 문장은 정확히 바로 ε-δ를 이용한 극한의 정의와 일치한다. 그러므로 우리는 처음의 문장 E-D1이 ε-δ와 일치함을 이해했다.

롤의 정리

함수 f(x)가 구간 a≤x≤b에서 연속이고, a＜x＜b에서 미분가능, 또 f(a)＝f(b)이면 f'(x)＝0, a＜x＜b가 되는 x가 적어도 하나 존재한다고 하는 정리.

본문

↑ 롤의 정리 /

이 정리는, 직관적으로 말해서, 그 함수가 나타내는 곡선의 접선 중, x축과 평행한 것이 적어도 하나는 존재한다는 것을 말해주는 것이다. 특히, 롤의 정리는, f(x)가 a≤x≤b에서 연속이고 f(a)＝f(b)＝k라도 a＜x＜b에서 미분가능하지 않으면 성립하지 않는다. 이를테면, f(x)＝|x－3|은 구간 1≤x≤5에서 연속이고, f(1)＝f(5)＝2이지만, 구간 1〈x〈5에서 미분가능하지 않은 점 x＝3이 있으므로 롤의 정리가 성립하지 않는다.

평균값 정리

“함수 f(x)가 a≤x≤b에서 연속이고, a＜x＜b에서 미분가능(微分可能)이면

를 만족하는 ξ가 적어도 하나 존재한다.”는 정리를 말한다.

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지수함수 로그함수의 도함수

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로그,지수 등 기본꼴인 2번의 형태를 기억하면 나머지는 유추해 나갈 수 있다.

특징적인것은 로그쪽(ln) 은 나눠주는 형태이고 지수쪽은 곱해주는 형태이다

[' 는 미분]

5. (x^x)' = x^x (1+lnx)

주의!!!

(x^f(x)) 의 경우는 5번대로 쓰지 못하고 식을 5번 과정의 유도처럼

계산해내야한다

계산 방법은 양변에 ln 을 취해 ln의 계수 위치로 때어낸 후 미분해 나가면 된다

위 4가지(초8가지) 공식처럼 f(x) 적으로 유도되지 않는 이유는 .. x^x 일경우 변수가 같음으로써 생기는 약분이

생기는 경우와 x^f(x) 일때의 약분이 안되는 상황이 벌어지기 때문..

결론은 유도해보면 알 수 있다.

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(1) 역수관계

① secθ=

② cscθ=

③ cotθ=

(2) 나눗셈 관계

① tanθ=

② cotθ=

(3) 제곱관계

① sin²θ+cos²θ=1

② 1+tan²θ=sec²θ

③ 1+cot²θ=csc²θ

http://www.mathteacher.pe.kr/

삼각함수 미분

!! 앞에 c 로 시작하는 것을 미분하면 - 로 나온다

(sin(x))'=cos(x)

(cos(x))'=-sin(x)

(tan(x))'=ses^2(x)

cos^2(x) + sin^2(x) =1

역삼각함수(inverse trigonometric function)이란 삼각함수의 역함수를 말한다. 삼각함수는 단사함수가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 정의역을 제한하는 것이 필요하다. 아래는 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역들을 나타낸 표이다.

역 삼각함수의 도함수

자세한 증명은 아래에..

arccos'(x) = -1/sqrt(1-x^2)

arcsin 정의역 (-1,1) ==> -1,1은 포함되지 않는다

arcsin 정의역 [-1,1]

arctan 정의역 -∞ , ∞

1) y=arcsin(1-x)

2) y=arccos(root[x])

3) y=arctan(x^2)

http://blog.naver.com/mindo1103/90095392364

역삼각함수 도함수 인강

http://blog.naver.com/proyjh426?Redirect=Log&logNo=120119010835

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Answer-to-question-1583-HWP97-30.hwp

dx, dy 에 대하여 말하다

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$f(b)g(b) - f(a)g(a)\,$	$= \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx$
	$=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx$

$\int \ln x \,dx$	$= x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx$
	$= x \ln x - \int 1 \,dx$

$\int \arctan x \,dx$	$= x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx$
	$= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C$

수학 (Mathematics)/미적분학

삼각함수

목차

[편집]기하학적 정의

[편집]단위원 정의

[편집]부호 및 변환표

[편집]삼각함수 항등식

[편집]미분과 적분

[편집]삼각함수의 성질과 응용

[편집]사인법칙

[편집]코사인법칙

[편집]순허수

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부분적분

목차

[편집]법칙

[편집]예제

[편집]x cos x의 적분

[편집]ex cos x 의 적분

[편집]ln x 의 적분

[편집]arctan x의 적분

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[편집]e^x cos x 의 적분