http://cafe.naver.com/ios09/131

 

 

 뇌터의 정리에 의하면, 대칭성이 있으면 그에 상응하는 보존량이 있는데, 공간이 균질하다는 대칭성에 상응하는 보존량이 바로 선운동량이다. 우리가 사는 공간은 균질하기도 하지만, 한편으로 매우 등방적이다. 우리가 한 자리에 서서 어느 방향을 바라보아도 물리적으로는 차이가 없다. 어떤 물리계를 어떤 방향으로 돌려놓더라도, 거기에 작용하는 물리법칙은 항상 같다. 뇌터의 정리에 따라 공간의 등방성이라는 대칭성에 상응하는 보존량도 당연히 있어야 한다. 그것이 바로 각운동량(angular momentum)이다.

 

- 라고 네이버 캐스트에 나와있다.

 조금 쉽게 설명해보자. 대칭성이 있다는 것을 지금 현실에 맞게 보여주기위해 예를 들자. 제주시에 있는  어떤 사람(A)이 한라산 위로 날아가는 비행기를 보고 있다. 또, 서귀포시에 있는 어떤 사람(B)도 한사란 위로 날아가는 비행기를 보고 있다. A의 기준에서 비행기의 운동을 설명하는데, 비행기의 운동 에너지는 얼마이고, 방향은 서쪽이고..... 라고 말한다. B도 비행기의 운동을 설명하는데, 운동에너지는 얼마이고 방향은 서쪽이고.... 라고 똑같이 대답한다. 이렇게 어느 '공간' 에서나 지금 위치에 상관없이 물체를 동일한 방식으로 설명할 수 있다. 이것이 '공간의 대칭성'이다. 위 설명에 등장하는 '뇌터의 정리'에 의하면, 대칭성이 있으면 그에 상응하는 보존량이 있는데, '공간' 에서는 그 '보존량' 이 '선 운동량'(p = mv)으로 나타난다.

 그런데, 피겨 스케이팅 빙판 중심에서 프리스케이팅 연습을 준비하고 있는 김연아를 생각해보자. 아직 연습 시간이라 옆에는 아사다 마오도 있다. 아사다 마오가 스파이럴을 구사하면서 빙판을 한바퀴 슝슝~(마오의 다리는 조금 힘들겠지만, 계속 같은 속도, 같은자세로) 돈다고 생각해보자. (빙판 위쪽에서 내려다보는 방향에서 보았을 때,) 아사다 마오가 왼쪽에서 스파이럴을 하던, 오른쪽에서 스파이럴을 하던 중심에 있던,  중심에 있는 김연아 선수는 '마오는 지금 스파이럴을 어느 정도 속도로, 어느 레벨을 구사하고있구나' 라고 똑같게 판단하게 된다. 이렇게 보는 '방향'에 상관없이 물체(여기선 마오)를 동일하게 설명할 수 있다. 이렇게 어느 방향으로 돌려놓더라도 거기에 작용하는 물리법칙은 항상 같기에, 이에 따른 '보존량'도 있어야 한다. 여기서는 그 보존량이 '각운동량' 이다.

 

 

(쉽게 설명하려다 보니 역시 말은 길어진다..) 이게 각운동량이 생기는 이유다. 직선운동에서, 외력이 작용하지 않으면, 어떤 물체가 지니는 운동량(p = mv)는 절! 대! 변하지 않는다. 심지어 두 물체가 부딛히는 경우도, 두 물체가 지니는 운동량의 벡터합은 충돌 전이나 후나 똑같다.

 

(잠깐 이말을 해야겠다. 사실 뉴턴이 F=ma 라고 말할때, p = mv에서, p를 변하게 하는 요인을 찾기 위해 양 변을 미분했다. 그래서 그 결과 p' = F라고 정의하고, 그 계산식은 F= Δ(mv) =  vΔm  + mΔv 인데, 적어도 '뉴턴시대' 에는 운동하는 물체의 질량은 변하지 않으므로  Δm = 0 이다. 또 Δv = a(가속도) 이므로 식을 줄이면 F=ma가 나오는 것이다.)

 

 그래서, 각운동량을 변하게 하는 요인(선운동량에서는 F의 역할을 하는)을 '토크(τ - 타우)' 라고 정의하고, 토크 = 힘X중심으로부터의 거리(반지름) 으로 정의가 된다. 외력이 작용하지 않으면 , 즉 토크를 가하지 않으면 물체의 각 운동량은 보존된다.

 

질량 m인 물체가 반지름 r인 원운동을 속도 v로 하게 된다면, 그 물체의 각운동량 L=mrv 라고 주어진다. 선운동량( P = mv )에서, 반지름 r이 더 곱해진 것이다.

 

근데 회전운동에서는 속도 v 보다는 그 물체의 각속도(ω-오메가)를 더 많이 쓴다. 각속도란 단위시간당 그 물체가 원운동 하는 각도(단위는 라디안)으로 주어진다. 또, v와 ω사이에서는 v = rω 라는 식이 성립한다. 이를 이용하면 L = mrv = mr^2ω 가 된다. 여기서 mr^2을 I 라고 쓰고, 회전관성(moment of inertia) 이라고 한다 P = mv, L= Iω 인것과 비교하면, I는 질량의 역할을 하는 것이다. 회전 관성이 크면 그만큼 각운동량을 바꾸기 힘들고, 반대로 회전관성이 작으면 그만큼 각운동량을 바꾸기 쉽다.

 

 결론 -  각 운동량 L = Iω = mr^2ω = mrv 이다.

 

간단하게, 각운동량이 보존되는 사례를 들자면 (김연아 선수가 프리스케이팅을 마치고 다음 대회의 쇼트프로그램에 참가 했다.) 김연아 선수가 007 테마의 마지막 부분에서 제자리에서 빙빙 도는데, 발을 바깥쪽 뻗은 상태에서 어느 속도로 돌다가, 발을 안으로 모으니까 좀 더 빠르게 빙글빙글 도는 것을 볼 수 있다. (외력이 작용하지 않았다 가정하고,) L = mr^2ω 에서 r이 줄어드니, (m은 늘어날 리가 없고- 뉴턴의 생각으로는-) ω가 증가하는 것이다.






지식인

 


re: 각운동량에 대한 기본정리.

benroz 
 
답변채택률68.5%
  
2011.11.21 20:51

 

 

n= rx f  ,,토큐  n은 위치벡터 r 과 힘의 외적으로 정의한다.

 

   각운동량 l = r x p = r x mv 로 정의한다,,,

 

  그런데 n=0 = r x f= r x ma= r x mdv/dt= r x m d^2r/dt^2 인 경우에서

    f 가 0 이 아닌 경우인데  토큐가 0  이다라면,,,

 

    n= rx f =0 이란 의미가 됩니다,

    f가 0 이 아닌데,, 외적을 하여 0 이 되었다,,, 이는 위치벡터 r 과 힘이 평행이다,,

  라는 것을 나타낸다고 보신다면, 좀더 이해하기 쉬울 것입니다,

 

   위치벡터와 힘벡터방향이 평행이다,, 는 것은 같은 직선위에 있다가 포함되죠,,

   이런 경우는,, 마치 중력이 물체에 작용하는 경우와 같죠,

     힘이 중심력장에서 작용하는 경우가 대표적입니다,

 

   즉 중심력장에서 각운동량은 보존된다,, 라는 것을 다른 표현으로 나타낸 것이죠,

 

  각운동량  l= r x mv= r x m dr/dt ,,로 나타낼수있다고 되면

   각운동량이 보존된다는 것은 각운동량이 일정하다와 같죠,

 

   dl/dt ,,각운동량을 시간 미분하면,, 상수를 미분하는 셈입니다, 그러면 0이 됩니다,

 

   dl/dt= dr/dt x mv + r x d(mv)/dt= dr/dt x mv + r  x m d^2r/dt^2 = dr/dt xmv +  r x ma 인 셈이죠

    그런데 dr/dt 는 속도죠, 그러면 mv 와 같은 방향이 됩니다, dr/dtx mv=0이 됩니다,

 

     m d^2r/dt^2= ma= 힘 f입니다,

   

      그러니 dl/dt=0 =     r x f =0

  힘의 모멘트 가   일정하다는 의미입니다,

    또한 r 과 f 가 평행한다,, 3차원 공간에서는 r 과 f 는 같은 평면에 존재한다, 

  라고 되는 셈입니다,

 

l= r x p,, l 은 r과 p에 수직방향이죠,,,각운동량  l 이 보존된다는 의미가

  r과 p는 l과 수직인 조건이다,, 와 같죠,,

 

    * 벡터 미분공식을 참조하시길,  d(axb)/dt= (da/)xb+ ax (db/dt)...

  이 개념을 적용하며 책을 다시 읽어가면 이해가 되겠죠,,


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